1、第4讲 概率与统计、推理与证明 热 点 调 研 调研一 概 率考向一 古典概型命题方向：1直接枚举型概率问题；2排列组合型概率问题(1)(2016孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是()A.12 B.13C.14D.15【解析】已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P3612.【答案】A(2)从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(
2、)A.12B.13C.14D.16【解析】从1，2，3，4中任取2个不同的数，共有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)6种不同的结果，取出的2个数之差的绝对值为2的有(1，3)，(2，4)2种结果，概率为13，故选B.【答案】B(3)(2016新课标全国)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.56【解析】从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色
3、的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P4623，故选C.【答案】C(4)(2016广东梅州一模)如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为()A.12 B.14C.18D.38【解析】A，B两个方格中总的基本事件个数为4216种，A方格数字比B方格数字大的基本事件有1236种，所以填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为P 61638，故选D.【答案】D【回顾】古典概型问题的求解技巧：(1)直接列举：涉及一些常见的古典概型问题时，往往把事件发生的所有结果逐
4、一列举出来，然后进行求解；(2)画树状图：涉及一些特殊古典概型问题时，直接列举容易出错，通过画树状图，列举过程更具有直观性、条理性，使列举结果不重、不漏；(3)逆向思维：对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率；(4)活用对称：对于一些具有一定对称性的古典概型问题，通过列举基本事件个数结合古典概型的概率公式来处理反而比较复杂，利用对称思维，可以快速解决 考向二 几何概型命题方向：1长度型；2.面积型；3.体积型；4角度型；5.时间型；6.区间型长度型(1)(2016福州五校)在长为12厘米的线段AB上任取一点C，现以线段AC，B
5、C为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于20平方厘米的概率为_【审题】首先确定测度，然后确定矩形一边长的范围，再后代入公式计算【解析】易知这是长度型几何概型，不妨设长为x厘米，则宽为(12x)厘米，由x(12x)20，得2x10，所以该矩形的面积大于20平方厘米的概率为10212 23.【答案】23【回顾】求解几何概型分三步：(1)定性，即根据事件涉及元素的特征确定相应事件的度量方式面积、体积等(2)定量，即根据事件度量的方式计算相应数量(3)定值，代入几何概型的概率公式求值(2)(2016衡水调研)在RtABC中，BAC90，AB1，BC2.在BC边上任取一点M，则AMB90的概率为_【解析】如
6、图所示，在RtABC中，作AMBC，M为垂足由题意，知AB1，BC2，可得BM12，则AMB 90的概率P12214.【答案】14区间型(1)(2016郑州质量预测)对 R，n0，2，向量c(2n3cos，n3sin)的模不超过6的概率为()A.510B.2 510C.3 510D.2 55【解析】|c|（2n3cos）2（n3sin）25n296nsin12ncos5n296 5nsin（），其中tan2，要使|c|6对任意R都成立，只需5n296 5n6成立即可，即5n26 5n936，解得 9 55 n 3 55，又n0，2，0n 3 55，故所求概率为3 55 020 3 510，故选
7、C.【答案】C(2)(2016山东)在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_【解析】圆(x5)2y29的圆心为C(5，0)，半径r3，故由直线与圆相交可得|5k0|k21r，即|5k|k213，整理得k2 916，得34k34.故所求事件的概率P34（34）1（1）34.【答案】34【回顾】求解几何概型时，一定要注意几何度量，区分长度、角度、面积、体积等 时间型(2016新课标全国)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.1
8、3B.12C.23D.34【解析】由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.【答案】B面积型(1)(2016湖北七市联考)平面区域A1(x，y)|x2y24，x，yR，A2(x，y)|x|y|3，x，yR在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为_【审题】由关键字眼“平面区域”知测度为面积，注意另一关键字眼“不在”【解析】分别画出区域A1，A2，如图圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，所求概率为 18418129.【答案】129【回顾】解此类问题的主要步骤为：列出条件，画出图形，计算面积，再求概率(2)(2016衡水调研)把长度为10的木棒任意分成三段，则这三段可以构
