1、第1页/共28页 学科网（北京）股份有限公司2023-2024 学年第一学期福州市四校教学联盟期末学业联考九年级数学试卷一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题所给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的 1.2023 年 10 月 12 日，习近平总书记在进一步推动长江经济带高质量发展座谈会上强调：“要把产业绿色转型升级作为重中之重，加快培育壮大绿色低碳产业”下列绿色图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一
2、个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选 B 2.抛物线277ykxx=的图象和 x 轴有两个交点，则k 的取值范围是（）A.74k B.74k C.74k 且0k D.74k 且0k【答案】D【解析】【分析】本题考查了抛物
3、线与 x 轴的交点，由于二次函数与 x 轴有两个交点，故二次函数对应的一元二次方程2770kxx=中，0，解不等式即可求出 k 的取值范围，由二次函数定义可知，0k 即可第2页/共28页 学科网（北京）股份有限公司得出结论【详解】解：二次函数277ykxx=的图象和 x 轴有两个交点，20449280kback=+，74k 且0k 故选：D 3.下列事件，是必然事件是（）A.经过有信号灯的路口，遇到红灯 B.打开电视频道，正在播体育新闻 C.掷一次骰子，向上一面点数大于 0 D.射击运动员射击一次，命中十环【答案】C【解析】【分析】本题考查了必然事件的概念。解决本题需要正确理解必然事件、不可能
4、事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件本题依据定义即可判断【详解】、经过有信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故选项不符合题意；、打开电视频道，正在播体育新闻，遇到红灯是随机事件，故选项不符合题意；、掷一次骰子，向上一面点数大于 0，一定是1 至 6中的一个数一定大于0，是必然事件，故选项符合题意、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件故选项不符合题意 故选：C 4.将点(3,1)绕原点逆时针旋转90 得到的点的坐标是（）A.(1,3)B.(1,3)C.(3,1)
5、D.(3,1)【答案】B【解析】【分析】根据题意作出图象，然后读出点的坐标即可，熟练掌握旋转图形的作法是解题关键【详解】解：如图所示，点(3,1)绕原点逆时针旋转90 得到点 F，此时点()1,3F，的第3页/共28页 学科网（北京）股份有限公司 故选：B 5.已知反比例函数2yx=，下列结论中，不正确的是（）A.图象必经过点()1 2，B.y 随 x 的增大而增大 C.图象在第一、三象限内 D.若1x，则02y，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小，故不正确，符合题意 C、20k=，图象在第一、三象限内，故正确，不符合题意；D、若1x，则02y的图象经过点 C，则 k 的值为（）A.32
6、2+B.8 C.16 D.32【答案】A【解析】【分析】连接,OA OB OC，过点C 作 CDx轴于点 D，延长 AO 交CD 于点 E，根据切线的性质，等弧所对的圆心角相等，易得,AOB COE为等腰直角三角形，四边形OABF 为正方形，四边形 BDEO 为矩形，求出点C 的坐标即可【详解】解：连接,OA OB OC，过点C 作 CDx轴于点 D，延长 AO 交CD 于点 E，则：OAOBOC=，A，B 两点分别为O与 x 轴，y 轴的切点，OBx轴，OAy轴，第7页/共28页 学科网（北京）股份有限公司OAx轴，OAOB，四边形 AOBF 为正方形；2 2AB=，2OAOB=，2OC=，
7、2BF=；CDx轴，OBx轴，OAOB，四边形 BDEO 为矩形，90,2,90OECDEOBBOE=，OEBD=，C 为优弧 AB 的中点，()1 360901352AOCBOC=，45COEBOCBOE=，222OECEOC=，22,22CDCEDEDFBFBD=+=+=+=+，()22,22C+，()2222k=+，32 2k=+，故选 A【点睛】本题考查求反比例函数的k 值，同时考查了切线的性质，等弧对等角，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解题的关键是掌握切线的性质，构造特殊图形本题的综合性较强，难度较大 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 1
8、1.已知二次函数22yxxc=+图象上有点()11,A x y、()22,B xy，若121xx，则1y _2y（填写“或=”）【答案】【解析】【分析】利用二次函数的增减性判断即可 第8页/共28页 学科网（北京）股份有限公司【详解】由题可知，该二次函数对称轴为直线1x=，且开口向上，即：当1x 时，y 随 x 的增大而减小，121xx，故答案为：【点睛】本题考查利用二次函数的增减性判断函数值的大小问题，准确判断函数的增减性是解题关键 12.如图，ABCDEF，直线 1l，2l 与这三条平行线分别交于点 A，C，E，和点 B，D，F已知3,6,6ACCEBF=，则 BD 的长为_ 【答案】2【
