1、2011年最后冲刺必读题解析(26)20、(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(2)小题6分)设数列中,若,则称数列为“凸数列”。(1)设数列为“凸数列”,若,试写出该数列的前6项,并求出该6项之和;(2)在“凸数列”中,求证:;(3)设,若数列为“凸数列”,求数列前项和。20、解:(1),。 4分(2)由条件得,6分,即。8分(3)。 10分由(2)得。12分14分21、(本题满分16分,第(1)小题6分,第(2)小题10分)为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”,上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡,其中向境外人士发行的是世博金卡(简称
2、金卡),向境内人士发行的是世博银卡(简称银卡)。现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游,其中是境外游客,其余是境内游客。在境外游客中有持金卡,在境内游客中有持银卡。. (1)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;(2)在该团的境内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量,求的分布列及数学期望。 21、 解:(1)由题意得,境外游客有27人,其中9人持金卡;境内游客有9人,其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”, 事件为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”, 事件为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡
3、”。 . 3分 所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。6分(2)的可能取值为0,1,2,3 , . ,. (每个2分) 所以的分布列为0123 14分所以, 16分 22、(本题满分16分,第(1)小题4分,第(2)小题8分,第(3)小题4分)已知椭圆的左右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形是边长为2的正方形。(1)求椭圆方程;(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点。证明:为定值;(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。22、解:(1),椭圆方程为。4
4、分(2),设,则。直线:,即,6分代入椭圆得。8分,。,10分(定值)。12分(3)设存在满足条件,则。,14分则由得 ,从而得。存在满足条件。16分23、(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)在平行四边形中,已知过点的直线与线段分别相交于点。若。(1)求证:与的关系为;(2)设,定义函数,点列在函数的图像上,且数列是以首项为1,公比为的等比数列,为原点,令,是否存在点,使得?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由。(3)设函数为上偶函数,当时,又函数图象关于直线对称, 当方程在上有两个不同的实数解时,求实数的取值范围。23、解:(1),2分,从而。4分(
5、2),又,6分。8分设,则。,故存在满足条件。10分(3)当时,又由条件得,。当时,从而。12分由得。14分设,在同一直角坐标系中作出两函数的图像,如图当函数图像经过点时,。16分由图像可知,当时,与的图像在有两个不同交点,因此方程在上有两个不同的解。18分19(本小题满分12分)设函数(I) 若对任意的,不等式都成立,求实数的最小值;(II) 求函数在区间上的极值。20(本小题满分13分)已知点,点P在轴上,点在轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足,。(I) 当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C;(II) 过点T(-1,0) 作直线与轨迹C交于A,B两点,若在轴上存在一点E()使得是等边三角形,求的值。21(本小题满分14分)设数列满足令(I) 试证明数列是等差数列,并求数列的通项公式;(II) 令,是否存在实数,使得不等式对一切都成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由。(III)比较与的大小。