1、垂直模型巩固练习（基础）1如图，在RtABC中，ACB90，AC3，BC4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D求AD的长【解答】【解析】过点C作CEAD于点E，则AEDE，ACB90，AC3，BC4，SABCACBCABCE，AD2AE2如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交O于点E（1）求证：AC平分DAB；（2）若B60，CD，求AB的长【解答】（1）见解析；（2）8【解析】（1）证明：连接OCCD是O的切线，CDOC，ADCD，OCAD，DACACO，OAOC，OACOCA，DACCAO，AC平分DAB（2）连接BE交OC于点HAB是直径
2、，AEBACB90，ABC60，CABDAC30，EAB60，DEHEDCDCH90，四边形CDEH是矩形，EHCD，EHC90，OCEB，EHHB2，BE4，AB83如图，在RtABC中，BC1，A30（1）求AB的长度：（2）过点A作AB的垂线，交AC的垂直平分线于点D，以AB为一边作等边ABE连接CE，求证：BDCE；连接DE交AB于F求的值【解答】（1）2；（2）见解析；1【解析】（1）在RtABC中，BC1，A30AB2BC2，（2）连接CD，过点A作AB的垂线，交AC的垂直平分线于点D，ADCD，BAD90，BAC30，CAD60，ACD是等边三角形，ACAD，ABE是等边三角形，
3、AEAB，EAB60，EAC90，在AEC与ABD中，AECABD（SAS），CEBD；DQ是AC的垂直平分线，QDBC，AQDABC60，2AQABQAD90，QD2AQAB，QFDEFA，QDAEBC，QDFAEF，QFDAFE，AEAB，DQAB，4如图，AB是半径为2的O的直径，直线m与AB所在直线垂直，垂足为C，OC3，点P是O上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交m于M、N两点（1）当点C为MN中点时，连接OP，PC，判断直线PC与O是否相切并说明理由（2）点P是O上异于A、B的动点，以MN为直径的动圆是否经过一个定点，若是，请确定该定点的位置；若不是，请说明理由【解答】（1）直
4、线PC与O相切，理由见解析；（2）以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D，此定点在C的距离都是【解析】（1）直线PC与O相切，理由是：如图1，ACMN，ACM90，A+AMC90，AB是O的直径，APBNPM90，PNM+AMC90A+ABP，ABPAMC，OPOB，ABPOPB，RtPMN中，C为MN的中点，PCCN，PNMNPC，OPCOPB+NPCABP+PNMAMC+PNM90，即OPPC，直线PC与O相切；（2）如图2，设该圆与AC的交点为D，连接DM、DN，MN为直径，MDN90，则MDC+NDC90，DCMDCN90，MDC+DMC90，NDCDMC，则MDCDNC，即DC2M
5、CNCACMNCB90，ABNC，ACMNCB，即MCNCACBC；即ACBCDC2，ACAO+OC2+35，BC321，DC25，DC，MNDD，DCDC，以MN为直径的一系列圆经过两个定点D和D，此定点在C的距离都是5已知：ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点（1）如图，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么BPC和BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么BOC和BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边ABC的内
6、部，那么BPC和BOC有怎样的数量关系？请直接回答【解答】（1）BPC90+BAC，（2）BOC2BAC；（3）4BPCBOC360【解析】（1）BPC90+BACBP平分ABC，CP平分ACB，PBCABC，PCBACB，BPC180（PBC+PCB）180（ABC+ACB）180（ABC+ACB）180（180BAC）90+BAC；（2）BOC2BAC如图，连接AO点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，OAOBOC，OABOBA，OACOCA，OBCOCB，AOB1802OAB，AOC1802OAC，BOC360（AOB+AOC）360（1802OAB+1802OAC），2OAB+2OAC