9、成一个三角形的概率为_【审题】将实际问题，设其中两段的长度分别为x与y，则第三段的长度为10 xy转化为线性规划的概率问题【解析】设其中两段的长度分别为x与y，则第三段的长度为10 xy，显然有0 x10，0y10，010 xy10，也就是0 x10，0y10，0 xy10 xy，x（10 xy）y，y（10 xy）x，也就是0 x5，0y5，于是区域A可以用图中的阴影部分表示，因此，所求概率为PSAS125512101014.【答案】14【回顾】首先判断问题的基本事件是古典概率还是几何概率对几何概率选择变量个数，找到变量的关系建立相应的等式与解析式，画出对应的区域，然后求出相关事件的概率；其
10、中设计变量个数与寻找关系是难点 体积型(2016商丘模拟)在棱长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为()A.16B.56C.6D16【解析】棱长为2的正方体的体积为V1238，而该点到正方体8个顶点的距离都小于1的恰好是8个半径为1的 18 小球，则由对立事件与几何概型可得所求的概率为P14313816.【答案】D【回顾】测度是体积，这是很简单的问题，关键是定量计算 角度型(2016广州调研)在直角三角形ABC中，直角顶点为C，其中A30，在ACB的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，则满足BCAMAC的概率为()A.14B.13C.12D.23【解
11、析】记“BCAMAC”为事件D，在ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM所在任何位置都是等可能的，则所求事件涉及对应角的角度问题，在AB上取一点C1使得AC1AC，连接CC1，则ACC175，又在AB上取一点C2使得BC2BC，连接CC2，则ACC230，那么C1CC2ACC1ACC245，而ACB90，根据几何概型的概率公式，知满足BCAMAC的概率为：P(D)构成事件D的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度C1CC2ACB 459012.【答案】C【回顾】(1)本题不要误判为长度型！(2)几何概型的概率公式：P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（
12、面积或体积）1古典概型 对于事件A的概率的计算，关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个 2几何概型(1)几何概型的测度：长度；面积；体积；角度；时间；区间(2)求几何概型概率的基本步骤：明确取点的区域；确定所求概率的事件中的点的区域A；计算区域和区域A的几何度量和A；计算所求问题的概率P(A)A.1(2016新课标全国)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小
13、敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130答案 C解析 小敏输入密码的所有可能情况如下：(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，共15种 而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为 115.2设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A.34 12B.12 1C.14 12D.12 1答案 C解析 利用复数的几何意义可知|z|1表示的区域为以(1，0)为圆心，1为半径的圆及其内部
14、，此区域内满足yx的点对应的区域如图中阴影部分所示，故所求概率P141214 12，故选C.3(2016山西调研)已知平面区域(x，y)yx1，y0，x1.，M(x，y)y|x|1y0，向区域内随机投一点P，则点P落在区域M内的概率为()A.14B.13C.12D.23答案 C解析 先作出(x，y)yx1，y0，x1所表示的平面区域，如图中的三角形ABD(边界及其内部)，然后作出M(x，y)y|x|1，y0所表示的平面区域，如图所示的等腰直角三角形ACD，两个区域的重叠区域为直角三角形ACD，故由几何概型概率可得点P落在区域M内的概率PSACDSABD1221122212.4(2016河南六市
15、)欧阳修卖油翁中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为_答案 14解析 由题意得，所求概率为P（12）2 14.5(2014新课标全国)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_答案 13解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，
16、红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种故所求概率为P 3913.调研二 统计及统计案例考向一 抽样方法(1)(2016河北七校)总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7 816 6 572 0 802 6 314 0 701 4 36997280 1983 204 9 234 4 935 8 200 3 623 4 869 6 9
17、38 7 481A08 B07C02 D01【解析】选出的5个个体的编号依次是08，02，14，07，01，故选D.【答案】D(2)(2016河南六校)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为k53，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A种型号产品共抽取了24件，则C种型号产品抽取的件数为()A24 B30C36 D40【解析】由kk5312024，得k2，则C种型号产品抽取的件数为325312036(件)，选C.【答案】C(3)(2016广州模拟)一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，6.现用系统抽样
