1、第14讲 三角形与全等三角形（精讲）1. 理解三角形、理解三角形的内角、外角2. 理解三角形的中线、高线、角平分线、了解三角形的稳定性3. 探索并证明三角形的内角和定理4. 掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5. 证明三角形的任意两边之和大于第三边6. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角7. 掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等8. 掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等9. 掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等10. 证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等11. 探索并证明角平分线的性质定理：角平分
2、线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上第14讲 三角形与全等三角形（精讲）1考点1：与三角形有关的边3考点2：与三角形有关的角12考点3：全等三角形21课堂总结：思维导图32分层训练：课堂知识巩固33考点1：与三角形有关的边三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边角平分线：（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线：（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高：锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
3、【例题精析1】 三角形的分类如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是A表示等腰三角形，表示等边三角形，表示三边均不相等的三角形B表示等边三角形，表示等腰三角形，表示三边均不相等的三角形C表示三边均不相等的三角形，表示等腰三角形，表示等边三角形D表示三边均不相等的三角形，表示等边三角形，表示等腰三角形【例题精析2】 三角形的高如图，在中，边上的高是A线段B线段C线段D线段【例题精析3】 与三角形有关的线段在学完八上三角形一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为”小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边
4、和的一半”对以上两位同学的说法，你认为A两人都不正确B小慧正确，小峰不正确C小峰正确，小慧不正确D两人都正确【例题精析4】 三角形的角平分线甲、乙两位同学分别用尺规作图法作的平分线，则他们两人的作图方法A甲、乙两人均正确B甲正确，乙错误C甲错误，乙正确D甲、乙两人均错误【例题精析5】 三角形的中线如图，已知中，点、分别是边、的中点若的面积等于8，则的面积等于A2B3C4D5【例题精析6】 与三角形有关的线段如图，在中，为的中点，延长交于为上一点，于，下面判断正确的有是的角平分线；是边上的中线；是边上的高；是的角平分线和高A1个B2个C3个D4个【例题精析7】 与三角形有关的线段如图，直角三角形
5、中，于点，则点到的距离是【例题精析8】 与三角形有关的线段中，下列说法正确的有（填序号）三条角平分线的交点到三边的距离相等；三条中线的交点到三边的距离相等；三条中垂线的交点到三顶点的距离相等；三边的高的交点一定在三角形的内部【例题精析9】 与三角形有关的线段的两条边的长度分别为2和5，若第三条边为奇数，则的周长为 【对点精练1】 三角形的分类下列关于三角形的分类，正确的是ABCD【对点精练2】 与三角形有关的线段如图，中，边上的高是线段ABCD【对点精练3】 与三角形有关的线段下列说法中：三角形的角平分线、中线、高线都是线段；直角三角形只有一条高线；三角形的中线可能在三角形的外部；三角形的高线
6、可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，其中说法正确的有个A1B2C3D4【对点精练4】 与三角形有关的线段（2021春信都区期末）如图，的角平分线，中线交于点，则结论：是的角平分线；是的中线其中A、都正确B、都不正确C正确不正确D不正确，正确【对点精练5】 与三角形有关的线段已知：如图所示，在中，点，分别为，的中点，且，则阴影部分的面积为【对点精练6】 三角形的三边关系三角形的三边长分别为2，5，则的取值范围是 【实战经典1】 （2017永州）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，给出三角形，则这块玻璃镜的圆心
7、是A，边上的中线的交点 B，边上的垂直平分线的交点C，边上的高所在直线的交点D与的角平分线的交点【实战经典2】 （2021淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 【实战经典3】 （2019南京）在中，则的长的取值范围是考点2：与三角形有关的角（1）内角和定理：三角形的内角和等180； 推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角. 【例题精析1】 与三角形有关的角在中，的平分线交于点，若，则度【例题精析2】 与三角形有关的角如图，平分，平分，与交于，若，则的度数为 【例
