1、 导数的应用高考试题考点一 利用导数研究函数的单调性1.(2013年安徽卷,文10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2.若f(x1)=x10,这时y=f(x)是增函数,x(x1,x2)时,f(x)f(x2),又因f(x1)=x10),令y0得解得02,则f(x)2x+4的解集为()(A)(-1,1) (B)(-1,+)(C)(-,-1) (D)(-,+)解析:设g(x)=f(x)-2x-4,则g(x)=f(x)-2,对任意xR,f(x)2,g(x)0,即g(x)为R上的增函数,又g(-1)=f(-1)+2-4=2+2-4=0,x-1时,g(x)0,即x-1时,f(x
2、)2x+4.故选B.答案:B4.(2009年广东卷,文8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()(A)(-,2)(B)(0,3)(C)(1,4) (D)(2,+)解析:f(x)=(x-3)ex,由f(x)=ex(x-2)0,得x2.f(x)的单调递增区间为(2,+).故选D.答案:D5.(2013年广东卷,文21)设函数f(x)=x3-kx2+x (kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k0时,求函数f(x)在k,-k上的最小值m和最大值M.解:(1)当k=1时,f(x)=x3-x2+x,f(x)=3x2-2x+1.方程3x2-2x+1=0的判别式=4-43=-
3、80恒成立.f(x)的单调递增区间为(-,+).函数f(x)无单调递减区间.(2)当k0时,f(x)=3x2-2kx+1,方程3x2-2kx+1=0的判别式=4k2-43=4(k2-3),当0时,有k2-30,即-k0时,有k2-30,即k-,令f(x)=3x2-2kx+1=0得x1=0,x2=0,且x1x20,于是kx1x20,当kxx1或x2x0,f(x)为增函数;当x1xx2时,f(x)f(x1).3-2kx1+1=0,k=,f(x1)=-k+x1=-+x1=,f(-k)-f(x1)=(-2k3-k)-=-2k3-k+-x1=-2k3+（-k-x1）,又-k-x10,要证f(-k)f(x
4、1),只需证-2k3+04k3x1k,由kx1k显然成立,f(-k)f(x1).再证f(k)f(x2).同理f(x2)=,有f(k)-f(x2)=k-=(k-x2)+(k+)0,f(k)0,区间I=x|f(x)0.(1)求I的长度(注:区间(,)的长度定义为-);(2)给定常数k(0,1),当1-ka1+k时,求I长度的最小值.解:(1)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a0)有两个实根x1=0,x2=.故f(x)0的解集为x|x1x0),令d(a)=0,得a=1.由于0k1,故当1-ka0,d(a)单调递增;当1a1+k时,d(a)0,d(a)单调递减.因此当1-ka1+k时,d(a)的最
5、小值必定在a=1-k或a=1+k处取得.而=1,故d(1-k)0,此时f(x)0,函数f(x)单调递减,当x(1,+)时,g(x)0,函数f(x)单调递增.(ii)当a0时,令f(x)=0,即ax2-x+1-a=0,解得x1=1,x2=-1.当a=时,x1=x2,g(x)0恒成立,此时f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递减.当0a10,x(0,1)时,g(x)0,此时f(x)0,函数f(x)单调递减,x（1,-1）时,g(x)0,函数f(x)单调递增;x（-1,+）时,g(x)0,此时f(x)0,函数f(x)单调递减.当a0时,由于-10,此时f(x)0,函数f(x)单调递减,x(1,
6、+)时,g(x)0,函数f(x)单调递增.综上所述:当a0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减;函数f(x)在(1,+)上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+)上单调递减;当0a时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在（1,-1）上单调递增;在（-1,+）上单调递减.考点二 利用导数研究函数的极值和最值1.(2013年福建卷,文12)设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()(A)xR,f(x)f(x0)(B)-x0是f(-x)的极小值点(C)-x0是-f(x)的极小值点(D)-x0是-f(-x)的极小值点解析:由极大值不一定是最大值可排
7、除选项A,取f(x)=-(x-2)2,则x=2是f(x)的极大值点,但-2不是f(-x)的极小值点,排除选项B,-f(x)=(x-2)2,-2不是-f(x)的极小值点,排除选项C.故选D.答案:D2.(2013年新课标全国卷,文11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是()(A)x0R,f(x0)=0(B)函数y=f(x)的图象是中心对称图形(C)若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-,x0)上单调递减(D)若x0是f(x)的极值点,则f(x0)=0解析:因为函数f(x)的值域为R,故选项A正确.假设函数y=f(x)的对称中心为(m,n),按向量a=(-m,-
8、n)将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n为奇函数,因此f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,代入化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0对xR恒成立.由得所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为,故选项B正确.f(x)=3x2+2ax+b,若f(x)有极小值点x0,则f(x)=0有两不等实根即f(x)必有极大值点,设为x1,若x10),当x2时,f(x)0,当0x2时,f(x)0,x=2是f(x)的极小值点.故选D.答案:D5.(2011年浙江卷,文10)设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图