18、方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是_【解析】间隔为 606 10，在第5组中抽取的号码是3(51)1043.【答案】43(4)(2016武汉调研)现要完成下列3项抽样调查：从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本较为合理的抽样方法是_A简单随机抽样，系统抽样，分层抽样B简单随机抽样，分层
19、抽样，系统抽样C系统抽样，简单随机抽样，分层抽样D分层抽样，系统抽样，简单随机抽样【解析】对于，总体个数较少，采用简单随机抽样；对于，总体个数相对较多，采用系统抽样；对于，个体相互差异明显，采用分层抽样【答案】A(5)(2016福州调研)在一个个体数目为1 003的总体中，要利用系统抽样抽取一个容量为50的样本，那么总体中每个个体被抽到的概率是()A.120B.150C.25D.501 003【解析】由于1 00350的余数为3，因此在采用系统抽样时应剔除的个体数为3，若总体中某个个体a被抽入样本，则个体a未被剔除的概率为 1 0001 003，而在接着的抽样中，要从1 000个个体中抽取50
20、个，则个体a被抽中的概率为501 000，故个体a被抽到的概率为1 0001 003 501 000 501 003.【答案】D【回顾】在系统抽样或分层抽样时，有时需要先剔除部分个体，即先剔后抽 考向二 频率分布直方图命题方向：1求样本容量；2求特定区间上的频率、频数等；3求众数、中位数、均值等；4与其他知识的综合求样本容量(2016洛阳调研)为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在10，50，其中支出金额在30，50的有134个学生，频率分布直方图如图所示，则n()A150 B160C180 D200【审题】此题以频率分布直方图为
21、问题背景，通过给定区间内学生数来求解所抽取的总体学生数，达到识图、用图的目的根据频率分布直方图确定金额在10，20)，20，30)上的学生的频率，结合性质求得支出金额在30，50上的学生的频率值，利用频率值建立关系式求解对应的学生数n即可【解析】依题意可得支出金额在10，20)，20，30)上的学生的频率分别为0.01100.1，0.023100.23，那么支出金额在30，50上的学生的频率为1(0.10.23)0.67，则有134n 0.67，解得n200，故选D.【答案】D【回顾】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易混淆三者而出错，在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点
22、的横坐标即众数；(2)中位数左右两边的直方图的面积相等；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和 特定区间上的频率、频数等(1)(2016重庆模拟)据我国西部各省(区，市)2013年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间28，38)上的频率是()A0.3 B0.4C0.5 D0.7【解析】依题意，由图可估计人均地区生产总值在区间28，38)上的频率是1(0.080.06)50.3，选A.【答案】A(2)(2016山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如
23、图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A56 B60C120 D140【解析】由频率分布直方图知，数据落在区间22.5，30的频率为2.5(0.160.080.04)0.7.故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为2000.7140.故选D.【答案】D求众数、中位数、均值等(1)(2016贵州适应性考试)一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的中位数为()A13 B12
24、C12.52 D.1009【解析】由频率分布直方图可得第一组的频率是0.08，第二组的频率是0.32，第三组的频率是0.36，则中位数在第三组内，估计样本数据的中位数为10 0.10.3641009，选项D正确【答案】D(2)(2016河南郑州模拟)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示直方图中x的值为_；在这些用户中，月用电量的均值为_【解析】第一组的频率为0.002 4500.12，第二组的频率为0.003 6500.18，第三组的频率为0.006 0500.3，第五组的频率为0.002 4500.12，第六组的频率为0.001
25、 2500.06，所以第四组的频率为10.120.180.30.120.060.22，所以x0.22500.004 4.月用电量的均值为750.002 4501250.003 6501750.006 0502250.004 4502750.002 4503250.001 2503.7250186.【答案】(1)0.004 4(2)186与其他知识点的综合(2016福州调研)如图，为某个样本的频率分布直方图，分组为96，98)，98，100)，100，102)，102，104)，104，106，已知a，b，c成等差数列，且区间102，104)与104，106上的数据个数相差12，则区间98，10
