1、第 05 讲 分式方程1.分式方程的基本概念2.解分式方程3.分式方程的增根4.列表法解决分式方程的应用简单；易错；中等；难；压轴考点 1：解分式方程.3考点 2：分式方程的根.8考点 3：分式方程的应用.13课堂总结：思维导图.23分层训练：课堂知识巩固.24考点 1：解分式方程分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程解方式方程的解法步骤（1）去分母，将分式方程化为整式方程；（2）解所得的整式方程；（3）检验：把所求得的 x 的值代入最简公分母中，若最简公分母为 0，则应舍去【例题精析1】分式方程的定义下列关于 x 的方程，是分式方程的是()A325xxB 11523xyC32xxx D1
2、212xx【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断【解答】解：A 方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B 方程分母中不含未知数，故不是分式方程；C 方程分母中不含表示未知数的字母，是常数，故不是分式方程；D 方程分母中含未知数 x，故是分式方程故选：D【点评】本题主要考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）【例题精析2】解分式方程如图是小明同学解方程 12133xxx的过程针对以上解题过程，下列说法正确的是()A从第一步开始有错B从第二步开始有错C从第三
3、步开始有错D完全正确【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成 1 即可【解答】解：从第二步开始出错，正确的解答过程是：方程两边同时乘(3)x，得12(3)xx ，解得0 x，检验：当0 x 时，30 x ，所以原方程的解为0 x 故选：B【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次方程，能把分式方程转化成整式方程和能根据等式的性质进行变形是解此题的关键【例题精析3】新定义-解分式方程对于实数 a，b，定义一种新运算“”为：22abab，这里等式右边是通常的实数运算例如：22113134，则方程6(1)11xx的解是()A4x B5x C6x D7x【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计
4、算即可求出解【解答】解：根据题中的新定义化简得：26111xx，去分母得：261x，解得：5x，经检验5x 是分式方程的解故选：B【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键【例题精析4】解分式方程解分式方程：（1）2301xx；（2）11322xxx【分析】（1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x 的系数化为 1、检验解决此题（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x 的系数化为 1、检验解决此题【解答】解：（1）2301xx，方程同乘(1)x x，得 2(1)30 xx去括号，得 2230 xx 移项，得 232xx合并同类项，得2x x 的系数化
5、为 1，得2x 经检验：当2x 时，(1)0 x x 该分式方程的解为2x （2）11322xxx，方程两边同乘2x，得113(2)xx 去括号，得1 1 36xx 移项，得31 6 1xx 合并同类项，得 24x x 的系数化为 1，得2x 经检验：当2x 时，20 x 2x 是该分式方程的增根该分式方程无解【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解决本题的关键【对点精练1】分式方程定义已知方程：264xxx；232xx；2190 x；3()(6)18xx 这四个方程中，分式方程的个数是()A1B2C3D4【分析】利用分式方程的定义进行判定即可【解答】解：分式方程是指分母中含
6、有未知数的方程，是分式方程，是整式方程故选：C【点评】本题主要考查了分式方程的定义，准确利用分式方程的定义进行判断是解题的关键【对点精练2】解分式方程解分式方程8587142xxxx时，去分母后得到的整式方程是()A 2(8)516(7)xxxB 2(8)58xxC 2(8)516(7)xxxD 2(8)58xx【分析】分式方程两边乘以 2(7)x 去分母得到结果，即可作出判断【解答】解：去分母得：2(8)516(7)xxx故选：A【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验【对点精练3】解分式方程解下列分式方程：（1）21133xxx；（2）24111xxx【分析】（
7、1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：（1）去分母，得：213xx ，解得：4x，检验：把4x 代入得：30 x ，4x 是原分式方程的解；（2）去分母，得：2(1)41x xx，解得：3x，检验：把3x 代入得：(1)(1)0 xx，3x 是原分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验【对点精练4】解分式方程解方程（1）21133xxxx；（2）2227361xxxxxx【分析】（1）分式方程去
8、分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：（1）去分母得：633xxx，移项得：633xxx，合并得：43x，解得：34x，检验：把34x 代入得：3(1)0 x，34x是分式方程的解；（2）去分母得：7(1)3(1)6x xxx，整理得：277336xxxx，即271030 xx，分解因式得：(73)(1)0 xx，解得：137x，21x ，检验：把37x 代入得：(1)(1)0 x xx，把1x 代入得：(1)(1)0 x xx，1x 是增根，分式
9、方程的解为37x【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验【实战经典1】（2021陕西）解方程：213111xxx【分析】方程两边都乘以(1)(1)xx得出2(1)3(1)(1)xxx，求出方程的解，再进行检验即可【解答】解：方程两边都乘以(1)(1)xx得：2(1)3(1)(1)xxx，解得12x ，检验：当12x 时，(1)(1)0 xx，所以12x 是原方程的解【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键【实战经典2】（2020大庆）解方程：24111xxx 【分析】根据解分式方程的步骤解答即可【解答】解：方程的两边同乘1x ，得：21
10、4xx ，解这个方程，得：3x ，经检验，3x 是原方程的解，原方程的解是3x 【点评】本题主要考查了解分式方程，会把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键【实战经典3】（2020郴州）解方程：24111xxx【分析】方程两边都乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解【解答】解：24111xxx，方程两边都乘(1)(1)xx，得(1)4(1)(1)x xxx，解得3x ，检验：当3x 时，(1)(1)80 xx故3x 是原方程的解【点评】考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程求解最后注意需验根考点 2：分式方程的根依据分式方程的增根确定字母参数的方法（1）将分式方程化为整式方程（2）
