1、第三章三角恒等变换本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(每小题5分,共60分)1.sin 160cos 10+cos 20sin 170=()A.-32B.32C.-12D.122.设单位向量a=223,sin,则cos 2的值为()A.79B.-12C.-79D.323.函数f(x)=sin2x+sin xcos x-12的最小正周期和振幅分别是()A.,2B.2,22C.2,2D.,224.函数y=cosx+4+sinx+4cosx+4-sinx+4在一个周期内的图象是()5.已知sin =55,则cos4-sin4的值为()A.-35B.-15C.15D.356.已
2、知tan(+)=35,tan-4=14,那么tan+4=()A.1318B.1323C.518D.7237.若cos4-cos4+=2602,则sin 2的值为()A.23B.73C.76D.3468.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,会标是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,如果小正方形的面积为a2,大正方形的面积为25a2,直角三角形中较小的锐角为,则tan+34=()A.-12B.-13C.-15D.-179.在ABC中,A=15,则3sin A-cos(B+C)的值为()A.22B.32C.2D.210.设0,2,且tan+4=-2
3、,则cos-12=()A.25+1510B.215-510C.25-1510D.-215+51011.设aR,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos22-x满足f -3=f(0),当x4,1124时,f(x)的值域为()A.1,2B.2,3C.3,2D.2,212.将函数f(x)=2cos2x+23sin xcos x-1的图象向右平移4个单位长度后得到函数g(x)的图象,若当x4,x0时,g(x)的图象与直线y=a(1a2)恰有两个公共点,则x0的取值范围为()A.712,54B.4,712C.712,54D.3,54二、填空题(每小题5分,共20分)13.若cos =35
4、,0,2,则tan 2=.14.若f(cos x)=2cos 2x,则fsin12=.15.tan 75-tan 15-3tan 75tan 15=.16.函数f(x)=12cos22x-3+1的最小正周期为.三、解答题(共70分)17.(10分)已知tan(-)=-7,cos =-55,其中(0,),(0,).(1)求tan 的值;(2)求+的值.18.(12分)若2,02,且sin+8=55,cos+38=-35,求cos(+)的值.19.(12分)设函数f(x)=4cos xsinx+6-1.(1)求函数y=f(x)的最小正周期;(2)求函数y=f(x)的单调递增区间及图象的对称中心;(
5、3)函数y=f(x)的图象可以由y=cos x的图象经过怎样的变换得到?20.(12分)已知O为坐标原点,OA=(2cos x,3),OB=(sin x+3cos x,-1),若函数f(x)=OAOB+2.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若方程f(x)+m=0在区间0,2上有根,求m的取值范围.21.(12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.sin213+cos217-sin 13cos 17;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述式子中任选一个式子,并计算出
6、这个常数;(2)猜想出反映上述式子中所含的一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.22.(12分)设函数f(x)=2cos2x-23+4sin2x,定义域为R.(1)求函数f(x)的最小正周期,并求出其单调递减区间;(2)求关于x的方程f(x)=2-3的解集.答案全解全析第三章三角恒等变换本章达标检测一、选择题1.Dsin 160cos 10+cos 20sin 170=sin 20cos 10+cos 20sin 10=sin(20+10)=sin 30=12,故选D.2.A|a|=sin2+89=1,sin2=19,cos 2=1-2sin2=79.故选A.3.Df(x)=sin2x+s
7、in xcos x-12=-12cos 2x+12sin 2x=22sin2x-4,所以最小正周期T=22=,振幅为22.故选D.4.B函数y=cosx+4+sinx+4cosx+4-sinx+4=cos2x+4-sin2x+4=cos2x+2=-sin 2x,最小正周期为,且与y=sin 2x的图象关于x轴对称,满足条件的只有选项B,故选B.5.Dcos4-sin4=(cos2+sin2)(cos2-sin2)=cos 2=1-2sin2=1-25=35.6.Dtan(+)=35,tan-4=14,tan+4=tan(+)-4=tan(+)-tan-41+tan(+)tan-4=35-141
8、+3514=723.故选D.7.Bcos 4-cos2-4-=26,即cos4-sin4-=26,即12sin2-2=26,所以cos 2=23.又因为02,所以02,所以sin 2=73.故选B.8.D由题意可知小正方形的边长为a,大正方形的边长为5a,直角三角形的面积为25a2-a24=6a2,设直角三角形的两条直角边长分别为x,y,且xy,则由对称性可得y=x+a,直角三角形的面积为S=12xy=6a2,联立方程组可得x=3a,y=4a,tan =34.tan+34=tan+tan 341-tantan 34=tan-11+tan=34-11+34=-17,故选D.9.C3sin A-c
