1、四川省南充市高级中学2019-2020学年高二数学上学期12月月考试题 理(含解析)第卷一、选择题1.设,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】,即.【详解】,即.故B正确.考点:集合间的关系.2.直线的倾斜角是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率,然后求解直线的倾斜角即可【详解】因为直线x+y10的斜率为:,直线的倾斜角为:所以tan,120故选:C【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法,基本知识的应用3. 为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较
2、大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样【答案】C【解析】试题分析:符合分层抽样法的定义,故选C.考点:分层抽样4. 若aR,则“a=1”是“|a|=1”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析:先判断“a=1”“|a|=1”的真假,再判断“|a|=1”时,“a=1”的真假,进而结合充要条件的定义即可得到答案解:当“a=1”时,“|a|=1”成立即“a=1”“|a|=1”为真命题但“|a|=1”时,“a=1”
3、不一定成立即“|a|=1”时,“a=1”为假命题故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件故选A点评:本题考查的知识点是充要条件,其中根据绝对值的定义,判断“a=1”“|a|=1”与“|a|=1”时,“a=1”的真假,是解答本题的关键5.按照程序框图(如图)执行,第4个输出的数是()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】按步骤写出对应程序,从而得到答案.【详解】解:第一次输出的,则,满足条件,然后第二次输出的,则,满足条件,然后第三次输出的,则,满足条件,然后第四次输出的,则,满足条件,然后第五次输出的,则,不满足条件,然后退出循环故第4个输出的数是7 故选C【点睛】本题
4、主要考查算法框图,重在考查学生的计算能力和分析能力.6.函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项,然后利用特殊值判断,即可得到答案【详解】由题意,函数满足,所以函数为偶函数,排除B、C,又因为时,此时,所以排除D,故选A【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题,其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除,以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键,着重考查了分析问题解决问题的能力,属于基础题.7.已知是两个不同的平面,下列四个条件中能推出的是()存在一条直线;存在一个平面;存在两条平行直线;存在两条异面直线A. B. C. D. 【答案】C【
5、解析】试题分析:对,由线面垂直的性质知能推出,对,如教室的墙角的两墙面都与底面垂直,则这两个墙面不平行;对由图3知,但相交,故推不出,结合选项,排除A,B,D,故选C.考点:空间线面、面面平行垂直的判定与性质8.已知平面向量(1,3),(4,2),与垂直,则()A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】求出的坐标,利用列方程求解即可【详解】(1,3),(4,2),(1,3)(4,2)(4,32),与垂直,4(3)(32)0,1,故选A.9.如图,在直二面角的棱上有、两点,直线、分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,则直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.
6、 【答案】A【解析】【分析】建立空间坐标系,求出两条异面直线的方向向量,代入夹角公式,可得答案【详解】以A为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(0,0,6),D(4,8,0),故(4,0,0),(4,8,6),故直线AB与CD所成角的余弦值为,故选:A【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,异面直线及其所成的角,难度不大,属于基础题10.椭圆的焦点在轴上,则它的离心率的取值范围( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆 1的焦点在x轴上,确定a的范围,表示出椭圆的离心率,利用基本不等式,可得结论【详解】椭圆 1的焦点在x
7、轴上,5a4a2+1椭圆的离心率为(当且仅当,即a时取等号)椭圆的离心率的取值范围为(0,故选:C【点睛】本题考查椭圆标准方程与离心率,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于基础题11.已知函数(),若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意,分析可得函数f(x)为奇函数且为增函数,进而可以将原问题转化为m对任意实数t1恒成立,由基本不等式的性质分析可得有最小值,进而分析可得m的取值范围【详解】根据题意,函数f(x)x3+3x,其定义域为R,关于原点对称,有f(x)(x3+3x)f(x),则f(x)为奇函数,又由f(x)
8、3x2+30,则f(x)为增函数,若不等式f(2m+mt2)+f(4t)0对任意实数t1恒成立,则f(2m+mt2)f(4t),即2m+mt24t对任意实数t1恒成立,2m+mt24tm,即m,又由t1,则t2,则有最小值,当且仅当时等号成立若m对任意实数t1恒成立,必有m;即m的取值范围为(,);故选:D【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,关键是分析判断函数f(x)x3+3x的奇偶性与单调性12.已知等比数列满足,且,成等差数列,则的最大值为( )A. 1022B. 1023C. 1024D. 1025【答案】C【解析】【分析】利用等比数列通项公式和等差数列定义列出方程组,求出首项
9、和公比,从而得到,进而a1a2a3an24+3+2+1+(5n),由此能求出结果【详解】等比数列an满足a2a52a3,且a4,2a7成等差数列,解得,a1a2a3an24+3+2+1+(5n),当n4或n5时,a1a2a3an取最大值,且最大值为2101024故选:C【点睛】本题考查等比数列、等差数列等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中等题第卷二、填空题13.已知等差数列的通项公式,则它的公差为_.【答案】【解析】【分析】利用等差数列的定义可得出该数列的公差.【详解】因为数列为等差数列,且.,因此,等差数列的公差为.故答案为:.【点睛】本题考查
10、利用等差数列的通项公式求公差,考查计算能力,属于基础题.14.在中,角,的对边分别为 ,若,则等于_【答案】 【解析】由已知在中,15.已知,任取、,则使得的概率是_【答案】【解析】【分析】先把(x2+y24)0转化为;画出图形求出图中阴影部分占正方形的面积比即可【详解】(x2+y24)0等价于不等式;画出图形,如图所示;则不等式组表示的是图中的阴影部分,所求的概率为P故答案为:【点睛】本题考查了几何概型的应用问题,解题时应根据题意画出图形,计算对应图形的面积,是基础题目16.若对圆上任意一点,的取值与,无关,则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可得故|3x4y+a|+|3x4y