11、用含有字母参数的代数式表示 x （3）根据情况确定值依据分式方程的增根确定字母参数的方法（1）先将分式方程转化为整式方程（2）由题意求出增根（3）将增根代入所化得的整式方程，解出字母【例题精析1】分式方程的根已知关于 x 的分式方程122xmxx的解是非负数，则 m 的取值范围是 1m且1m 【分析】先由题意求出分式方程的解，再由解是非负数和分母不为 0，列出不等式组，解出即可得到答案【解答】解：122xmxx，去分母得：1xm，1xm ，1 012mm ，解得：1m且1m ，故答案为：1m且1m 【点评】本题考查了分式方程中参数的取值范围，除了题干中明确要求的条件外，要注意分母不能为 0 的
12、隐含条件【例题精析2】分式方程的根（2021达州）若分式方程 22411xaxaxx的解为整数，则整数 a 1 【分析】先将分式方程化简为整式方程，再用含 a 代数式表示 x，由方程的解为整数及1x 为增根可求 a【解答】解：方程两边同时乘以(1)(1)xx得(2)(1)4(1)(1)(1)(2)xa xxxxxa，整理得24ax ，整理得2ax，x，a 为整数，1a 或2a ，1x 为增根，2a ，1a 故答案为：1【点评】本题考查分式方程的解，解题关键是用含参代数式表示方程的解 x 并注意增根情况【例题精析3】分式方程的根若关于 x 的方程21211xmxx有增根，那么 m 4 【分析】分
13、式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到10 x ，求出 x 的值，代入整式方程计算即可求出 m 的值【解答】解：方程两边都乘以1x ，得：22(1)1xxm，方程有增根，1x ，将1x 代入22(1)1xxm 得：4m ，故答案为：4【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值【对点精练1】分式方程的根关于 x 的方程 3124ax的解是非负数，则 a 的取值范围是 3a且13a 【分析】先求出方程的解，根据解是非负数列出不等式，即可解答【解答】解：在方程两边同乘4x 得：312(4)ax，解得：392a
14、x，方程的解是非负数，3902a ，且 3942a，解得：3a且13a 故答案为：3a且13a 【点评】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式，解决本题的关键是根据方程的解是非负数得出不等式【对点精练2】分式方程的根若关于 x 的分式方程 3522xmxx的解为正数，则 m 的取值范围为 10m 且6m 【分析】先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到 m 的取值范围【解答】解：3522xmxx，35(2)xmx，3510 xmx，3510 xxm，210 xm，102mx，20 x，2x，1022m，6m 方程的解为正数，1002m，10m m的取值范围为：10m
15、 且6m 故答案为：10m 且6m 【点评】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验【实战经典1】（2021重庆）关于 x 的分式方程331122axxxx 的解为正数，且使关于 y 的一元一次不等式组32122yyya有解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是()A 5B 4C 3D 2【分析】由关于 y 的一元一次不等式组32122yyya有解得到 a 的取值范围，再由关于 x 的分式方程331122axxxx 的解为正数得到 a 的取值范围，将所得的两个不等式组成不等式组，确定 a 的整数解，结论可求【解答】解：关于 x 的分式方程
16、331122axxxx 的解为64xa，关于 x 的分式方程331122axxxx 的解为正数，40a，4a ，关于 x 的分式方程331122axxxx 有可能产生增根 2，624a，1a ，解关于 y 的一元一次不等式组32122yyya得02yya，关于 y 的一元一次不等式组32122yyya有解，20a，2a，综上，42a 且1a ，a 为整数，3a 或 2 或 0 或 1，满足条件的整数 a 的值之和是：320 14 ，故选：B【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，确定分式方程的解时，注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键【实战经典2】（20
17、20广元）按照如图所示的流程，若输出的6M ，则输入的 m 为()A3B1C0D 1【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得 m 的值，从而可以解答本题【解答】解：当220mm 时，661m，解得0m，经检验，0m 是原方程的解，并且满足220mm，当220mm时，36m ，解得3m ，不满足220mm，舍去故输入的 m 为 0故选：C【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法【实战经典3】（2021齐齐哈尔）若关于 x 的分式方程 3211xmxx的解为正数，则 m 的取值范围是 2m 且3m 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的
18、解，由方程的解为正数列出不等式，；又分式方程有可能产生增根1x ，所以分式方程的解不等于 1，根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到 m 的取值范围【解答】解：去分母，得：32(1)xmx，去括号，移项，合并同类项，得：2xm 关于 x 的分式方程 3211xmxx的解为正数，20m又10 x ，1x 21m，解得：2m 且3m 故答案为：2m 且3m 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式组利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解并注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键【实战经典4】（2020潍坊）若关于 x 的分式方程 33122xmxx有增根，则 m 3【分析】先把分
19、式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出 x 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出 m 的值【解答】解：去分母得：33(2)xmx，整理得：21xm，关于 x 的分式方程 33122xmxx有增根，即20 x，2x，把2x 代入到 21xm 中得：2 21m ，解得：3m；故答案为：3【点评】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：化分式方程为整式方程；让最简公分母等于零求出增根的值；把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值考点 3：分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤(1)审题；(2)设未知数；(3)列分式方程；
20、(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.常用公式（1）数量问题；（2）销售问题（利润=售价进价，利润率=利润进价100%）；（3）工程问题工作量=人均效率人数时间；如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量（4）行程问题（路程=速度时间）；【例题精析1】某工程队在某街道改造一条长 6000 米的人行步道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行步道 x 米，则可得方程 600060002518xx，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补为(