9、os(B+C)=3sin A-cos(-A)=3sin A+cos A=232sin A+12cos A=2sin(A+30)=2sin 45=2.10.Btan =tan+4-4=tan+4-tan41+tan+4tan4=-2-11-2=3,0,2,sin =31010,cos =1010.又sin12=sin4-6=sin4cos6-cos4sin6=6-24,cos12=cos4-6=cos4cos6+sin4sin6=6+24,cos-12=cos cos12+sin sin12=10106+24+310106-24=215-510.故选B.11.Df(x)=a2sin 2x-1+c
10、os2x2+1-cos2x2=a2sin 2x-cos 2x,因为f-3=f(0),所以a=23,所以f(x)=3sin 2x-cos 2x=2sin2x-6,当x4,1124时,2x-63,34,f(x)2,2.故选D.12.C由题意得f(x)=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6,由图象平移可知g(x)=fx-4=2sin2x-3.当x4,x0时,2x-36,2x0-3.g4=2sin6=1,g512=2sin2=2,g712=2sin56=1,g54=2sin136=1,且g(x)的图象与直线y=a(1a2)恰有两个公共点,562x0-3136,解得712x054.故选C.二、
11、填空题13.答案12解析因为0,2,所以20,4,又cos =35,所以tan 2=1-cos1+cos=1-351+35=12.14.答案-3解析由题意得f(cos x)=2(2cos2x-1)=4cos2x-2.令cos x=t(-1t1),所以f(t)=4t2-2,所以fsin12=4sin212-2=412-12cos212-2=-3.15.答案3解析因为tan(75-15)=tan75-tan151+tan75tan15=3,所以tan 75-tan 15=3+3 tan 75tan 15,则tan 75-tan 15-3tan 75tan 15=3+3tan 75tan 15-3t
12、an 75tan 15=3.16.答案2解析由题意得f(x)=12cos22x-3+1=121+cos4x-232+1=14cos4x-23+54,所以函数f(x)的最小正周期T=24=2.三、解答题17.解析(1)因为cos =-55,(0,),所以sin =1-cos2=255,所以tan =sincos=-2.所以tan =tan-(-)=tan-tan(-)1+tantan(-)=13.(2)tan(+)=tan+tan1-tantan=-2+131-(-2)13=-1.因为cos =-550,(0,),所以0,2,所以+2,32.所以+=34.18.解析因为sin+8=55,2,所以
13、cos+8=-255.因为cos+38=-35,02,所以sin+38=45.因为+8+38=+2,所以cos(+)=sin+2,即cos(+)=sin+8+38=55-35+-25545=-11525.19.解析因为sinx+6=sin xcos 6+cos xsin 6=32sin x+12cos x,所以f(x)=4cos xsinx+6-1=4cos x32sin x+12cos x-1=23sin xcos x+2cos2x-1=3sin 2x+cos 2x=2cos 2xcos 3+sin 2xsin 3=2cos2x-3.(1)因为=2, 所以T=2=.(2)令2k-2x-32k
14、,kZ,得k-3xk+6,kZ,所以函数的单调递增区间为k-3,k+6,kZ.令2x-3=k-2,kZ,得x=k2-12,kZ,所以函数图象的对称中心为k2-12,0,kZ.(3)函数y=cos x的图象向右平移3个单位得到函数y=cosx-3的图象,函数y=cosx-3的图象上的每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的12,得到函数y=cos2x-3的图象,函数y=cos2x-3的图象上的每一点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到函数y=2cos2x-3的图象.20.解析(1)OA=(2cos x,3),OB=(sin x+3cos x,-1),f(x)=OAOB+2=2cos xsin x
15、+23cos2x-3+2=sin 2x+3cos 2x+2=2sin2x+3+2.令2k+22x+32k+32,kZ,得k+12xk+712,kZ.f(x)的单调递减区间为k+12,k+712(kZ).(2)x0,2,2x+33,43,-32sin2x+31,f(x)(-3+2,4.方程f(x)+m=0在区间0,2上有根,m-4,3-2).21.解析(1)sin213+cos217-sin 13cos 17=sin213+cos2(30-13)-sin 13cos(30-13)=sin213+(cos 30cos 13+sin 30sin 13)2-sin 13(cos 30cos 13+si
16、n 30sin 13)=sin213+34cos213+14sin213+32sin 13cos 13-32sin 13cos 13-12sin213=34sin213+34cos213=34.(2)一般规律:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=34.证明:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+34cos2+14sin2+32sin cos -32sin cos -12sin2=34sin2+34cos2=34.22.解析(1)f(
17、x)=2cos2x-23+4sin2x=2cos2xcos23+sin2xsin 23+41-cos2x2=3sin 2x-3cos 2x+2=2312sin2x-32cos2x+2=23sin2xcos3-cos2xsin3+2=23sin2x-3+2,所以函数f(x)的最小正周期T=22=.令2+2k2x-332+2k(kZ),得512+kx1112+k(kZ),因此函数f(x)的单调递减区间为512+k,1112+k(kZ).(2)令f(x)=23sin2x-3+2=2-3,得sin2x-3=-12,2x-3=-56+2k或2x-3=-6+2k(kZ),解得x=k-4或x=12+k(kZ),因此,关于x的方程f(x)=2-3的解集为xx=k-4或x=12+k,kZ.