11、9|可以看作点P到直线m:3x4y+a0与直线l:3x4y90距离之和的5倍,进一步分析说明圆位于两直线内部,再由点到直线的距离公式求解直线3x4y+a0与圆相切时的a值,则答案可求【详解】设z|3x4y+a|+|3x4y9|5(),故|3x4y+a|+|3x4y9|可以看作点P(x,y)到直线m:3x4y+a0与直线l:3x4y90距离之和的5倍,|3x4y+a|+|3x4y9|的取值与x,y无关,这个距离之和与点P在圆上的位置无关,如图所示:可知直线m平移时,P点与直线m,l的距离之和均为m,l的距离,即此时圆在两直线内部,当直线m与圆相切时,化简得|a1|5,解得a6或a4(舍去),a6
12、故答案为:a6【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,以及点到直线的距离公式,考查数学转化思想方法,属于难题三、解答题17.已知命题:方程无解,命题:,恒成立,若是真命题,且也是真命题,求的取值范围【答案】.【解析】【分析】先求出当,为真时命题的等价条件,再利用复合命题及其真假求解即可【详解】当为真时,有:,解得:;当命题为真时,有:,对恒成立,即,由是真命题,且也是真命题得:与都是真命题;即综上,所求的取值范围是【点睛】本题考查了复合命题及其真假,考查二次方程及恒成立问题,正确求解命题为真的条件是关键,是中档题18.已知三角形的顶点坐标为,,是边上的中点()求边所在直线的方程;()求中线的长;
13、()求边的高所在直线的方程【答案】(1) 6x-y+11=0 (2) (3)【解析】【分析】(1)由两点式直接写方程,(2)求出中点,用两点距离公式求解,(3)求出AB的斜率,得到边上高的斜率,进而可得边的高所在直线的方程【详解】解:(1)由两点式写方程得,即 6x-y+11=0或 直线AB的斜率为直线AB的方程为即 6x-y+11=0(2)设M的坐标为(),则由中点坐标公式得故M(1,1)(3),则边的高所在直线的方程为即19.某公司在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.(1)
14、根据频率分布直方图,计算图中各小长方形的宽度;(2)根据频率分布直方图,估计投入4万元广告费用之后,销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);(3)按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:广告投入(单位:万元)12345销售收益(单位:百万元)2327表中的数据显示,与之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并计算关于的回归方程.附公式:,.【答案】(1)2;(2);(3).【解析】【分析】()根据频率分布直方图,由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可计算图中各小长方形宽度;()以各组的区间中点值代表该组的取值,即可计算销售收益的平均值;()求出回归系数
15、,即可得出结论【详解】()设各小长方形宽度为,由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知,故;()由()知各小组依次是,其中点分别为,对应的频率分别为,故可估计平均值为;()由()知空白栏中填5由题意可知,根据公式,可求得,即回归直线方程为【点睛】本题考查回归方程,考查频率分布直方图,考查学生的读图、计算能力,属于中档题20.在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,在梯形中,且,平面(1)求证:(2)求二面角的正切值【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)证明BCACECBC,推出BC平面ACEF,然后证明BCAF(2)建立空间直角坐标系,求出平面DEF法向量,平面EFA法向量,
16、利用空间向量的数量积求解二面角DEFA的正切值即可【详解】(1)在中,所以,由勾股定理知:,故又因为平面,平面,所以,而,所以平面,又平面,所以(2)由题易知可建如图所示空间直角坐标系,则,设平面法向量为,则由知:,故取而由(1)知:平面法向量为,故,二面角的正切值为【点睛】本题考查直线与平面垂直判断定理以及性质定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力以及逻辑推理能力,是中档题21.已知圆C:(xa)2+(y2)24(a0)及直线l:xy+30当直线l被圆C截得的弦长为时,求()a的值;()求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程【答案】()a1;()5x12y+450或x3【解析】【
17、分析】()根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,然后根据垂径定理得到弦心距,弦的一半及圆的半径成直角三角形,利用勾股对了列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,然后由a大于0,得到满足题意a的值;()把()求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程,即可得到圆心的坐标,并判断得到已知点在圆外,分两种情况:当切线的斜率不存在时,得到x3为圆的切线;当切线的斜率存在时,设切线的斜率为k,由(3,5)和设出的k写出切线的方程,根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,让d等于圆的半径即可列出关
18、于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程综上,得到所有满足题意的切线的方程【详解】解:()依题意可得圆心C(a,2),半径r2,则圆心到直线l:xy+30的距离,由勾股定理可知,代入化简得|a+1|2,解得a1或a3,又a0,所以a1;()由(1)知圆C:(x1)2+(y2)24,圆心坐标为(1,2),圆的半径r2由(3,5)到圆心的距离为r2,得到(3,5)在圆外,当切线方程的斜率存在时,设方程为y5k(x3)由圆心到切线的距离dr2,化简得:12k5,可解得,切线方程为5x12y+450;当过(3,5)斜率不存在直线方程为x3与圆相切由可知切线
19、方程为5x12y+450或x3【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,是一道综合题22.已知椭圆经过点,且右焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)过的直线交椭圆与,两点,记,若的最大值和最小值分别为,求的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1) 列方程组求解出,即可;(2) 对k讨论,分别建立方程组,找到根与系数关系,建立t的恒成立方程进行求解【详解】解:(1)有椭圆的右焦点为,知,即,则:又椭圆过点,则,又,求得椭圆方程:.(2)当直线斜率存在时,设的方程为,由得,即,在椭圆内部,则, 将代入得,则,即,又是两个根,当直线斜率不存在时,联立得,不妨设,.可知.综上【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系,考查转化能力与计算能力,属于中档题目