8、题精析3】 与三角形有关的角（2021秋仙居县期中）如图，将一角折叠，若，则【例题精析4】 与三角形有关的角如图，平分，平分，已知，则【例题精析5】 与三角形有关的角当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中称为“希望角”，如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 【例题精析6】 与三角形有关的角如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则【对点精练1】 与三角形有关的角如图，的平分线与的平分线相交于若，则【对点精练2】 与三角形有关的角如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕
9、为，已知，若保持的一边与平行，则的度数 【对点精练3】 与三角形有关的角如图，将三角形纸片沿折叠，若，则的度数为 【实战经典1】 （2021梧州）在中，则等于ABCD【实战经典2】 （2021本溪）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是ABCD【实战经典3】 （2020湖北）将一副三角尺按如图摆放，点在上，点在的延长线上，则的度数是ABCD考点3：全等三角形全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边、对应角相等(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等(3)全等三角形的周长等、面积等三角形全等的判定 【例题精析1】 全等三角形的判定与性质下列说法正确的是（）A两个面积相等的图形是全等
10、图形B两个等边三角形是全等图形C两个周长相等的圆是全等图形 D形状相同的两个图形是全等图形【例题精析2】 全等三角形的判定与性质如图，已知ABEACD，12，BC，不正确的等式是（）AABACBBAECADCBEDCDADDE【例题精析3】 全等三角形的判定与性质如果ABC的三边长分别为3，5，7，DEF的三边长分别为3，3x2，2y1，若这两个三角形全等，则x+y（）A8B173或6C10D193或6【例题精析4】 全等三角形的判定与性质如图，AD和BC相交于O点，已知OAOC，以“ASA”为依据说明AOBCOD还需添加（）AABCDBACCOBODDAOBCOD【例题精析5】 全等三角形的
11、判定与性质如图，点A、D、C、F在同一条直线上，若ABDE，BCEF，则下列条件中能满足ABCDEF的是（）AAEDFBADCFCBCAFDBCEF【对点精练1】 全等三角形的判定与性质如图，已知ABCDEF，CD是ACB的平分线，已知D22，CGD92，则E的度数是（）A26B22C34D30【对点精练2】 全等三角形的判定与性质如图，已知ABCDEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AFCD交CD于点F，若BCE60，则CAF的度数为（）A35B30C60D65【对点精练3】 全等三角形的判定与性质如图，AOBADC，点B和点C是对应顶点，OD90，若OAD64，当BCOA时，A
12、BO的度数为（）A26B32C36D38【对点精练4】 全等三角形的判定与性质根据下列条件，能画出唯一ABC的是（）AAB3，BC4，CA8BAB4，BC3，A30CA60，C90，B30DA60，B45，AB4【对点精练5】 全等三角形的判定与性质如图，点E，C，F，B在同一条直线上，ACDF，ECBF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定ABCDEF的是（）AACDFBABDECADDABDE【对点精练6】 全等三角形的判定与性质如图，点C在AOB的OB边上，用尺规作出了CNOA，连接EN，作图痕迹中，ODMCEN根据的是（）ASASBSSSCASADAAS【对点精练7】 全等三角形
13、的判定与性质如图，A、C、E三点在向一直线上，ABC、CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC，则有以下四个结论：ACDBCE；CPQ是等边三角形；OC平分AOE；BPOEDO其中正确的是（）ABCD【对点精练8】 全等三角形的判定与性质已知：如图，点E，F在BC上，BECF，ABDC，BC求证：AD【实战经典1】 （2021哈尔滨）如图，ABCDEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AFCD，垂足为点F，若BCE65，则CAF的度数为（）A30B25C35D65【实战经典2】 （2020淄博）如图，若ABCADE，则下列结论中一定成立的是（）AACDEBBADCAECA
14、BAEDABCAED【实战经典3】 （2021重庆）如图，点B，F，C，E共线，BE，BFEC，添加一个条件，不能判断ABCDEF的是（）AABDEBADCACDFDACFD【实战经典4】 （2021攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事ABCD【实战经典5】 （2020黑龙江）如图，RtABC和RtEDF中，BD，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使RtABC和RtEDF全等【实战经典6】 （2021福建）如图，在RtABC中，ACB90线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上
15、，EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上（1）求证：ADEDFC；（2）求证：CDBF【实战经典7】 （2021福建）如图，在ABC中，D是边BC上的点，DEAC，DFAB，垂足分别为E，F，且DEDF，CEBF求证：BC课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是的面积的面积；ABCD2已知为的中线，且，则与的周长之差为ABCD3下列说法：直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；同旁内角互补；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；三角形三条高至少有一条在三角形的内部；垂直于同一条直线的两