7、2BAC；（3）4BPCBOC360，点P为三角形三个内角平分线的交点，BPC90+BAC由BAC2BPC180点O为三角形三边垂直平分线的交点BOC2BAC，BOC2（2BPC180）4BPC360，即4BPCBOC3606如图，AB、CD、EF都垂直于直线l，AB12，EF7，BD：DF2：3，求CD的长【解答】10【解析】如图，作EHAB于H，交CD于GAB、CD、EF都垂直于直线l，ABCDEF，EHAB，EHCD，四边形EFBH是矩形，四边形EFDG是矩形，BHDGEF7，BDHG，DFEG，AH1275，BD：DF2：3，HG：EG2：3，EG：EH3：5，CGAH，CG3，CD3
8、+7107在RtABC中，C90，点D在BC边上（1）如图，若CEAD于点E，求证：DC2DEDA（2）如图，线段AD的垂直平分线分别交AB，AC和AD于点F，G，P，若tanCAD，BD2CD，FG5，求线段AD的长度【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：C90，CEAD，ACDCED90，ADCCDE，ADCCDE，DC2DEDA；（2）过点B作MNAC，延长GF交MN于点M，延长AD交MN于点N，如图所示：设GPx，tanCAD，APPD2x，AD4x，tanCAD，AC2CD，AD2AC2+CD24CD2+CD25CD2（4x）2，CDx，ACx，MNAC，CADBND，AC
9、DNBD，ADCNDB，ND2AD8x，BN2AC，同理，APGNPM，即，MN5x，PM5x，BM，同理，AFGBFM，即，FM9，PFGFGP5x，PMPF+FM，即5x5x+9，解得：x，8如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AB10，COD60，求：（1）弦CD的长；（2）COE的度数；（3）线段BE的长（结果用根号表示）【解答】（1）5；（2）COE30；（3）5【解析】（1）半径OCOD，即OCD为等腰三角形，又COD60，OCD为等边三角形，CDOCAB5；（2）直径AB垂直于弦CD于E，CEED，又OCOD，即OE为等腰OCD的底边CD上的高，OE平分COD（三线合一），
10、COD60，COE30；（3）在RtOCE中，cosCOE，OEOCcosCOE5cos30，BEOBOE59如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC交于点E，交O于点D，F是BA延长线上一点，若CDBF（）求证：FD与O的相切；（）若AB10，AC8，求FD的长【解答】（）见解析；（）DF【解析】（）证明：CDBCAB，CDBBFD，CABBFD，FDAC（同位角相等，两直线平行），AEO90，FDO90，FD是O的一条切线；（）由垂径定理可知，E是弦AC的中点，AB是直径，ACB90，OAOB，OEBC3，AEDF，DF.10如图，在ABC中，BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，
11、过点P分别作PNAB于N，PMAC于点M求证：BNCM【解答】见解析【解析】证明：PA平分BAC，PMAC，PNAB，PMPN，NPMC90，PQ垂直平分线段BC，PBPC，RtPNBRtPMC（HL），BNMC11如图，ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使CECD（1）求证：DBDE；（2）尺规作图：过点D作DF垂直于BE，垂足为F；（保留作图留痕迹，不写作法）（3）若CF3，求ABC的周长【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）36【解析】（1）证明：ABC是等边三角形，BD是中线，ABCACB60，DBC30CECD，CDEE又BCDCDE+E，DBCEDBDE（2）如图
12、所示（3）DFBE，由（1）知，DBDE，DF垂直平分BE在RtDFC中，CDF90DCB906030DC2CF6ADCD，AC2CD12CABC3AC3612如图，在ABC中，ABAC，边BC的垂直平分线DE交BAC的外角BAM平分线于点D，垂足为E，DFAB，垂足为F求证：BFAC+AF【解答】见解析【解析】证明：过D作DNAC，垂足为N，连接DB、DC，则DNDF（角平分线性质），DBDC（线段垂直平分线性质），又DFAB，DNAC，DFBDNC90，在RtDBF和RtDCN中，RtDBFRtDCN（HL）BFCN，在RtDFA和RtDNA中，RtDFARtDNA（HL）ANAF，BFAC+ANAC+AF，即BFAF+AC