26、0)上的数据个数为()A24 B12C6 D48【审题】根据频率分布直方图确定数据在102，104)与104，106上的频率，根据已知求出样本容量，然后根据频率分布直方图的性质和已知求出b的值，进而求出所求区间上数据的频率，进而求解【解析】由频率分布直方图，可知102，104)与104，106上的频率分别为0.12520.25，0.07520.15，设样本容量为x，则由题意知x0.25x0.150.1x12，所以x120.因为a，b，c成等差数列，所以2bac，因为2a2b2c10.250.150.6，所以b0.1.故数据在区间98，100)上的频率为2b20.10.2，该区间上的数据个数共有
27、1200.224，故选A.【答案】A【回顾】(1)解决此类问题的基本方法是首先明确频率分布直方图中的纵轴与横轴的单位，然后根据图中已知数据求出各个区间内的频率，最后根据频率与频数、样本容量之间的关系求解相关问题(2)相关的知识不能用错！考向三 茎叶图命题方向：1求一组数据的(样本)的数字特征；2求样本中的未知数据；3两组数据相比较；4茎叶图与其他知识点的结合求样本的数字特征(2016百校联盟)已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是()A44，45，56B44，43，57C44，43，56D45，43，57【
28、解析】由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，48，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为4345244，众数为43，极差为671057.选B.【答案】B求样本中的未知数据(2016合肥质检)一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则xy的值为A2 B2C3 D3【解析】由题意得，727780 x8690581x0，易知y3，xy3，故选D.【答案
29、】D两组数据相比较(2016石家庄模拟)为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中11时的气温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为()ABCD【解析】由茎叶图和平均数公式可得甲、乙两地的平均数分别是30，29，则甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温，错误，正确，排除A和B；又甲、
30、乙两地该月11时的气温标准差分别是s甲411452，s乙914453 105，则甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差，正确，错误，故选项C正确【答案】C茎叶图与其他知识的结合我校是一所有着百年历史的名校，图1是某一阶段来我校参观学习的外校人数统计茎叶图，第1次到第14次参观学习人数依次记为A1，A2，A14.图2是统计茎叶图中人数在一定范围内的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是_【解析】此框图的功能是输入14个数据，输出大于或等于90的数据的个数，而根据茎叶图可知，大于或等于90的数据有9个，所以输出的n9.【答案】9【回顾】(1)众数：一组数据中出现次数最多的
31、数据叫作众数(2)中位数：将一组数据从小到大(或从大到小)依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫作中位数中位数把样本数据分成了相同数目的两部分(3)平均数：x1，x2，xn的平均数是 x1n(x1x2xn)(4)方差：一般地，设一组样本数据x1，x2，xn，其平均数为 x，则称s21nni1(xi x)2为这个样本的方差(5)标准差：因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离散的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差标准差s1nni1（xi x）2，标准差也可以刻画一组数据的稳定程度 考向四 回归直线方程命题方向：1变量间的相关关系；2确定回归方程；3根据方程进行预测
32、确定回归方程(2016沈阳调研)某学生四次模拟考试，其英语作文的减分情况如下表：考试次数x1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为()Ay0.7x5.25 By0.6x5.25Cy0.7x6.25 Dy0.7x5.25【解析】由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A，考试次数的平均数 x14(1234)2.5，所减分数的平均数为 y 14(4.5432.5)3.5，即直线应该过点(2.5，3.5)，代入验证可知直线 y 0.7x5.25成立，故选D.【答案】D【回顾】回归直线一定过样本中心(x，y)据方程
33、预测(2016衡水调研)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据下表可得回归方程 y bx a中的 b10.6，据此模型预报广告费用为10万元时的销售额为()广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263958 A112.1万元B113.1万元C111.9万元D113.9万元【解析】(x，y)在回归直线ybxa上，且 x14(4235)72，y14(49263958)43，将(72，43)代入y10.6xa中得a5.9，y10.6x5.9，当x10时，y1065.9111.9.所以广告费用为10万元时销售额为111.9万元【答案】C考向五 独立性检验命题方向：判断两个变量之间的