21、)A每天比原计划多铺设 18 米，结果提前 25 天完成B每天比原计划多铺设 18 米，结果延期 25 天完成C每天比原计划少铺设 18 米，结果延期 25 天完成D每天比原计划少铺设 18 米，结果提前 25 天完成【分析】根据题意和题目中的方程可知，实际每天改造人行步道 x 米，则原计划每天改造人行步道(18)x 米，实际比原计划提前 25 天，从而可以选出符合题意的选项【解答】解：由题意可得，题中用“”表示的缺失的条件应补为：每天比原计划多铺设 18 米，结果提前25 天完成，故选：A【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出表示方程的实际含义【例题精析2】
22、某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的 200 元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠 2 元，结果比原计划多买了 5 包口罩设原计划购买 x 包口罩，则依题意列方程为()A 20020025xxB 20020025xxC 20020052xxD 20020052xx【分析】根据原计划每包的价格 实际购买每包的价格 2，可以列出相应的分式方程【解答】解：由题意可得，20020025xx，故选：B【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程【例题精析3】在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木 50 万棵，由于
23、志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前 2 天完成任务，设原计划每天植树 x 万棵，由题意得到的方程是()A 50502(130%)xxB 5050230%xxC5050230%xxD50502(130%)xx【分析】根据原计划的天数 实际的天数 提前的天数可以列出相应的方程，本题得以解决【解答】解：由题意可得，50502(130%)xx，故选：A【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程【例题精析4】（2021梧州）某工厂急需生产一批健身器械共 500 台，送往销售点出售当生产 150 台后，接到通知，要求提前完成任务，
24、因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的 1.4 倍，一共用8 天刚好完成任务（1）原来每天生产健身器械多少台？（2）运输公司大货车数量不足 10 辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输已知每辆大货车一次可以运输健身器械 50 台，每辆车需要费用 1500 元；每辆小货车一次可以运输健身器械 20 台，每辆车需要费用 800 元在运输总费用不多于 16000 元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？【分析】（1）设原来每天生产健身器械 x 台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x台，利用工作时间 工作总量 工作
25、效率，结合一共用 8 天刚好完成任务，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设使用 m 辆大货车，使用 n 辆小货车，根据同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，可得出5020500mn，化简后可得出5252nm，结合“运输公司大货车数量不足 10 辆，且运输总费用不多于16000 元”，即可得出关于 m 的一元一次不等式组，解之即可得出 m 的取值范围，结合 m 为整数即可得出 m的值，由 m 的值结合5252nm可得出 n 的最小值，进而可得出各运输方案，利用总运费 每辆车的运动派车数量，即可分别求出两个运输方案所需运费，比较后即可得出结论【解答】解：（1）设
26、原来每天生产健身器械 x 台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x台，依题意得：15050015081.4xx，解得：50 x，经检验，50 x 是原方程的解，且符合题意答：原来每天生产健身器械 50 台（2）设使用 m 辆大货车，使用 n 辆小货车，同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，5020500mn，5252nm又运输公司大货车数量不足 10 辆，且运输总费用不多于 16000 元，10150080016000mmn，即1051500800(25)160002mmm，解得：810m 又m 为整数，m可以为 8，9当8m 时，5525258522nm；当9m 时，555252
27、59222nm，又n 为整数，n 的最小值为 3共有 2 种运输方案，方案 1：使用 8 辆大货车，5 辆小货车；方案 2：使用 9 辆大货车，3 辆小货车方案 1 所需费用为1500 8 800 5 16000 （元)，方案 2 所需费用为1500 9800 3 15900 （元)16000 15900，运输方案 2 的费用最低，最低运输费用是 15900 元【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组【例题精析5】（2021 秋娄底期中）“六一”儿童节前夕，某文具店用 4
28、000 元购进 A 种滑板车若干台，用 8400 元购进 B 种滑板车若干台，所购 B 种滑板车比 A 种滑板车多 10 台，且 B 种滑板车每台进价是 A种滑板车每台进价的 1.4 倍（1）A、B 两种滑板车每台进价分别为多少元？（2）第一次所购滑板车全部售完后，第二次购进 A、B 两种滑板车共 100 台（进价不变），A 种滑板车的售价是每台 300 元，B 种滑板车的售价是每台 400 元两种滑板车各售出一半后，六一假期已过，两种滑板车均打七折销售，全部售出后，第二次所购滑板车的利润为 5800 元（不考虑其他因素），求第二次购进 A、B 两种滑板车各多少台？【分析】（1）设 A 种滑板
29、车每台进价为 x 元，则 B 种滑板车每台进价为1.4x元，根据“所购 B 种滑板车比 A种滑板车多 10 台”，即可得出关于 x 的分式方程，解之即可得出结论；（2）设设第二次购进 A 种滑板车 y 台，B 种滑板车(100)y台，根据销售利润 每盒的利润 销售数量，即可得出关于 y 的一元一次方程，解方程即可【解答】（1）解：设 A 种滑板车每台进价为 x 元，则 B 种滑板车每台进价为1.4x元，根据题意得：84004000101.4xx，解得：200 x，经检验200 x 是原方程的根，且符合题意，此时1.41.4 200280 x（元)，答：A 种滑板车每台进价为 200 元，B 种
30、滑板车每台进价为 280 元；（2）解：设第二次购进 A 种滑板车 y 台，B 种滑板车(100)y台，由题意得：100100(300200)(30070%200)(400280)(40070%280)58002222yyyy，解得：40y，此时1001004060y（台)，答：第二次购进 A 种滑板车 40 台，B 种滑板车 60 台【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程【对点精练1】在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测 15 人，甲队检测 600 人所用的时间比
31、乙队检测 500 人所用的时间少10%设甲队每小时检测 x 人，根据题意，可列方程为()A 600500(1 10%)15xxB 600500(1 10%)15xxC 600500(1 10%)15xxD 600500(1 10%)15xx【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题【解答】解：设甲队每小时检测 x 人，根据题意得，600500(1 10%)15xx，故选：A【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程【对点精练2】为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，1y，2y 分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶
