1、专题06 四点共圆（专项训练）1（2021秋渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角ABE为80，则ADC度数为（）A80B40C100D160【答案】A【解答】解：四边形ABCD为圆内接四边形，ADC+ABC180，ABE+ABC180，ADCABE80，故选：A2（2021秋滨湖区期中）如图，ABAD6，A60，点C在DAB内部且C120，则CB+CD的最大值（）A4B8C10D6【答案】A【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DMDC，DAB60，DCB120，DAB+DCB180，A，B，C，D，四点共圆，ADAB，DAB60，ADB是等边三角形，ABDACD60，DM
2、DC，DMC是等边三角形，ADBACD60，ADMBDC，ADBD，ADMBDC（SAS），AMBC，ACAM+MCBC+CD，四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BCAD+AB+AC，且ADAB6，当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大，此时C点在的中点处，CAB30，AC的最大值ABcos304，CB+CD最大值为AC4，故选：A3（2022靖江市二模）如图，ABBC，AB5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰RtDEF，D90，连接AD，则AD的最小值为 【答案】【解答】解：连接BD并延长，如图，ABBC，ABC90，EDF90，ABC
3、+EDF180，B，E，D，F四点共圆，DEF为等腰直角三角形，DEFDFE45，DBFDEF45，DBFDBE45，点D的轨迹为ABC的平分线上，垂线段最短，当ADBD时，AD取最小值，AD的最小值为AB，故答案为：4如图，ABC和BCD均为直角三角形，BACBDC90，AB2，连接AD若ADB30，则AC的长为 【答案】【解答】解：BACBDC90，A，B，C，D四点共圆，ADB30，AB2，ACBADB30，BC2AB4，AC故答案为：5如图，在四边形ABCD中，BD6，BADBCD90，则四边形ABCD面积的最大值为【答案】18【解答】解：BADBCD90，A，C两点在以BD为直径的圆
4、上，当ABAD，CBCD时，四边形ABCD面积最大，BD6，ABADCBCD3，四边形BCD的面积为318故答案为：186如图，在ABC和ACD中，ABCADC45，AC6，则AD的最大值为 【答案】6【解答】解：ABCADC45，A，C，D，B四点共圆，如图，作O经过A，C，D，B四点，当AD（D）为直径时，AD有最大值，ADC45，AOC90，OAOC，AOC是等腰直角三角形，AC6，AO63，AD2AO6，即AD的最大值为6故答案为：67如图，ABC中，ABAC，BAC90，点D是BC的中点，点E，F分别为AB，AC边上的点，且EDF90，连接EF，则DEF的度数为【答案】45【解答】解
5、：如图，连接AD，ABC中，ABAC，BAC90，点D是BC的中点，ADC90，ADCD，BADC45，而EDF90，ADECDF，在ADE和CDF中，ADECDF（ASA），DEDF，而EDF90，DEFDFE45故答案为：458（2022秋萧山区月考）如图，以C为公共顶点的RtABC和RtCED中，ACBCDE90，ADCE30，且点D在线段AB上，则ABE30，若AC10，CD9，则BE 【答案】【解答】解：ACBCDE90，ADCE30，DBCDEC60，B、C、D、E四点共圆，DBEDCE30，ABE30，设BCx，则AB2x，在RtABC中，由勾股定理得AB2AC2+BC2，AC1
6、0，（2x）2102+x2，解得：x，BC，设DEa，则CE2a，在RtCED中，由勾股定理得CE2DE2+CD2，CD9，（2a）2a2+92，解得：a，DE，CE，ABC60，ABE30，CBEABC+ABE90，在RtCBE中，由勾股定理得9（2021秋宽城区期末）【问题原型】如图，在O中，弦BC所对的圆心角BOC90，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC（1）在点A运动过程中，A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由（2）若BC2，求弦AC的最大值【问题拓展】如图，在ABC中，BC4，A60若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 【解答】解：【问题
7、原型】（1）A的度数不发生变化，理由如下：，BOC90，；（2）当AC为O的直径时，AC最大，在RtBOC中，BOC90，根据勾股定理，得OB2+OC2BC2，OBOC，即AC的最大值为；【问题拓展】如图，画ABC的外接圆O，连接OB，OC，ON，则ONBC，BON60，BNBC2，OB，M、N分别是AB、BC的中点，MN是ABC的中位线，MNAC，AC为直径时，AC最大，此时AC2OB，MN最大值为，故答案为：10（2022秋仪征市期中）【问题提出】苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：1如图（1），在O的内接四边形ABCD中，BD是O的直径A与C、ABC
