1、2011年最后冲刺必读题解析（26）20、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（2）小题6分）设数列中，若，则称数列为“凸数列”。（1）设数列为“凸数列”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；（2）在“凸数列”中，求证：；（3）设，若数列为“凸数列”，求数列前项和。20、解：（1），。 4分（2）由条件得，6分，即。8分（3）。 10分由（2）得。12分14分21、（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称
2、金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡。. （1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。 21、 解：（1）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡
3、”。 . 3分 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。6分（2）的可能取值为0，1，2，3 , . ，. （每个2分） 所以的分布列为0123 14分所以， 16分 22、（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。（1）求椭圆方程；（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值；（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。22、解：（1），椭圆方程为。4
4、分（2），设，则。直线：，即，6分代入椭圆得。8分，。，10分（定值）。12分（3）设存在满足条件，则。，14分则由得 ，从而得。存在满足条件。16分23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点。若。（1）求证：与的关系为；（2）设，定义函数，点列在函数的图像上，且数列是以首项为1，公比为的等比数列，为原点，令，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由。（3）设函数为上偶函数，当时，又函数图象关于直线对称， 当方程在上有两个不同的实数解时，求实数的取值范围。23、解：（1），2分，从而。4分（
5、2），又，6分。8分设，则。，故存在满足条件。10分（3）当时，又由条件得，。当时，从而。12分由得。14分设，在同一直角坐标系中作出两函数的图像，如图当函数图像经过点时，。16分由图像可知，当时，与的图像在有两个不同交点，因此方程在上有两个不同的解。18分19（本小题满分12分）设函数（I） 若对任意的，不等式都成立，求实数的最小值；（II） 求函数在区间上的极值。20（本小题满分13分）已知点，点P在轴上，点在轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，。（I） 当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C；（II） 过点T（-1，0） 作直线与轨迹C交于A，B两点，若在轴上存在一点E（）使得是等边三角形，求的值。21（本小题满分14分）设数列满足令（I） 试证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（II） 令，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。（III）比较与的大小。