32、路程 S（单位：千米）与所需费用 y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用 2 倍多 0.2 元，设燃气汽车每千米所需费用为 x 元，则可列方程为()A 301020.2xxB301020.2xxC301020.2xxD 301020.2xx【分析】设燃气汽车每千米所需费用为 x 元，则燃油汽车每千米所需费用为(20.2)x 元，根据行驶路程 所需费用 每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解【解答】解：设燃气汽车每千米所需费用为 x 元，则燃油汽车每千米所需费用为(0.5)x 元，依题意得：301020.2xx故选：B【点评】
33、本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键【对点精练3】山西交城骏枣是山西四大名枣之一，誉为“枣后”，素有“八个一尺，十个一斤”之称，畅销山西乃至全国各地甲、乙两辆运输车将骏枣运往距离 180 千米的 A 地，已知乙车的速度是甲车的速度的 1.5 倍，甲车比乙车早出发 0.5 小时，结果甲车比乙车晚到 0.5 小时求甲、乙两车的速度分别是多少？设甲车的速度是 x 千米/时，则根据题意列方程为()A18018011.52xxB18018011.52xxC180180111.522xxD180180111.522xx【分析】设甲车的速度是 x 千米/小时，根据从
34、 A 地开往 B 地时，乙车的速度是甲车的速度的 1.5 倍，甲车比乙车早出发 0.5 小时，结果甲车比乙车晚到 0.5 小时，可列方程求解【解答】解：设甲车的速度是 x 千米/时，根据题意列方程为180180111.522xx，故选：D【点评】本题考查了由实际问题抽象出方式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键【对点精练4】某防护用品厂计划生产 240000 个口罩，但在实际生产时，？求实际每天生产口罩的个数在这个问题中，若设实际每天生产口罩 x 个，由题意可列出的方程为 24000024000010200 xx，则问题中用“？”所表示的条件应该是()A每天比原计划多生产 200
35、个，结果延期 10 天完成B每天比原计划少生产 200 个，结果提前 10 天完成C每天比原计划少生产 200 个，结果延期 10 天完成D每天比原计划多生产 200 个，结果提前 10 天完成【分析】根据所设未知数和方程可得：实际生产时，每天比原计划多生产 200 个，提前 10 天完成任务【解答】解：根据方程可得：某防护用品厂计划生产 240000 个口罩，但是在实际生产时，每天比原计划多生产 200 个，结果提前 10 天完成，求实际每天生产口罩的个数故选：D【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程【对点精练5】某销
36、售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用 10000 元采购 A 型丝绸的件数与用 8000元采购 B 型丝绸的件数相等，且一件 A 型丝绸的进价比一件 B 型丝绸的进价多 100 元（1）一件 A 型、B 型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进 A 型、B 型丝绸共 50 件，其中 A 型丝绸的件数不多于 B 型丝绸的件数，且不少于 16 件，设购进 A 型丝绸 m 件求 m 的取值范围；已知 A 型丝绸的售价为 800 元/件，B 型丝绸的售价为 600 元/件，求销售这批丝绸的最大利润【分析】（1）设一件 B 型丝绸的进价为 x 元，则一件 A 型丝绸的进价为(100)x 元，由题意
37、：用 10000 元采购 A 型丝绸的件数与用 8000 元采购 B 型丝绸的件数相等，列出分式方程，解方程即可；（2）由题意：销售商购进 A 型、B 型丝绸共 50 件，其中 A 型丝绸的件数不多于 B 型丝绸的件数，且不少于 16 件，列出不等式组，即可求解；设销售这批丝绸的利润为 y 元，求出销售这批丝绸的利润 y（元)与 m（件)的函数关系式，再由一次函数的性质即可解答【解答】解：（1）设一件 B 型丝绸的进价为 x 元，则一件 A 型丝绸的进价为(100)x 元，根据题意得：100008000100 xx，解得：400 x，经检验，400 x 为原方程的解，100500 x，答：一件
38、 A 型丝绸的进价为 500 元，一件 B 型丝绸的进价为 400 元（2）根据题意得：5016mmm，解得：1625m剟，m的取值范围为：1625m剟且 m 为整数设销售这批丝绸的利润为 y 元，根据题意得：(800500)(600400)(50)10010000ymmm，1000，y 随 m 的增大而增大，当25m 时，12500y最大（元)，答：销售这批丝绸的最大利润为 12500 元【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准等量关系和不等关系，列出分式方程或一元一次不等式组【对点精练6】某商店计划今年的圣诞节购进 A、B 两
39、种纪念品若干件若花费 480 元购进的 A 种纪念品的数量是花费 480 元购进 B 种纪念品的数量的 34，已知每件 A 种纪念品比每件 B 种纪念品多 4 元（1）求一件 A 种纪念品、一件 B 种纪念品的进价各是多少元？（2）老板花费 480 元购进 B 种纪念品后，以每个 20 元的价格销售 B 种纪念品，当 B 种纪念品售出 35 时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使 B 种纪念品的销售利润不低于 224 元，剩余的 B 种纪念品每个售价至少要多少元？【分析】（1）设购买一件 B 种纪念品需 x 元，则购买一件 A 种纪念品需(4)x 元，由题意：花费 480 元购进的 A 种纪
40、念品的数量是花费 480 元购进 B 种纪念品的数量的 34，列出分式方程，解方程即可；（2）设剩余的 B 种纪念品每个售价为 y 元，由题意：老板花费 480 元购进 B 种纪念品后，以每个 20 元的价格销售 B 种纪念品，当 B 种纪念品售出 35 时，出现了滞销，于是决定降价促销，要使 B 种纪念品的销售利润不低于 224 元，列出一元一次不等式，解不等式即可【解答】解：（1）设购买一件 B 种纪念品需 x 元，则购买一件 A 种纪念品需(4)x 元，依题意，得：480348044xx，解得：12x，经检验，12x 是原方程的解，且符合题意，416x 答：购买一件 A 种纪念品需 16
41、 元，购买一件 B 种纪念品需 12 元（2）设剩余的 B 种纪念品每个售价为 y 元，依题意，得：48034802(2012)(12)224125125y，解得：14y，答：剩余的 B 种纪念品每个售价至少为 14 元【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式【实战经典1】（2021淄博）甲、乙两人沿着总长度为10km 的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的 1.2倍，甲比乙提前 12 分钟走完全程设乙的速度为/xkm h，则下列方程中正确的是()A1010121.2xxB 10100.21.2
