1、四川省南充市高级中学2019-2020学年高二数学上学期12月月考试题 理（含解析）第卷一、选择题1.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】，即.【详解】，即.故B正确.考点：集合间的关系.2.直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可【详解】因为直线x+y10的斜率为：，直线的倾斜角为：所以tan，120故选：C【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用3. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较
2、大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选C.考点：分层抽样4. 若aR，则“a=1”是“|a|=1”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：先判断“a=1”“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案解：当“a=1”时，“|a|=1”成立即“a=1”“|a|=1”为真命题但“|a|=1”时，“a=1”
3、不一定成立即“|a|=1”时，“a=1”为假命题故“a=1”是“|a|=1”的充分不必要条件故选A点评：本题考查的知识点是充要条件，其中根据绝对值的定义，判断“a=1”“|a|=1”与“|a|=1”时，“a=1”的真假，是解答本题的关键5.按照程序框图（如图）执行，第4个输出的数是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】按步骤写出对应程序，从而得到答案.【详解】解：第一次输出的，则，满足条件，然后第二次输出的，则，满足条件，然后第三次输出的，则，满足条件，然后第四次输出的，则，满足条件，然后第五次输出的，则，不满足条件，然后退出循环故第4个输出的数是7 故选C【点睛】本题
4、主要考查算法框图，重在考查学生的计算能力和分析能力.6.函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案【详解】由题意，函数满足，所以函数为偶函数，排除B、C，又因为时，此时，所以排除D，故选A【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.7.已知是两个不同的平面，下列四个条件中能推出的是（）存在一条直线；存在一个平面；存在两条平行直线；存在两条异面直线A. B. C. D. 【答案】C【
5、解析】试题分析：对，由线面垂直的性质知能推出，对，如教室的墙角的两墙面都与底面垂直，则这两个墙面不平行；对由图3知，但相交，故推不出，结合选项，排除A，B，D,故选C.考点：空间线面、面面平行垂直的判定与性质8.已知平面向量(1，3)，(4，2)，与垂直，则()A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】求出的坐标，利用列方程求解即可【详解】(1，3)，(4，2)，(1，3)(4，2)(4，32)，与垂直，4(3)(32)0，1，故选A.9.如图，在直二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，则直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.
6、 【答案】A【解析】【分析】建立空间坐标系，求出两条异面直线的方向向量，代入夹角公式，可得答案【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，0，6），D（4，8，0），故（4，0，0），（4，8，6），故直线AB与CD所成角的余弦值为，故选：A【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，异面直线及其所成的角，难度不大，属于基础题10.椭圆的焦点在轴上，则它的离心率的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆 1的焦点在x轴上，确定a的范围，表示出椭圆的离心率，利用基本不等式，可得结论【详解】椭圆 1的焦点在x
7、轴上，5a4a2+1椭圆的离心率为（当且仅当，即a时取等号）椭圆的离心率的取值范围为（0，故选：C【点睛】本题考查椭圆标准方程与离心率，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题11.已知函数（），若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为奇函数且为增函数，进而可以将原问题转化为m对任意实数t1恒成立，由基本不等式的性质分析可得有最小值，进而分析可得m的取值范围【详解】根据题意，函数f（x）x3+3x，其定义域为R，关于原点对称，有f（x）（x3+3x）f（x），则f（x）为奇函数，又由f（x）
8、3x2+30，则f（x）为增函数，若不等式f（2m+mt2）+f（4t）0对任意实数t1恒成立，则f（2m+mt2）f（4t），即2m+mt24t对任意实数t1恒成立，2m+mt24tm，即m，又由t1，则t2，则有最小值，当且仅当时等号成立若m对任意实数t1恒成立，必有m；即m的取值范围为（，）；故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析判断函数f（x）x3+3x的奇偶性与单调性12.已知等比数列满足，且，成等差数列，则的最大值为（ ）A. 1022B. 1023C. 1024D. 1025【答案】C【解析】【分析】利用等比数列通项公式和等差数列定义列出方程组，求出首项
9、和公比，从而得到，进而a1a2a3an24+3+2+1+（5n），由此能求出结果【详解】等比数列an满足a2a52a3，且a4，2a7成等差数列，解得，a1a2a3an24+3+2+1+（5n），当n4或n5时，a1a2a3an取最大值，且最大值为2101024故选:C【点睛】本题考查等比数列、等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中等题第卷二、填空题13.已知等差数列的通项公式，则它的公差为_.【答案】【解析】【分析】利用等差数列的定义可得出该数列的公差.【详解】因为数列为等差数列，且.，因此，等差数列的公差为.故答案为：.【点睛】本题考查
10、利用等差数列的通项公式求公差，考查计算能力，属于基础题.14.在中，角,的对边分别为 ，若，则等于_【答案】 【解析】由已知在中，15.已知，任取、，则使得的概率是_【答案】【解析】【分析】先把（x2+y24）0转化为；画出图形求出图中阴影部分占正方形的面积比即可【详解】（x2+y24）0等价于不等式；画出图形，如图所示；则不等式组表示的是图中的阴影部分，所求的概率为P故答案为：【点睛】本题考查了几何概型的应用问题，解题时应根据题意画出图形，计算对应图形的面积，是基础题目16.若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可得故|3x4y+a|+|3x4y