9、象不可能为y=f(x)的图象的是()解析:设g(x)=f(x)ex,则g(x)=(ax2+bx+c)ex,g(x)=exax2+(b+2a)x+b+c,由已知g(-1)=0,a-b-2a+b+c=0,a=c.f(x)=ax2+bx+c可化为f(x)=ax2+bx+a,f(x)=0若有根时,两根之积x1x2=1.而选项D中两根x1-1,x21.故选D.答案:D6.(2011年福建卷,文10)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()(A)2(B)3(C)6(D)9解析:f(x)=12x2-2ax-2b,且f(x)在x=1处有极值,f(1)=1
10、2-2a-2b=0,即a+b=6,又a0,b0,ab=9,当且仅当a=b=3时“=”成立,ab的最大值为9.故选D.答案:D7.(2010年山东卷,文8)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()(A)13万件(B)11万件(C)9万件 (D)7万件解析:y=-x3+81x-234,y=-x2+81(x0).令y=0得x=9,令y9,令y0得0x0;当x(-2,-ln 2)时,f(x)0.故f(x)在(-,-2),(-ln 2,+)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x=-2时,
11、函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).10.(2013年江西卷,文21)设函数f(x)=a为常数且a(0,1).(1)当a=时,求f;(2)若x0满足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明:函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(a2,0),记ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值.解:(1)当a=时,f=,f=f=2=.(2)f(f(x)=当0xa2时,由x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是
12、f(x)的二阶周期点;当a2xa时,由 (a-x)=x,解得x=(a2,a),因f=,故x=为f(x)的二阶周期点;当axa2-a+1时,由 (x-a)=x,解得x=(a,a2-a+1),因f=,故x=不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1x1时,由(1-x)=x,解得x=(a2-a+1,1).因f=,故x=为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=,x2=.(3)由(2)得A,B,则S(a)=,S(a)=,因为a,有a2+a0.（或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3,因a(0,1),g(a)0,故对于任意a,g(a)=a3-2a
13、2-2a+20,S(a)= 0）,则S(a)在区间上单调递增,故S(a)在区间上的最小值为S=,最大值为S=.11.(2013年浙江卷,文21)已知aR,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)若|a|1,求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.解:(1)当a=1时,f(x)=6x2-12x+6,所以f(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y-4=6(x-2),即6x-y-8=0.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f
14、(x)=0,得x1=1,x2=a.当a1时,x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af(x)+0-0+f(x)0单调递增极大值3a-1单调递减极小值a2(3-a)单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=当a0,故f(x)在(-,-2)上为增函数;当x(-2,2)时,f(x)0,故f(x)在(2,+)上为增函数.由此可知f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处取得极小值f(2)=c-16.由题设条件知16+c=28,得c=12.此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此f(x)在-3
15、,3上的最小值为f(2)=-4.13.(2011年北京卷,文18)已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.解:(1)f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1.f(x)与f(x)的变化情况如下:X(-,k-1)k-1(k-1,+)f(x)-0+f(x)-ek-1所以,f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+).(2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k;当0k-11,即1k2时,由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减,在