42、xxC 1010121.2xxD10100.21.2xx【分析】设乙的速度为 x/km h，则甲的速度为1.2x/km h，根据时间 路程 速度结合甲比乙提前 12 分钟走完全程，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解【解答】解：12 分钟120.260 hh，设乙的速度为 x/km h，则甲的速度为1.2x/km h，根据题意，得：10100.21.2xx，故选：D【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键【实战经典2】（2020福建）我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为
43、：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210文如果每株椽的运费是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 x 株，则符合题意的方程是()A62103(1)xxB 621031xC621031xx D 62103x【分析】根据单价 总价 数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于 x的分式方程，此题得解【解答】解：依题意，得：62103(1)xx故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键【实战经典3】（2021鞍山）习近平总书记指出，中华优秀传统文化
44、是中华民族的“根”和“魂”为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动用 3600 元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400 元购买的套数只比第一批少 4 套设第一批购买的“四大名著”每套的价格为 x 元，则符合题意的方程是 3600240040.8xx【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为 x 元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x 元，利用数量 总价 单价，结合第二批购买的套数比第一批少 4 套，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解【解答】解：设第一批购买的“四大名著
45、”每套的价格为 x 元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，依题意得：3600240040.8xx【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键【实战经典4】（2021阜新）为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的 1.5 倍，乙公司安装 36 间教室比甲公司安装同样数量的教室多用 3 天（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？（2）已知甲公司安装费每天 1000 元，乙公司安装费每天 500 元，现需安装教室 120 间，若想尽快完成安
46、装工作且安装总费用不超过 18000 元，则最多安排甲公司工作多少天？【分析】（1）设乙公司每天安装 x 间教室，则甲公司每天安装1.5x 间教室，由题意：乙公司安装 36 间教室比甲公司安装同样数量的教室多用 3 天列出分式方程，解方程即可；（2）设安排甲公司工作 y 天，则乙公司工作12064y天，由题意：甲公司安装费每天 1000 元，乙公司安装费每天 500 元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过 18000 元，列出一元一次不等式，解不等式即可【解答】解：（1）设乙公司每天安装 x 间教室，则甲公司每天安装1.5x 间教室，根据题意得：363631.5xx，解得：4x，经检验，4x
47、 是所列方程的解，则1.51.5 46x ，答：甲公司每天安装 6 间教室，乙公司每 天 安 装 4 间 教 室；（2）设 安 排 甲 公 司 工 作 y 天，则 乙 公 司 工 作 12064y天，根 据 题 意 得：1 2 061 0 0 05 0 0 1 8 0 0 04yy，解这个不等式，得：12y，答：最多安排甲公司工作 12 天【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出不等关系，列出一元一次不等式课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1（2021 秋青龙县期末）某农场开挖一条 480 米的渠道，开工后，每天比
48、原计划多挖 20 米，结果提前 4天完成任务，若设原计划每天挖 x 米，那么求 x 时所列方程正确的是()A 480480420 xx B 480480420 xx C 480480204xx D 480480204xx【分析】本题的关键描述语是：“提前 4 天完成任务”；等量关系为：原计划用时 实际用时4【解答】解：原计划用时为：480 x，实际用时为：48020 x，根据题意，得：480480420 xx 故选：B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键 2（2022广西）千里江山图是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱
49、前是一个长为 2.4 米，宽为1.4 米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8:13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为 x 米，根据题意可列方程()A 1.482.413xx B 1.482.413xx C 1.4282.4213xx D 1.4282.4213xx【分析】根据题意可知，装裱后的长为 2.42x，宽为1.42x，再根据整幅图画宽与长的比是8:13，即可得到相应的方程【解答】解：由题意可得，1.4282.4213xx，故选：D 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程 3（2022大同二模）为了美化小区环境
50、，某小区物业公司计划对辖区内 600 平方米的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每天的绿化面积是原计划的 1.5 倍，结果提前 10 天完成任务，求原计划平均每天的绿化面积小宁同学所列的方程为 6006001.510 xx，则小宁同学应如何假设()A设原计划平均每天的绿化面积为 x 平方米 B设实际平均每天的绿化面积为 x 平方米 C设原计划完成任务需要 x 天 D设实际完成任务需要 x 天【分析】根据题意和题目中的式子，可知 x 表示的实际意义【解答】解：由题意可得，小宁所设实际完成任务需要 x 天，故选：D 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系
51、是解决问题的关键 4（2022天心区校级三模）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”某工厂承接了60 万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了 25%，提前 10 天完成任务设原计划每天生产 x 万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是()A 6060(125%)10 xx B606010(125%)xx C 60(125%)6010 xx D 606010(125%)xx【分析】根据实际及原计划工作效率之间的关系，可得出实际每天生产(1 25%)x万只冰墩墩，利用工作时间 工作总量 工作效率，结合实际比原计划提前 10 天完成任务，即可得出关于 x 的分式方程，此题得
