1、第2课时 不等式的性质 基础预习初探问题1.在解不等式x32时,通过移项得x5,其理论依据是什么?提示:不等式两边同加上一个数不等号方向不变问题2.已知32,若两边同乘以2,不等式成立吗?若两边同乘以c(c为常数),不等式成立吗?提示:同乘以2,不等式成立两边同乘以c,不等式不一定成立,当c0时,3c2c;当c0时,3c2c;当c0时,3c2c.【概念生成】不等式的性质别名性质内容注意性质1对称性abbb,bcac不可逆abacbc性质3可加性abcacb可逆别名性质内容注意ab,c0acbc性质4可乘性ab,c0acb,cdacbd同向性质6同向同正可乘性ab0,cd0acbd同向同正性质7
2、可乘方性ab0anbn(nN,n1)同正核心互动探究探究点一 不等式性质的理解【典例 1】判断下列不等式的对错(1)ca 0ab.()【解析】ca01a 1b,当a0时,此式成立,推不出ab,所以(1)错(2)ab,且 cdacbd.()【解析】当a3,b1,c2,d3时,命题显然不成立所以(2)错 (3)ab0,且 cd0ad bc.()【解析】ab0cd0ad bc 0ad bc 成立所以(3)对(4)ac2 bc2 ab.()【解析】显然c20,所以两边同乘以c2,得ab.所以(4)对 【思维导引】看是否满足性质所需的条件,若要判断一个命题是假命题,可以从条件入手,推出与结论相反的结论或
3、举出一个反例予以否定【类题通法】利用不等式的性质判断正误的两种方法(1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性【知识延拓】运用不等式性质求解问题的两个注意点(1)易忽视不等式性质成立的条件,或“无中生有”自造性质导致推理判定失误(2)对于不等式的常用性质,要注意弄清其条件和结论,不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面,单向性主要用于证明不等式,双向性是解不等式的依据【定向训练】已知ab0.则下列结论错误的是()A
4、abb2Bab2bCb1a1 baD1a 1b【解析】选D.由ab0,可得ab0,对于A中,abb2b(ab)0,所以abb2,所以A正确;对于B中,ab2bab20,所以ab2b,所以B正确;对于C中,b1a1 ba(aba)abb(a1)aab(a1)a 0,所以b1a1 ba,所以C正确;对于D中,1a 1b baab0,所以1a 1b,所以D不正确探究点二 不等式性质的应用【典例2】(1)若1a5,1b2,则ab的取值范围为_(2)已知ab0,求证ba ab.【思维导引】(1)利用不等式的性质“同向可加性”解决(2)作差,然后利用不等式的同向可乘性判断正负【解析】(1)因为1b2,所以
5、2b1,又1a5,所以1ab6.答案:1ab6(2)因为ab0,所以 1ab 0,所以1b 1a 0,所以1b 1a 0,又ab0,所以ba b1,此时1a 1b,故A错误;对于B,若ab0,所以a2b2,故B正确;对于C,若ac2bc2,则c20,所以ab,故C正确;对于D,ab2,满足ab4,但ab40,求证:abbcdd.【证明】因为bcad0,所以bcad,所以bcbdadbd,即b(cd)d(ab).又bd0,两边同除以bd得,abbcdd.【跟踪训练】1.若 x,y 满足1x6,2y8,则xy 的取值范围是_【解析】由2y8,可得18 1y 12,又1x6.所以18 xy b,下列不等式正确的是()A1a 1b Bab 1Cab0 Dab0【解析】选C.对于A选项:当a2,b1时12 11,故错误;B选项:当a1,b1时 11 bab0成立,故正确;D选项:当a2,b3时231c;abcd;adc,adbc,所以ab,因为adbc,所以acbd,因为abcd,所以acdb,即db,ac,所以acdb.答案:acdb0,cd0,ffbd.【证明】因为cdd0,又因为ab0,所以acbd0.不等式的两边同乘1(ac)(bd),得 1bd 1ac 0,又因为f0,所以fbd fbd.