16、条直线平行；三角形的角平分线是线段其中说法正确的有A2个B3个C4个D5个4如图，在中，边上的高为ABCD5如图，在中，分别是边上的中线和高，点在点的左侧，已知，ABCD6如图，是的中线，点是的中点，连接、，若的面积是8，则阴影部分的面积为A4B2C6D87如图所示，在中，、分别为、的中点，且，则的面积等于ABCD8的三边分别为，若，的长为偶数，则A2B4C6D89如图，中，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则等于ABCD10如图，在中，点，分别在边，上，将沿折叠至位置，点的对应点为若，则的度数为ABCD11以下说法正确的有三角形的中线、角平分线都是射线；三角形的三条高所在直线相交于一点；三
17、角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；直角三角形的三条高相交于直角顶点A5个B4个C3个D2个12如图，把沿翻折，叠合后的图形如图，若，则的度数是ABCD13如图，是的角平分线，垂足为若，则的度数为ABCD14如图，一副直角三角板如图所示摆放，顶点在边上，且，则的度数是ABCD15如图，是的角平分线和的交点，于点若，则的度数是ABCD16如图，已知，则等于ABCD17如图，在中，平分，平分，平分的外角，连接，若，则的度数是ABCD18如图，已知中，为上一点，将沿折叠后，点落在点处，且，则的度数是1如图，在中，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的
18、是A是的中线B是的角平分线CD是的高2如图，于，于，于，于，在中，边上的高为ABCD3如图，中，平分，点在线段上，且交的延长线于点若，则的度数为ABCD4中，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为ABCD5如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为ABCD6如图在中，分别平分，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，则以下结论，正确的是ABCD7如图，、相交于点，则度数是ABCD8在中，分别是、上的点，过点作，垂足分别是点，连接，若，则下面三个结论：；其中正确的是ABCD9如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离，
19、我军战士想到一个办法他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点；然后转过身，保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点上；最后，他用步测的办法量出自己与点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由是ABCD10如图，在等腰三角形中，于点，点是的延长线上一点，点在的延长线上，下面的结论：；是正三角形；其中正确的是ABCD11如图，在中，于，于，与交于，则12有一张三角形纸片，已知，点在边上，请在边上找一点，将纸片沿直线折叠，点落在点处，若与三角形纸片的边平行，则的度数为 13如图，在中有两个内角相等，且是的角平分线，若，则14如图，将沿方向平移到、在
20、同一条直线上），若，与相交于点，和的平分线、相交于点，则15如图，已知长方形的边长，点在边上，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点到点运动则当与全等时，时间为16已知点、，以点、（点不与点重合）为顶点的三角形与全等，则符合要求的点坐标可以是1如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长交于，的垂直平分线分别交，于点，点，连接，下列结论：；，其中正确的个数是A2个B3个C4个D5个2在中，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点以下说法正确的有个；若，则A2B3C4D53如图，在中，和的平分线、相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：；当时，；若，则其
21、中正确的是ABCD4如图，为的角平分线，为上一点，且于，给出下列结论：；连接，则；四边形的面积是面积的2倍其中正确的有个A5B4C3D25如图，在中，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：；的面积等于四边形的面积；其中正确的是ABCD6如图，在钝角中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点，取中点，中点，连接、下列结论：；其中正确的结论的个数是A1个B2个C3个D4个7已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则下列五个结论：；是等边三角形；平分其中，正确的是 （只填写序号）8如图，和都是等腰直角三角形，分别与、交于点、下列结论：；所有正确结论的序号是 9如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，以点为圆心，3为半径的圆分别交、于点、，与交于点并与交于点，连结、给出下列四个结论其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）（1）是的中点（2）（3）（4）