9、解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出 BD 即可本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键【详解】解：ABCDEF，ACBDAEBF=，即ACBDACCEBF=+，3,6,6ACCEBF=，3366BD=+，解得：2BD=故答案为：2 13.某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下 每批粒数n 100 500 1 000 1 500 2 000 3 000 发芽的频数m 94 466 928 1 396 1 858 2 790 第9页/共28页 学科网（北京）股份有限公司发芽的频率 mn（精确到 0.001）0.940 0.932 0.928 0
10、.931 0.929 0.930 根据上表估计，这种绿豆发芽的概率是_（精确到 0.01）【答案】0.93【解析】【分析】本题考查了利用频率估计概率解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率根据题意，用频率估计概率即可【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值 0.93，故答案为：0.93 14.已知圆锥的母线长为 4，底面圆的半径为 3，该圆锥的侧面展开图的面积为_【答案】12【解析】【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的扇形面积
11、公式是解题的关键，根据圆锥的侧面积公式：122Sr lrl=侧，即可得圆锥的侧面展开图的面积【详解】解：圆锥的侧面展开图的扇形，3 412Srl=侧，该圆锥的侧面展开图的面积为12，故答案为：12 15.某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()kPap是气体体积()3mV的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积V的取值范围_ 【答案】0.6V【解析】【分析】利用待定系数法求出比例函数解析式96PV=，再利用反比例函数的性质求解，即可得到答案 第10页/共28页 学科网（北京）股份有限公司【详解】解：设反比例函数
12、解析式kPV=，由图象可知，反比例函数经过点()0.8,120A，0.8 12096k=，96PV=，在第一象限内，P 随 V 的增大而减小，当160P=时，960.6160V=，气球内的气压大于160kPa 时，气球将爆炸，160P，此时0.6V，气体的体积V 的取值范围为0.6V，故答案为：0.6V，【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键 16.研究抛物线212yx=的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O，两直角边与该抛物线交于 A，B 两点（如图），将三角板绕点 O 旋转任意角度时发现，交点 A，B 所连线段总经过一
13、个固定的点，则该定点的坐标是_ 【答案】(0,2)【解析】【分析】本题可通过作垂直辅助线，并假设 A、B 点坐标，继而利用待定系数法求解直线 AB 截距项，证明AEO 与OFB 相似，最后利用相似性质求解截距项以解本题【详解】作 AEx 轴，BFx 轴，如下图所示：第11页/共28页 学科网（北京）股份有限公司 设21(,)2Amm，21(,)2B nn，其中 m、n 均为正数，设直线 AB 的解析式：ykxb=+，将 A、B 点代入可得：221212mkbmnkbn+=+=，解该方程组可得：12bmn=AOB=90 AOE+BOF=90，又BOF+OBF=90，AOE=OBF，AEO=OFB
14、=90，AEOOFB,AEOEOFBF=,212AEm=，OEm=，=OF n，212BFn=，221212mmnn=，故4mn=，则2b=综上，不论 k 取何值，直线 AB 恒过点(0,2)第12页/共28页 学科网（北京）股份有限公司故填：(0,2)【点睛】本题考查二次函数与三角形的综合问题，难点在于已知信息过少，因此需要假设未知量表示线段以及点的信息，化抽象为形象，相似或全等的证明直角互余、角的互换常作为解题工具 三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.()()313xx=【答案】14x=，20 x=【解析】【分析】先化成一般式，再利用因式
15、分解法求解即可【详解】()()313xx=2433xx+=240 xx=()40 xx=，即40 x=，或者0 x=，14x=，20 x=【点睛】本题考查了解一元二次方程的知识，掌握因式分解法是解答本题的关键 18.如图，线段 AC，BD 相交于点 O，ABCD，ABCD=线段 AC 上的两点 E，F 关于点 O 中心对称求证：BFDE=【答案】证明见解析【解析】【详解】证明：如图，连接 AD，BC ABCD，ABCD=，第13页/共28页 学科网（北京）股份有限公司四边形 ABCD 是平行四边形，BODO=点 E，F 关于点 O 中心对称，OFOE=在BOF 和DOE 中，BODOBOFDO
16、EOFOE=()SASBOFDOE，BFDE=19.如图，一次函数 ykxb=+与反比例函数myx=的图象交于(),3A n，()3,2B 两点 （1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）过点 A 作 ACy轴，垂足为 C，求 ABC的面积ABCS【答案】（1）6yx=，1yx=+（2）5【解析】【分析】（1）把 B 的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把 A 的坐标代入反比例函数的解析式，求出 A 的坐标，把 A、B 的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）根据一次函数确定1OD=，3OC=，结合图形，计算三角形面积即可【小问 1 详解】解：点()3,2B