34、相关性(1)(2016长沙调研)某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表：P(K2k0)0.150.100.050.025 0.010 0.0050.001k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算K210，则下列选项正确的是()A有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影
35、响【解析】依题意，注意到7.879K210.828，因此有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A.【答案】A【回顾】(1)要注意列联表中的数据与公式中字母的对应关系，不能混淆(2)独立性检验的前提是假设两组数据之间是相互独立的，求得的K2值与附表中的数据对应后得到的结论是两者相关的可能性比如本题当K23.841时，则有95%以上的把握认为事件A与B有关；当K210.828时，则有99.9%以上的把握认为事件A与B有关(2)(2016郑州模拟)某市通过随机询问100名不同年级的学生是否能做到“扶跌倒老人”，得到如下列联表：做不到能做到高年级有4510低年级3015附参照表：P(K2k
36、)0.100.0250.01k2.7065.0246.635参考公式：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd），其中nabcd.则下列结论正确的是()A在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低有关”B在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低无关”C有90%以上的把握认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低有关”D有90%以上的把挥认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低无关”【解析】由题设知a45，b10，c30，d15，所以K2的观测值k100（45153010）2554575253.030，且由附表可知2.7063.0
37、305.024，所以有90%以上的把握认为“学生能否做到扶跌倒老人与年级高低有关”，故选C.【答案】C(2016武汉调研)某社会实践调查小组，在对高中学生“能否良好使用手机”的调查中，随机发放了120份问卷对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下22列联表：做不到良好使用手机能做到良好使用手机合计男生451055女生301545合计7525100如果认为“能否良好使用手机与性别有关”犯错误的概率不超过p，那么根据临界值表，最精确的p的值应为_附：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd），其中nabcd.P(K2k)0.250.150.100.050.025k01.323 2.07
38、2 2.706 3.841 5.024【解析】根据题意K23.03又2.7063.030，an的通项公式是_【解析】a12，a222(2)2222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.由此猜想出数列an的通项公式为an(n1)n2n.【答案】an(n1)n2n(2)(2016江西九校)设函数f(x)x2x2(x0)，观察：f1(x)f(x)x2x2，f2(x)f(f1(x)x6x4，f3(x)f(f2(x)x14x8，f4(x)f(f3(x)x30 x16，根据以上事实，当nN*时，由归纳推理可得：fn(1)_【解析】通过观察可以发现f1(1)13212，
39、f2(1)13222，f3(1)13232，f4(1)13242，所以fn(1)132n2.【答案】132n2【回顾】归纳猜想，是常用的方法 考向二 类比推理命题方向：1平面与空间类比；2等差与等比类比；3圆锥曲线之间类比；4其他类型空间类比平面(2016衡水调研)已知“正三角形内切圆的半径是高的 13”，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_【解析】从方法的类比入手，原问题的解法为等面积法，即S12ah312ar，得r13h，类比问题的解法应为等体积法，V13Sh413Sr，得r14h，即正四面体内切球的半径是高的14.【答案】正四面体内切球的半径是高的14等比类比等差(2016沧州调
40、研)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，T16T12 成等比数列【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列bn的前n项积为Tn，则T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，所以T8T4a5a6a7a8，T12T8 a9a10a11a12，T16T12a13a14a15a16，所以T4，T8T4，T12T8T16T12的公比为q16，因此T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列【答案】T8T4，T12T8双曲线类比椭圆(2016石家庄模