16、k-1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1;当k-11,即k2时,函数f(x)在0,1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.考点三 导数的综合应用1.(2013年湖北卷,文10)已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()(A)(-,0)(B)（0,）(C)(0,1) (D)(0,+)解析:f(x)=ln x+1-2ax,依题意ln x+1-2ax=0有两个正实数根x1,x2(x10;g(x)= -2a,令g(x)=0,得x=,于是g(x)在（0, ）上单调递增,在（,+）上单调递减,所以
17、g(x)在x=处取得最大值,则f=ln 0, 1,所以0a0,且r0可得0r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,5)时,V(r)0,f(x)为(-,+)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a0时,令f(x)=0,得ex=a,x=ln a.x(-,ln a),f(x)0,所以f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值,且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,f(x)在x=ln a处取得极小值ln a,无极大值.(3)当a=1时,f(x)=x-1+.令g(x)=f(x)-
18、(kx-1)=(1-k)x+,则直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,等价于方程g(x)=0在R上没有实数解.假设k1,此时g(0)=10,g=-1+0,知方程g(x)=0在R上没有实数解.所以k的最大值为1.4.(2013年陕西卷,文21)已知函数f(x)=ex,xR.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.(3)设ab,比较f与的大小,并说明理由.解:(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x,设所求切线的斜率为k,g(x)=,k=g(1)=1,于是在点(1,0)处切线方程为y=x-1.(2)曲线
19、y=ex与y=x2+x+1公共点的个数等于函数 (x)=ex-x2-x-1零点的个数. (0)=1-1=0, (x)存在零点x=0.又(x)=ex-x-1,令h(x)= (x)=ex-x-1,则h(x)=ex-1,当x0时,h(x)0时,h(x)0,(x)在(0,+)上单调递增.(x)在x=0处有唯一的极小值(0)=0,即(x)在R上的最小值为(0)=0,(x)0(当且仅当x=0时等号成立), (x)在R上是单调递增的, (x)在R上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与y=x2+x+1有唯一的公共点.(3) -f=-=-(b-a).设函数u(x)=ex-2x(x0),则u(x)=ex+-22-2
20、=0,u(x)0(当且仅当x=0时等号成立),u(x)单调递增.当x0时,u(x)u(0)=0.令x=,则得-(b-a)0,又0,f.5.(2013年新课标全国卷,文21)已知函数f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=-e-xx(x-2).(*)当x(-,0)或x(2,+)时,f (x)0.所以f(x)在(-,0),(2,+)上单调递减,在(0,2)上单调递增.故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,极
21、大值为f(2)=4e-2.(2)设切点为(t,f(t),则l的方程为y=f(t)(x-t)+f(t).所以l在x轴上的截距为m(t)=t-=t+=t-2+3.由已知和(*)式得t(-,0)(2,+).令h(x)=x+(x0),则当x(0,+)时,h(x)的取值范围为2,+);当x(-,-2)时,h(x)的取值范围是(-,-3).所以当t(-,0)(2,+)时,m(t)的取值范围是(-,0)2+3,+).综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-,0)2+3,+).6.(2013年四川卷,文21)已知函数f(x)= ,其中a是实数.设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)为该函数图象上的两点,且
22、x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x20,证明:x2-x11;(3)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.(1)解:函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),单调递增区间为-1,0),(0,+).(2)证明:由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f(x1),点B处的切线斜率为f(x2),故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f(x1)f(x2)=-1.当x0时,对函数f(x)求导,得f(x)=2x+2.因为x1x20,所以,(2x1+2)(2x2+2)=-1,所以2x1+20.因为x2-x1=-(2x1
23、+2)+2x2+2=1.(当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-且x2=-时等号成立)所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,有x2-x11.(3)解:当x1x2x10时,f(x1)f(x2),故x10x2.当x10时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2)处的切线方程为y-ln x2= (x-x2),即y=x+ln x2-1.两切线重合的充要条件是由及x10x2知,02.由得,a=ln x2+(-1)2-1=-ln +(-2)2-1.令t=,则0t2,且a=t2-t-ln t.设h(t)=t2-t-ln t(0t2),则h(t)=t-1-=0,所以h(t)(0t