52、解【解答】解：实际每天的生产效率比原计划提高了 25%，且原计划每天生产 x 万只冰墩墩，实际每天生产(1 25%)x万只冰墩墩 依题意得：606010(125%)xx 故选：D 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 5（2022迁安市二模）有一道题：“甲队修路150m与乙队修路100m所用天数相同，若，求甲队每天修路多少米？”根据图中的解题过程，被遮住的条件是()A甲队每天修路比乙队 2 倍还多30m B甲队每天修路比乙队 2 倍还少30m C乙队每天修路比甲队 2 倍还多30m D乙队每天修路比甲队 2 倍还少30m 【分析】根据图中的方程
53、，可以写出被遮住的条件，本题得以解决【解答】解：由图表可得方程：150100230 xx，故被遮住的条件是乙队每天修路比甲队 2 倍还少30m，故选：D 【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，写出被遮住的条件 6（2022昭阳区一模）某优秀毕业生向我校赠送 1080 本课外书，现用 A、B 两种不同型号的纸箱包装运送，单独使用 B 型纸箱比单独使用 A 型纸箱可少用 6 个；已知每个 B 型纸箱比每个 A 型纸箱可多装 15 本若设每个 A 型纸箱可以装书 x 本，则根据题意列得方程为()A10801080615xx B10801080615xx C 108010
54、80615xx D 10801080615xx【分析】由每个 B 型纸箱比每个 A 型纸箱可多装 15 本及每个 A 型纸箱可以装书 x 本，可得出每个 B 型纸箱可以装书(15)x 本，利用所需纸箱的数量 赠送课外书的总数 每个纸箱装课外书的数量，结合单独使用 B型纸箱比单独使用 A 型纸箱可少用 6 个，即可得出关于 x 的分式方程，此题得解【解答】解：每个 B 型纸箱比每个 A 型纸箱可多装 15 本，且每个 A 型纸箱可以装书 x 本，每个 B 型纸箱可以装书(15)x 本 依题意得：10801080615xx 故选：C 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列
55、出分式方程是解题的关键 7（2021 秋鱼台县期末）下列方程中不是分式方程的是()A231x B 131xx C22x D2211xxx 【分析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，判断即可【解答】解：A、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意；B、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意；C、分母中不含未知数，不是分式方程，故此选项符合题意；D、分母中含未知数，是分式方程，故此选项不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键 8（2021 秋如皋市期末）已知关于 x 的方程233xmxx的解是正数，那么 m 的取值
56、范围为()A6m 且3m B6m C6m 且3m D6m且2m 【分析】先解分式方程得6xm，再由题意可得60m，63m，求出 m 的范围即可【解答】解：233xmxx，方程两边同时乘3x，得2(3)xxm，去括号得，26xxm，解得6xm，方程的解是正数，60m，6m ，63m，3m ，故选：C 【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏增根的情况是解题的关键 9（2022 春溧阳市期末）关于 x 的方程12122axx的解是正数，则 a 的取值范围是()A5a B5a 且3a C5a D5a 且3a 【分析】先求出方程的解，根据解是正数列出不等式，且分母不为 0，综合即
57、可解答【解答】解：在方程两边同乘2x 得：122ax，解得：5xa，方程的解是正数，50a，5a，20 x，即52a，3a，5a 且3a 故选：B 【点评】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式，解决本题的关键是根据方程的解是正数得出不等式 10（2022惠阳区一模）对于实数 a，b，定义一种新运算“”为：22abab，这里等式右边是通常的实数运算例如：22113134，则方程6(1)11xx的解是()A4x B5x C6x D7x 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解【解答】解：根据题中的新定义化简得：26111xx，去分母得：261x，解得：5x，经检验5x 是分式方程的解
58、 故选：B 【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键 11（2022 春枣庄期末）已知关于 x 的方程 232xmx的解是负数，那么 m 的取值范围是()A6m 且2m B6m C6m 且4m D6m 且2m 【分析】解分式方程，用含 m 的代数式表示出方程的解，根据方程的解是负数，确定 m 的取值范围【解答】解：去分母，得 236xmx，6xm 由于方程的解为负数，60m且62m ，解得6m 且4m 故选：C 【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次不等式的解法等知识点，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键 12（2021 秋武城县期末）我
59、市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长 4000 米的排水管道，实际施工时，求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道 x 米，则可得方程400040002010 xx，”根据答案，题中被墨汁污染条件应补为()A每天比原计划多铺设 10 米，结果延期 20 天完成 B每天比原计划少铺设 10 米，结果延期 20 天完成 C每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 20 天完成 D每天比原计划少铺设 10 米，结果提前 20 天完成【分析】工作时间 工作总量 工作效率那么 4000 x表示原来的工作时间，那么 4000(10
60、)x就表示现在的工作时间，20 就代表原计划比现在多的时间【解答】解：原计划每天铺设管道 x 米，那么(10)x 就应该是实际每天比原计划少铺了 10 米，而用 400040002010 xx，则实际用的时间 表示用原计划的时间20天，那么就说明每天比原计划少铺设 10 米，结果延期 20 天完成 故选：B 【点评】本题考查了由实际问题抽象除法分式方程，是根据方程来判断缺失的条件，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断 1（2022 秋沙坪坝区校级月考）若关于 x 的一元一次不等式组241324xxxax 的解集为7x ，且关于 y 的分式方程 33222yayy 有非正整数
61、解，则符合条件的所有整数 a 的和为()A 12 B 15 C1 D 2 【分析】先求出每一个不等式的解，再根据关于 x 的一元一次不等式组的解集为7x ，求出13a；解出分式方程75ay，再根据关于 y 的分式方程有非正整数解，13a，2y ，求出 a 的值，进而求出符合条件的所有整数 a 的和【解答】解：241324xxxax，解不等式，得7x ，解不等式，得83ax，关于 x 的一元一次不等式组的解集为7x ，873a，13a；整理分式方程为整式方程：332(2)yay ，解得75ay，关于 y 的分式方程有非正整数解，13a，2y 70a，75a ，715a ，720a ，a 为 7