17、）在myx=的图像上，6m=，反比例函数的解析式为：6yx=，第14页/共28页 学科网（北京）股份有限公司623n=()2,3A，点(2,3)A、()3,2B 在 ykxb=+的图像上，2332kbkb+=+=，解得：11kb=一次函数的解析式为：1yx=+；【小问 2 详解】一次函数的解析式为：1yx=+，当0 x=时，1y=，点()0,1D，1OD=，ACy轴，(2,3)A，()0,3C，3OC=，2CDOCOD=，以CD 为底，则CD 边上的高为325+=，12 552ABCS=【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的
18、应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中 20.在 2024 年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装第15页/共28页 学科网（北京）股份有限公司饰，如图 1 所示，他在会场的两墙 AB、CD 之间悬挂一条近似抛物线2435yaxx=+的彩带，如图 2所示，已知墙 AB 与CD 等高，且 AB、CD 之间的水平距离 BD 为 8 米 （1）如图 2，两墙 AB、CD 的高度是_米，抛物线的顶点坐标为_；（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点 M 处用一根细线吊在天花板上，如图 3 所示，使得点 M 到墙 AB 距离为 3 米，
19、使抛物线1F 的最低点距墙 AB 的距离为 2 米，离地面 2 米，求点 M 到地面的距离【答案】（1）3，()4,1.4 （2）2.25 米【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函数一般式化为顶点式等知识，（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；（2）由待定系数法求出函数表达式，当3x=时，21(2)22.254yx=+=，即可求解；解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点式可以求得函数的最值【小问 1 详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为4x=，则45422bxaa=，解得：0.1a=，抛物线的表达式
20、为0.10.83yxx=+，点()0,3A，即3ABCD=（米），当4x=时，0.10.831.4yxx=+=，即顶点坐标为()4,1.4，故答案为：3，()4,1.4；【小问 2 详解】解：设抛物线的表达式为2(2)2ya x=+，第16页/共28页 学科网（北京）股份有限公司将点 A 的坐标代入上式得23(02)2a=+，解得14a=，抛物线的表达式为21(2)24yx=+，当3x=时，21(2)22.254yx=+=（米），点 M 到地面的距离为 2.25 米 21.如图 1，滹沱河是山西地区一条途经了舟山和太行山的知名河流，这条河流的流域面积达到了2.73万平方公里，其发源地处于山西省
21、繁峙县泰戏山桥儿沟村，这条河流早在山海经中就有出现过，被叫做为虔池为了估算河流的宽度，我们在河的对岸选定一个目标 P，在近岸取点 A 和C，使点 P、A、C共线且与河垂直，接着在过点C 且与直线 PC 垂直的直线上选择适当的点 D，确定 PD 与过点 A 且与 PC垂直的直线交点 B 测得50mAC=，120m=CD，80mAB=，请根据这些数据求河的宽度 PA 【答案】100m【解析】【分析】根据题意证明PABPCD，再由相似三角形的性质，即可求解【详解】解：,BAPC CDPC，ABCD，PABPCD，PAABPCCD=，即PAABPAACCD=+，8050120PAPA=+，解得：100
22、PA=，答：PA 的长为100m 第17页/共28页 学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键 22.如图，Rt ABC中，90ACB=，点 D 在边 BC 上，以CD 为直径的O与直线 AB 相切于点 E，连接OA，且OAOB=连接CE 交OA于点 F （1）求证：2ABAC=（2）若3AC=，求线段OCCF，的长【答案】（1）见解析 （2）1OC=、32CF=【解析】【分析】（1）连接OE，由切线得性质得：90AEOBEO=，再证明 AC 与O相切于点 C，则AEAC=，再证 Rt AEORt BEO，得 AEBE=，则2AB
23、AE=，即可得答案；（2）先求出 BC 的值，由 1122AOBAB OEOB ACS=，求出1OC=，再证明OA 垂直平分CE，则111222ACOEOA CEAC OCAE OES=+=四边形，求出CE 的长，即可得答案【小问 1 详解】解：如下图，连接OE，AB与O相切于点 E，ABOE，90AEOBEO ，90ACB=，ACOC，OC是O的半径，ACOC，第18页/共28页 学科网（北京）股份有限公司AC与O相切于点 C，AEAC=，在 Rt AEO和 Rt BEO中，OAOBOEOE=，Rt AEORt BEO，AEBE=，2ABAE=，2ABAC=；【小问 2 详解】3AC=，22
24、 3ABAC=，()()22222 333BCABAC=，3OAOBOC，1122AOBAB OEOB ACS=，且OEOC=，()112 33 322OCOC=，解得：1OC=，1,2OEOAOBBCOC，AEACOEOC=，点 O、点 A 都在线段CE 的垂直平分线上，OA垂直平分CE，111222ACOEOA CEAC OCAE OES=+=四边形，11123 13 1222CE=+，3CE=，1322CFCE=，线段OC，CF 的长分别是 1、32【点睛】此题考查了切线的判定与性质、切线长定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段的垂直第19页/共28页 学科网（北京）股份有限公司平