24、h(2)=-ln 2-1,所以a-ln 2-1.而当t(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大,所以a的取值范围是(-ln 2-1,+).故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln 2-1,+).7.(2013年天津卷,文20)设a-2,0,已知函数f(x)= (1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x1x2x30.证明:x1+x2+x3-.证明:(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2(x)=x3-x2+ax(x0),f1(
25、x)=3x2-(a+5),由于a-2,0,从而当-1x0时,f1(x)=3x2-(a+5)3-a-50,所以函数f1(x)在区间(-1,0内单调递减.f2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a-2,0,所以当0x1时,f2(x)1时,f2(x)0.即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.综合,及f1(0)=f2(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.(2)由(1)知f(x)在区间(-,0)内单调递减,在区间(0, )内单调递减,在区间(,+)内单调递增,因为曲线y=f(x)在点Pi(xi,f(xi
26、)(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3).不妨设x10x2x3,由3-(a+5)=3-(a+3)x2+a=3-(a+3)x3+a,可得3-3-(a+3)(x2-x3)=0, 解得x2+x3=,从而0x2x3.设g(x)=3x2-(a+3)x+a,则g()g(x2)g(0)=a.由3-(a+5)=g(x2)a,解得-x1-+,设t=,则a=,因为a-2,0,所以t,故x1+x2+x3-t+=(t-1)2-,即x1+x2+x3-.8.(2012年浙江卷,文21)已知aR,函数f(x)=4x3-2ax+a.(1)求f(x)的单调区间;(
27、2)证明:当0x1时,f(x)+|2-a|0.(1)解:由题意得f(x)=12x2-2a.当a0时,f(x)0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(-,+).当a0时,f(x)=12(x-)(x+),此时函数f(x)的单调递增区间为(-,-和,+,单调递减区间为.(2)证明:由于0x1,故当a2时,f(x)+|2-a|=4x3-2ax+24x3-4x+2.当a2时,f(x)+|2-a|=4x3+2a(1-x)-24x3+4(1-x)-2=4x3-4x+2.设g(x)=2x3-2x+1,0x1,则g(x)=6x2-2=6(x-)(x+),于是g(x),g(x)随x的变化情况如下表:x0(0,)(
28、,1)1g(x)-0+g(x)1极小值1所以,g(x)min=g=1-0.所以当0x1时,2x3-2x+10.故f(x)+|2-a|4x3-4x+20.9.(2012年山东卷,文22)已知函数f(x)= (k为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)=xf(x),其中f(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x0,g(x)0;当x(1,+)时,h(x)0,当x(0,1)时,f(x)0,当x(1,+)时,f(x)0,函数h(x)单调递增;当x(e-2,+)时,h(x)0,函数h(x
29、)单调递减.当x(0,+)时,h(x)h(e-2)=1+e-2.又当x(0,+)时,01,当x(0,+)时,h(x)1+e-2,即g(x)0,且x1时,f(x) .(1)解:f(x)=-.由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1).故解得a=1,b=1.(2)证明:由(1)知f(x)=+,所以f(x)- = (2ln x-).令函数h(x)=2ln x-(x0),则h(x)=-=-.所以当x1时,h(x)0,可得h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0.从而当x0,且x1时,f(x)-0,即f(x) .模拟试题考点一 利用导数解决单调性问题1.(2012长春名校联考)已知定义在R上的
30、函数f(x),其导函数f(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是()(A)f(b)f(c)f(d)(B)f(b)f(a)f(e)(C)f(c)f(b)f(a)(D)f(c)f(e)f(d)解析:依题意得,当x(-,c)时,f(x)0;当x(c,e)时,f(x)0.因此,函数f(x)在(-,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,+)上是增函数,又abf(b)f(a).故选C.答案:C2.(2012安徽六校联考)已知函数f(x)=(x2-ax)ex(xR),a为实数.(1)当a=0时,求函数f(x)的单调增区间;(2)若f(x)在闭区间-1,1上为减函数,求a的取值范围.解:(1)当
31、a=0时,f(x)=x2ex.f(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex,由f(x)0x0或x0,则xln 2,令f(x)0,则0xln 2,f(x)在(-,0,ln 2,+)上单调递增,在(0,ln 2)上单调递减.(2)f(x)= +-a,令ex=t,由于x-1,1,t,e.令h(t)=+(t,e),h(t)= - =,当t,)时,h(t)0,函数h(t)为增函数,h(t)e+.函数f(x)在-1,1上为单调函数,若函数在-1,1上单调递增,则a+对t,e恒成立,所以a;若函数f(x)在-1,1上单调递减,则a+对t,e恒成立,所以ae+,综上可得a或ae考点二 利用导数研究函数的极