41、拟)若点P0(x0，y0)在椭圆 x2a2 y2b2 1(ab0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为 x0 xa2 y0yb2 1.那么对于双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)，类似地，可以提到一个正确的命题为_【答案】若点P0(x0，y0)在双曲线 x2a2 y2b2 1(a0，b0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为x0 xa2 y0yb2 1.其他类比型(2016太原模拟)已知cos()23，cos()14，求tantan 的值我们计算可得tan tan 511.请你分析该数
42、学问题，用类比推理的方法，给出类似的一组可以求tantan 的值的条件：_.【解析】应该说本题的类比物与类比项是难以确定的我们首先来分析一下原数学问题是如何由条件求出tantan 511的将条件利用两角和与差的余弦公式展开，由 coscossinsin23，coscossinsin14，得coscos1124，sinsin 524.所以tantan sinsincoscos 511，考虑到 tantan 的值是由sincoscossin 确定的，可以设想条件应该是关于sincos，cossin的二元方程，类比原问题条件形式，自然联想到两角和与差的正弦公式，因此，这组条件可以是“sin()23，
43、sin()14”【答案】sin()23，sin()14【回顾】类比推理不仅要注意形式的类比，而且更要注意方法的类比 考向三 反证法命题方向：反证法是一种间接证明命题的方法，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论证明：tan3是无理数【证明】假设tan3是有理数，则tan6 2tan31tan23是有理数，tan12 2tan61tan26也是有理数，tan24 2tan121tan212也是有理数，tan30 tan6tan241tan6tan24也是有理数，而tan30 33 是无理数，所以，假设错误因此，tan3是无理数(2016济南模拟)用反证法证明命题“设a，b为实数，则
44、方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根【解析】依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根，故选A.【答案】A【回顾】运用反证法证明的关键是：反设假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立 1综合分析数学归纳，正难则反遍地开花 2归纳推理的一般步骤(1)通过观
45、察个别情况发现相同的性质；(2)推出一个明确表述的一般性结论 3类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明1用反证法证明命题“已知a，bN*，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除Da不能被5整除答案 B解析 由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证“a，b至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”故选B.2学生的语文、
46、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A2人B3人C4人D5人答案 B解析 利用反证法解决实际问题 假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人当有3位学生时，用A，B，C表示“优秀”“合格”“不合格”，则
47、满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人3已知1216123，122216235，12223216347，1222324216459，则1222n2_(其中nN*)答案 16n(n1)(2n1)解析 根据题意归纳出1222n2 16 n(n1)(2n1)，下面给出证明：(k1)3k33k23k1，则2313312311，3323322321，(n1)3n33n23n1，累加得(n1)3133(1222n2)3(12n)n，整理得1222n216n(n1)(2n1)，故填16n(n1)(2n1)4如图所示是由长为1的小木棒拼成的一列图形，其中第n个图形由n个正方形组成：观察图形，根据第1个、
48、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数，回答下列问题：第5个图形中，小木棒的根数为_；第n个图形中，小木棒的根数为_答案 16 3n1解析 观察图形可得，第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数分别为4，7，10，13，而4311，7321，10331，13341，由归纳推理得，第5个图形中，小木棒的根数为35116，第n个图形中，小木棒的根数为3n1.5已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数yax(a1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论ax1ax22ax1x22成立运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数ysinx(x(0，)的图像上的不同两点，则类似地有_成立答案 sinx1sinx22sinx1x22解析 运用类比思想与数形结合思想，可知ysinx(x(0，)的图像是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标sinx1sinx22总是小于函数ysinx(x(0，)图像上的点(x1x22，sinx1x22)的纵坐标，即sinx1sinx22sinx1x22成立请做：专题训练作业（九）