62、或 2 或 8 或 13，72 8 1312 ，故选：A 【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握这三个知识点的综合应用是解题关键 2（2022 秋沙坪坝区校级期中）若数 a 使关于 x 的分式方程2311xaxx的解为非负数，且使关于 y 的不等式组21 321353632yyyaa的解集为1y，则符合条件的所有整数 a 的和为()A15 B12 C11 D10【分析】先用 a 表示 x，根据解为非负数，最简公分母0，列不等式组，求公共解集；解不等式，根据关于 y 的不等式组的解集为1y，求出 a 的取值范围，最后求 a 的公共解集，再根据 a 为整
63、数，进而确定a的值，最后求出符合条件的所有整数 a 的和【解答】解：2311xaxx，2311xaxx，23(1)xax，解得52ax，且1x ，解为非负数，502a，512a，解得5a且3a，21 321353632yyyaa，解不等式，得0y，解不等式，得 ya，关于 y 的不等式组的解集为1y，0a，05a 且3a，a 为整数，a 为 1、2、4、5，符合条件的所有整数 a 的和为：1 245 12，故选：B 【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式、解不等式组，掌握解分式方程、解不等式组的步骤，首先对原方程进行变形，把分母化为相同的，根据题意列不等式组是解题关键 3（2022
64、秋渝中区校级月考）若关于 y 的不等式组3221213yyya的解集为4y，且关于 x 的分式方程1433xaxx的解是非负整数，则所有满足条件的整数 a 的值之和是()A12 B14 C19 D21【分析】解不等式组可得34a，解分式方程可得113ax，且1133a，由此可求整数 a 的值【解答】解：3221213yyya，由得，4y，由得，3ya，不等式组的解集为4y，34a，7a，1433xaxx，1412xxa ，311xa，113ax，方程的解是非负整数，11 a是 3 的倍数，1133a，2a，a 的取值为 7，4，1，5，8，11，所有满足条件的整数 a 的值之和是 12，故选：
65、A 【点评】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键 4（2022 秋任城区校级期中）已知关于 x 的分式方程 133kxx的解是正数，则 k 的取值范围为()A3k B3k 且0k C3k D3k且0k 【分析】先表示分式方程的解，再求范围【解答】解：两边同时乘以3(1)x x 得：33xkx，33xk，分式方程的解是正数，30k ，3k 3(3)0 x x，0 x 且1x 0k 3k 且0k 故选：B 【点评】本题考查分式方程的解，正确表示分式方程的解是求解本题的关键 5（2022 春开江县期末）若关于
66、 x 的一元一次不等式组 413(2)25xxax 的解集为7x，且关于 y 的分式方程238211yayyy的解是非负整数则所有满足条件的整数之和是()A10 B19 C16 D8【分析】解不等式组，利用确定不等式组解集的方法得到关于 a 的不等式，解得 a 的范围；解分式方程求得分式方程的解，利用已知条件和可能产生增根的情形得到关于 a 的不等式组，综上求得所有满足条件的整数a 的值，再相加即可得出结论【解答】解：关于 x 的一元一次不等式组 413(2)25xxax 的解集为752xax，关于 x 的一元一次不等式组 413(2)25xxax 的解集为7x，572a ，9a 关于 y 的
67、分式方程238211yayyy的解为52ay，关于 y 的分式方程238211yayyy的解是非负整数，502a ，512a ，且 a 为奇数，5a且3a ，a 为奇数，59a 剟且 a 为奇数，5a ，1，1，3，5，7，9，所有满足条件的 a 的整数之和为：5 1 1 3 57919 ，故选：B 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，解分式方程，考虑到解分式方程可能产生增根是解题的关键 6（2022 春滁州期末）对于两个不相等的实数 a，b，我们规定符号min a，b 表示 a，b 中较小的值，如2min，42按照这个规定，方程113,1(0)minxxxx的解为()A4 B2 C
68、4 或 2 D无解【分析】根据新定义运算的规定，先得分式方程再求解即可【解答】解：当 11xx 时，113,1(0)minxxxx，131xx 2x 经检验，2x 是方程的根 1122，故2x 不符合 min 的规定，所以2x 不是方程的解 当 11xx 时，113,1(0)minxxxx，131xx 4x 经检验，4x 是方程的根 1144，故4x 符合 min 的规定 所以4x 是方程的解 故选：A 【点评】本题考查了解分式方程，掌握新定义运算的规定，把方程转化为分式方程是解决本题的关键 7（2022 春渝北区期末）关于 x 的一元一次不等式组1224xmxx的解集为4x，且关于 y 的分
69、式方程23122myyyy 有正整数解，则符合条件的所有整数 m 的和为()A6 B9 C10 D13【分析】先根据不等式组的解求 m 的范围，再根据分式方程的解求 m 【解答】解：1224xmxx，由得：22xm，由得：4x，原不等式组的解集是：4x，22 4m ，3m 23122myyyy，223myyy (2)4my，当20m时，方程无解，不合题意，20m，42ym，y 是正整数，21m，2，4，3m，4，6，2y，4m，3m 或 6，符合条件的所有整数 m 的和为：369故选：B 【点评】本题考查分式方程和一元依次不等式组的解，根据不等式组的解求出 m 的范围，根据分式方程的解求出 m
70、 的值是求解本题的关键 1（2022 秋港北区期中）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了 3 天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为 1，工作进度如表：天数 第 3 天 第 5 天 工作进度 若乙单独完成这项工作，则需要（）A9 天 B10 天 C12 天 D24 天【分析】求出甲单独完成这项工程所需时间，设乙单独完成这项工作需 x 天，根据甲完成的部分+乙完成的部分这项工程的，列出分式方程，解方程即可【解答】解：甲单独完成这项工作所需天数为 312（天）设乙单独完成这项工作需 x 天，依题意，得：+，解得：x24 经检验，x24 是原方程的解，且符合题意 故选：D【点评】本题考查了分式
71、方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 2（2021 秋苍溪县期末）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点从广元站到重庆北站的距离是 353 千米，乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省 1 小时 40 分钟已知“复兴号”动车组的平均速度比普通快车速度快 80千米/时，设“复兴号”动车组的平均速度为 x 千米/时，根据题意列方程正确的是()A 3533531.480 xx B 3533535803xx C 3533535803xx D 3533535803xx【分析】设“复兴号”动车组的平均速度为 x
72、 千米/时，则乘坐普通快车的平均速度为(80)x 千米/时，由题意：乘坐“复兴号”动车组列车将比乘坐普通快车节省 1 小时 40 分钟列出分式方程即可【解答】解：设“复兴号”动车组的平均速度为 x 千米/时，则乘坐普通快车的平均速度为(80)x 千米/时，1 小时 40 分钟53小时，根据题意得：3533535803xx，故选：B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 3（2022 秋晋州市期中）学校需采购部分课桌，现有 A，B 两个商家供货，A 商家每张课桌的售价比 B 商家的优惠 30 元若该校花费 1800 元采购款在 A 商家购买课桌的