32、(最)值1.(2011山东潍坊一模)已知函数f(x)=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1,x2,且x1-2,-1,x21,2,则f(-1)的取值范围是()(A)-,3(B),6(C)3,12 (D)-,12解析:f(x)=3x2+4bx+c是开口向上的二次函数,因为它在给定区间上存在两个极值点,所以即作出其可行域,易知目标函数z=2b-c的值域是3,12.故选C.答案:C2.(2013中山市高三第一学期期末)已知函数f(x)的导数f(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取得极大值,则a的取值范围为.解析:若a0,则函数当x(-,-1)和(a,+)时,f(x)0;当x(-1,
33、a)时,f(x)0,函数f(x)在x=a处取得极小值,不符合题意,故a0且a-1,当a0得ax-1,即x(a,-1)时f(x)为增函数,不符合题意.当-1a0得-1xa,令f(x)a或x-1,即x(-1,a)时f(x)为增函数,x(a,+)或x(-,-1)时f(x)为减函数.则f(x)在x=a处取极大值,因此-1a0.答案:(-1,0)3.(2013重庆市高三(上)期末测试)已知函数f(x)=ln x+x2+ax.(1)当a=-4时,求方程f(x)+x2=0在(1,+)上的根的个数;(2)若f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围.解:(1)a=-4时,令g(x)=f(x)+x2=ln
34、 x+2x2-4x,只要知道g(x)在(1,+)上的零点个数即可.由g(x)= +4x-4=在(1,+)上恒大于0知,g(x)在(1,+)上是单调递增的函数,又由于g(1)=-20,则g(x)在(1,+)上恰有一个零点,即方程f(x)+x2=0在(1,+)上只有一个根.(2)由题意知f(x)= +2x+a=在(0,+)上恰有两个互不相等的零点,则对于2x2+ax+1=0,有解得a-2.即实数a的取值范围为(-,-2).4.(2012广东肇庆模拟)甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润
35、x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格S是多少?解:(1)因为赔付价格为S元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2000-St.w=-S=,令w=0,得t=t0=2.当t0;当tt0时,w0,所以t=t0时,w取得最大值.因此乙方取得最大利润的年产量t0=2(吨).(2)设甲方
36、净收入为v元,则v=St-0.002t2.将t=2代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式v=-.又v=-+=,令v=0,得S=20.当S0;当S20时,v1时,求f(x)在区间(0,1)上的单调性;(2)当a0时,求f(x)的极值;(3)当a3时,曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1),Q(x2,f(x2),使得曲线y=f(x)在P、Q两点处的切线互相平行,证明:x1+x2.解:(1)f(x)=(a+)-1=-=- (x0).由于a1,故010),当a1时,f(x)的单调递减区间是(0,),(a,+),单调递增区间是(,a).f(x)极小值=f=（a+）ln +a
37、-=-（a+）ln a+a-,f(x)极大值=f(a)=（a+）ln a-a+.当a=1时,f(x)=- 0,f(x)无极值.当0a2得x1x2,即a+=,当a3时,a+,所以x1+x2max=.即x1+x2.综合检测1.(2013北大附中高三模拟)设函数f(x)=xn+x-1(nN*,n2),则f(x)在区间(,1)内()(A)存在唯一的零点xn,且数列x2,x3,xn,单调递增(B)存在唯一的零点xn,且数列x2,x3,xn,单调递减(C)存在唯一的零点xn,且数列x2,x3,xn,非单调数列(D)不存在零点解析:f(x)=nxn-1+1,因为n2,x（,1）,所以f(x)0,所以函数在(
38、,1)上单调递增.f(1)=1+1-1=10,f=n+-1=n-,因为n2,所以f=n-0时,函数先减后增,最小值为正,极小值点小于1,当x0时,分别对各函数求导,可分别得极值点为1,2,1,由此得只有选项B符合题意.故选B.答案:B3.(2012河南洛阳高三联考)设函数f(x)=ex(sin x-cos x)(0x2012),则函数f(x)的各极小值之和为()(A)-(B)-(C)-(D)-解析:由f(x)=ex(sin x-cos x),得f(x)=ex(sin x-cos x)+ex(cos x+sin x)=2exsin x.令f(x)=0,得x=0,2,3,2012.又f(x)取极小
39、值,x=2,4,6,2010.各极小值之和为f(2)+f(2010)=e2(0-1)+e4(0-1)+e2010(0-1)=-(e2+e4+e2010)=- =-.故选D.答案:D4.(2013汕头市普通高中高三一模)已知函数f(x)=x2-ln x.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调递减区间;(3)设函数g(x)=f(x)-x2+ax,a0,若x(0,e时,g(x)的最小值是3,求实数a的值.(e是自然对数的底数)解:(1)f(x)=x2-ln x,f(x)=2x-,则曲线f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为f(1)=2-1=1.又f(1)=1,所求切线方程是y-1=x-1,即x-y=0.(2)函数f(x)=x2-ln x的定义域是(0,+),令f(x)=2x-0,解得0x0,x=.当e,即0a时,g(x)= 0在(0,e上恒成立,则函数g(x)在(0,e上是减函数,则由条件知g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=(舍去).当0时,列表如下:x（0,）（,e）eg(x)-0+g(x)单调递减极小值1+ln a单调递增ae-1由表知g(x)min=1+ln a,令1+ln a=3,a=e2满足条件.综上可知,所求实数a的值为e2.