11、9|可以看作点P到直线m：3x4y+a0与直线l：3x4y90距离之和的5倍，进一步分析说明圆位于两直线内部，再由点到直线的距离公式求解直线3x4y+a0与圆相切时的a值，则答案可求【详解】设z|3x4y+a|+|3x4y9|5（），故|3x4y+a|+|3x4y9|可以看作点P（x，y）到直线m：3x4y+a0与直线l：3x4y90距离之和的5倍，|3x4y+a|+|3x4y9|的取值与x，y无关，这个距离之和与点P在圆上的位置无关，如图所示：可知直线m平移时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，即此时圆在两直线内部，当直线m与圆相切时，化简得|a1|5，解得a6或a4（舍去），a6
12、故答案为：a6【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查数学转化思想方法，属于难题三、解答题17.已知命题：方程无解，命题：，恒成立，若是真命题，且也是真命题，求的取值范围【答案】.【解析】【分析】先求出当，为真时命题的等价条件，再利用复合命题及其真假求解即可【详解】当为真时，有：，解得：；当命题为真时，有：，对恒成立，即，由是真命题，且也是真命题得：与都是真命题；即综上，所求的取值范围是【点睛】本题考查了复合命题及其真假，考查二次方程及恒成立问题，正确求解命题为真的条件是关键，是中档题18.已知三角形的顶点坐标为，,是边上的中点（）求边所在直线的方程；（）求中线的长；
13、（）求边的高所在直线的方程【答案】(1) 6x-y+11=0 (2) （3）【解析】【分析】（1）由两点式直接写方程，（2）求出中点，用两点距离公式求解，（3）求出AB的斜率，得到边上高的斜率，进而可得边的高所在直线的方程【详解】解：（1）由两点式写方程得，即 6x-y+11=0或 直线AB的斜率为直线AB的方程为即 6x-y+11=0（2）设M的坐标为（），则由中点坐标公式得故M（1，1）（3），则边的高所在直线的方程为即19.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）
14、根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入（单位：万元）12345销售收益（单位：百万元）2327表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.附公式：，.【答案】（1）2;（2）;（3）.【解析】【分析】（）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形宽度；（）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；（）求出回归系数
15、，即可得出结论【详解】（）设各小长方形宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；（）由（）知各小组依次是，其中点分别为，对应的频率分别为，故可估计平均值为；（）由（）知空白栏中填5由题意可知，根据公式，可求得，即回归直线方程为【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题20.在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，在梯形中，且，平面（1）求证：（2）求二面角的正切值【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）证明BCACECBC，推出BC平面ACEF，然后证明BCAF（2）建立空间直角坐标系，求出平面DEF法向量，平面EFA法向量，
16、利用空间向量的数量积求解二面角DEFA的正切值即可【详解】（1）在中，所以，由勾股定理知：，故又因为平面，平面，所以，而，所以平面，又平面，所以（2）由题易知可建如图所示空间直角坐标系，则，设平面法向量为，则由知：，故取而由（1）知：平面法向量为，故，二面角的正切值为【点睛】本题考查直线与平面垂直判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，是中档题21.已知圆C：（xa）2+（y2）24（a0）及直线l：xy+30当直线l被圆C截得的弦长为时，求（）a的值；（）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程【答案】（）a1；（）5x12y+450或x3【解析】【
17、分析】（）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后由a大于0，得到满足题意a的值；（）把（）求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，由（3，5）和设出的k写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径即可列出关
18、于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程综上，得到所有满足题意的切线的方程【详解】解：（）依题意可得圆心C（a，2），半径r2，则圆心到直线l：xy+30的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|2，解得a1或a3，又a0，所以a1；（）由（1）知圆C：（x1）2+（y2）24，圆心坐标为（1，2），圆的半径r2由（3，5）到圆心的距离为r2，得到（3，5）在圆外，当切线方程的斜率存在时，设方程为y5k（x3）由圆心到切线的距离dr2，化简得：12k5，可解得，切线方程为5x12y+450；当过（3，5）斜率不存在直线方程为x3与圆相切由可知切线
19、方程为5x12y+450或x3【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题22.已知椭圆经过点，且右焦点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线交椭圆与，两点，记，若的最大值和最小值分别为，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1) 列方程组求解出，即可；(2) 对k讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立t的恒成立方程进行求解【详解】解：（1）有椭圆的右焦点为，知，即，则：又椭圆过点，则，又，求得椭圆方程：.（2）当直线斜率存在时，设的方程为，由得，即，在椭圆内部，则， 将代入得，则，即，又是两个根，当直线斜率不存在时，联立得，不妨设，.可知.综上【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程以及直线与椭圆的位置关系，考查转化能力与计算能力，属于中档题目