73、数量与花费 2250 元采购款在 B 商家购买课桌的数量一样多，则 A 商家每张课桌的售价为()A90 元 B120 元 C150 元 D180 元【分析】设 A 商家每张课桌的售价为 x 元，则 B 商家每张课桌的售价为(30)x 元，由题意：该校花费 1800元采购款在 A 商家购买课桌的数量与花费 2250 元采购款在 B 商家购买课桌的数量一样多，列出分式方程，解方程即可【解答】解：设 A 商家每张课桌的售价为 x 元，则 B 商家每张课桌的售价为(30)x 元，根据题意得：1800225030 xx，解得：120 x，经检验：120 x 是原分式方程的解，且符合题意，即 A 商家每张
74、课桌的售价为 120 元 故选：B 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 4（2022 秋沙坪坝区校级期中）若数 a 使关于 x 的分式方程2311xaxx的解为非负数，且使关于 y 的不等式组21 321353632yyyaa的解集为1y，则符合条件的所有整数 a 的和为()A15 B12 C11 D10【分析】先用 a 表示 x，根据解为非负数，最简公分母0，列不等式组，求公共解集；解不等式，根据关于 y 的不等式组的解集为1y，求出 a 的取值范围，最后求 a 的公共解集，再根据 a 为整数，进而确定a的值，最后求出符合条件的所有整数 a 的和【解
75、答】解：2311xaxx，2311xaxx，23(1)xax，解得52ax，且1x ，解为非负数，502a，512a，解得5a且3a，21 321353632yyyaa，解不等式，得0y，解不等式，得 ya，关于 y 的不等式组的解集为1y，0a，05a 且3a，a 为整数，a 为 1、2、4、5，符合条件的所有整数 a 的和为：1 245 12，故选：B 【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式、解不等式组，掌握解分式方程、解不等式组的步骤，首先对原方程进行变形，把分母化为相同的，根据题意列不等式组是解题关键 5（2022 秋渝中区校级月考）若关于 y 的不等式组3221213yyy
76、a的解集为4y，且关于 x 的分式方程1433xaxx的解是非负整数，则所有满足条件的整数 a 的值之和是()A12 B14 C19 D21【分析】解不等式组可得34a，解分式方程可得113ax，且1133a，由此可求整数 a 的值【解答】解：3221213yyya，由得，4y，由得，3ya，不等式组的解集为4y，34a，7a，1433xaxx，1412xxa ，311xa，113ax，方程的解是非负整数，11 a是 3 的倍数，1133a，2a，a 的取值为 7，4，1，5，8，11，所有满足条件的整数 a 的值之和是 12，故选：A 【点评】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟
77、练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键 6（2022 春柯桥区期末）设 m，n 为实数，定义如下一种新运算：m 39nnm，若关于 x 的方程(a x)(xx12)1 无解，则 a 的值是()A4 B 3 C4 或 3 D4 或 3【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于 a 的方程，解方程即可求得结论【解答】解：m 39nnm，x 39xxx，x 121239x，原方程就是：1213939axxx，去分母得：1239axx，移项，合并同类项得：(3)3ax，解得：33xa 关于 x
78、 的方程(a x )(xx12)1 无解，原方程有增根 3 或30a 333a或30a 解得：4a 或3a，故选：D 【点评】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练应用是解题的关键 7（2021银川模拟）甲、乙两人分别从 A、B 两地同时相向匀速前进，在距 A 点 700 米处第一次相遇，然后继续前进，甲到 B 地、乙到 A 地后都立即返回，第二次相遇在距 B 点 400 米处，则 A、B 两地间的距离是 1700 米【分析】第一次相遇，二人共行了一个全程，甲行了：700 米；第二次相遇，二人共行了三个全程，甲应该行：700 32100 米，实际上
79、甲行了一个全程加上 400 米等量关系为：全程 4002100，把相关数值代入求解即可【解答】解：设 A、B 两地间的距离是 x 米，4003 700 x 解得1700 x 答：A、B 两地间的路程是 1700 米，故答案为：1700【点评】此题考查了一元一次方程的应用，得到甲走的路程的等量关系是解决本题的关键 8（2021南平模拟）为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案：从湖里捕上 100 条鱼做上标记，然后放回湖里，经过一段时间，待带标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕上 200 条，若其中带有标记的鱼有 10条，那么估计湖里大约有 2000 条鱼【分析】可根据“第二次捕得的带标记的鱼数量 第
80、二次捕鱼的数量 被标记的鱼所占的比例”来列等量关系式，其中“被标记的鱼所占的比例 被标记的鱼总数量 湖里总鱼数”【解答】解：设湖里大约有 x 条鱼 根据公式得：10100200 x 解得：2000 x 经检验200 x 是方程的解 答：湖里大约有 2000 条鱼 故答案为 2000【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据第二次捕得的带标记的鱼数量被标记的鱼总数量第二次捕鱼的数量湖里总鱼数列出方程，再求解 9（2019 春西湖区校级月考）有下列说法：不论 k 取何实数，多项式22xky总能分解能两个一次因式积的形式；关于 x 的分式方程3122xmxx无解，则1m ：关于 x、y 的方程组252
81、axyxaya ，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当 a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31xy，其中正确的是 （填序号）【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解一元二次方程组的方法，可作出判断【解答】解：当 k 为负值时，多项式22xky不 能分解能两个一次因式积的形式，故不正确；将关于 x 的分式方程3122xmxx两边同时乘以(2)x 得 32xmx 52mx 原分式方程无解，2x 522m 解得1m 故正确；将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得(1)(2)()225axayxy ayxa 225
82、xyyx 解得：31xy 则当 a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31xy，故正确 综上，正确答案为：【点评】本题分别考查了因式分解的公式法、分式方程的解法、含参数二元一次方程组等知识点，牢固掌握相关计算方法是解题的关键 10（2021邗江区二模）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍
83、 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？【分析】如果设甲工厂每天加工 x 件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5 倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数 乙工厂单独加工完成这批产品的天数10列出方程【解答】解：设甲工厂每天加工 x 件产品，则乙工厂每天加工1.5x 件产品，依题意得12001200101.5xx，解得：40 x 经检验：40 x 是原方程的根，且符合题意所以1.560 x 答：甲工厂每天加工 40 件产品，乙工厂每天加工 60 件产品【点评】本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键注意分式方程一定要验根