8、与ADC有怎样的数量关系？2如图（2），若圆心O不在O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？（1）小明发现问题1中的A与C、ABC与ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：BD是O的直径， ，A+C180，四边形内角和等于360， （2）请回答问题2，并说明理由；【深入探究】如图（3），O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系 ；（4）探究EF、GH满足的位置关系；（5）如图（4），若C90，BC3，CD2，请直接写出图中阴影部分的面积【解答】解：【问题提出】（1）BD是
9、O的直径，AC90，A+C180，四边形内角和等于360，ABC+ADC180；故答案为：AC90，ABC+ADC180；（2）成立，理由如下：连接AC、BD，DACCBD，ACDABD，DAC+ACDDBC+ABDABC，DAC+ACD+ADC180，ABC+ADC180；同理，BAD+BCD180；【深入探究】（3）AD+BCAB+CD，理由如下：连接AI、BI、CI、DI，圆I是四边形ABCD的内切圆，AGAE，DEDH，CHCF，BFBG，AD+BCAE+ED+BF+CFAG+DH+BG+CHAB+CD，即AD+BCAB+CD，故答案为：AD+BCAB+CD；（4）EFGH，理由如下：
10、连接EH、IH、IG、IF、GF，四边形ABCD是圆O的内接四边形，B+D180，BGIG，IFBF，BGIIFB90，B+GIF180，GIFD，GIIF，GFI90GIF，EDDH，DEH90D，GFIDEH，GFEGHE，GHEGFI+IFE，IFIE，IFEIEF，FEH+EHGFEH+IEF+DEHEID90，EFGH；（5）连接BD，C90，A90，ABCD是圆O的内接圆，BD是圆O的直径，连接IF、IH，I是四边形ABCD的内切圆圆心，ADIIDH，ABIFBI，IHCD，IFBC，BIF90IBF，DIH90IDH，BIF+DIH180（IBF+IDH）180（ADC+ABC）
11、，ABC+ADC180，BIF+DIH90，IFFC，IHCD，C90，IHIF，四边形IHCF是正方形，HIF90，I点在BD上，BC3，CD2，S四边形ABCD326，DIH+IDH90，IBF+IDH90，DIHIBF，IHDIFB90，DHIIFB，即，解得IH，SI，阴影部分的面积610（2022遵义）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆该小组继续利用上述结论进行探究提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果BD，那么A，B，C，D四点在同一个圆上探究展示：如图2，作经过点A，C，D的O，在劣
12、弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则AEC+D180（依据1）BDAEC+B180点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点B，D在点A，C，E所确定的O上（依据2）点A，B，C，D四点在同一个圆上反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1： ；依据2： （2）如图3，在四边形ABCD中，12，345，则4的度数为 拓展探究：（3）如图4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE求证：A，D，B，E四点共圆；若
13、AB2，ADAF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由【解答】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）解：12，点A，B，C，D四点在同一个圆上，34，345，445，故答案为：45；（3）证明：ABAC，ABCACB，点E与点C关于AD的对称，AEAC，DEDC，AECACE，DECDCE，AEDACB，AEDABC，A，D，B，E四点共圆；解：ADAF的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接CF，点E与点C关于AD的对称，FEFC，FECFCE，
14、FEDFCD，A，D，B，E四点共圆，FEDBAF，BAFFCD，A，B，F，C四点共圆，AFBACBABC，BADFAB，ABDAFB，ADAFAB2811如图，在ABC中，以AB为直径作O交AC于点D，交BC于点E，CEBE，过点E作EFAC于点F，FE的延长线交AB的延长线于点G，连接DE（1）求证：FG是O的切线；（2）求证：EG2AGBG；（3）若BG1，EG，求sinCDE的值【解答】（1）证明：连接OE，CEBE，OABO，OE是ABC的中位线，OEAC，EFAC，OEEF，E点在圆O上，FG是O的切线；（2）证明：OEGF，OEG90，OG2OE2+EG2，EG2OG2OE2（OG+OE）（OGOE），EOBOOA，EG2（OG+OA）（OGOB）AGBG；（3）解：连接AE，过E点作EMAB交于点M，EG2AGBG，BG1，EG，AG2，AB1，AB是直径，AEB90，OEG90，AEOBEB，AOOE，EAOOEA，BEGEAO，AEGEBG，设EBx，则AEx，在RtABE中，1x2+2x2，解得x，BE，AE，AEBEABEM，EM，A、B、E、D四点共圆，CDEABE，sinCDEsinEBM