25、分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键 23.（1）把长为a 的线段任意分成 3 条线段，求这 3 条线段能够构成一个三角形的 3 条边的概率（2）据统计，2008 年底该市汽车拥有量为 75 万辆，而截止到 2010 年底，该市的汽车拥有量已达 108 万辆为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到 2012 年底全市汽车拥有量不超过125.48 万辆；且从 2011 年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从 2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求 2
26、008 年底至 2010 年底该市汽车拥有量的年平均增长率【答案】（1）14；（2）该市每年新增汽车数量最多不能超过 20 万辆；2008 年底至 2010 年底该市拥有量年平均增长率为 20%【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可；（2）设 2008 年底至 2010 年底该市拥有量的年平均增长率为 x，设从 2011 年初起每年新增汽车数量为 y 万辆，然后根据题意列出一元二次方程和一元一次不等式方程并求解即可【详解】解：（1）设其中两条线段的长为 xy，则第 3 条线段的长为()axy+，于是 xy，的取值范围是：0 ,0 ,0 ,0 ,0-(+)0+.x ax ay ay a
27、a x yax y a 要使 3 条线段构成一个三角形的 3 条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和这等价于每条线段的长度都小于 2a，即 0,0,220,0,220-(+)+）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 左侧点B 的坐标为()1 0，3OCOB=（1）求抛物线的解析式；第21页/共28页 学科网（北京）股份有限公司（2）若点 M 是抛物线上的动点，当 A、C 两点到直线 BM 的距离相等时，求直线 BM 的解析式；（3）已知点 D、F 在抛物线上，点 D 的横坐标为 m ()31m ，点 F 的横坐标为1m+过点 D 作
28、x轴的垂线交直线 AC 于点 M，过点 F 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 N 如图 2，连接 DF，求四边形 DFNM 的最大值及此时点 D 的坐标；如图 3 连接 AD 和 FC，试探究ADM与 CFN的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由【答案】（1）223yxx=+（2）1yx=+或3355yx=（3）最大为 2，点 D 坐标为()23，；是，2【解析】【分析】（1）由题意知，()03C，将()1 0B，()03C，代入2yxbxc=+，计算求解bc，的值，进而可得解析式；（2）由题意知，当 BMAC时，当 BM 过 AC、中点时，A、C 两点到直线 BM 的距
29、离相等，当BMAC时，()3 0A ，待定系数法求直线 AC 的解析式为3yx=，则直线 BM 的解析式为yxd=+，待定系数法求解即可；当 BM 过 AC、中点时，由题意知，AC、中点坐标为3322，设直线 BM 的解析式为 yexf=+，待定系数法求解即可；（3）由题意知，()223D mmm+，()3M mm，()()()211213F mmm+，()()113N mm+，则23DMmm=，()()2131FNmm=+，则()()22212DFNMDMNFSm+=+四边形，根据二次函数的性质求最值，然后求 D 点坐标即可；由题意知，()()30122ADMCFNDMmNFmSS+=+2=
30、，然后作答即可【小问 1 详解】解：由题意知，33OCOB=，()03C，第22页/共28页 学科网（北京）股份有限公司将()1 0B，()03C，代入2yxbxc=+得，103bcc+=，解得，23bc=，223yxx=+；【小问 2 详解】解：由题意知，当 BMAC时，当 BM 过 AC、中点时，A、C 两点到直线 BM 的距离相等，当 BMAC时，当0y=时，2230 xx+=，解得，3x=或1x=，()3 0A ，设直线 AC 的解析式为 ykxb=+，将()3 0A ，()03C，代入得，303kbb+=，解得，13kb=，直线 AC 的解析式为3yx=，设直线 BM 的解析式为 y
31、xd=+，将()1 0B，代入得，10d+=，解得，1d=，直线 BM 的解析式为1yx=+；当 BM 过 AC、中点时，由题意知，AC、中点坐标为3322，设直线 BM 的解析式为 yexf=+，将3322，()1 0B，代入得，33220efef+=+=，第23页/共28页 学科网（北京）股份有限公司解得，3535ef=，直线 BM 的解析式为3355yx=，综上所述，直线 BM 的解析式为1yx=+或3355yx=；【小问 3 详解】解：由题意知，()223D mmm+，()3M mm，()()()211213F mmm+，()()113N mm+，23DMmm=，()()2131FNm
32、m=+，()()()()222232122131422DFNMDMNFSmmmmmmm+=+=+四边形，10，当2m=时，四边形 DFNM 的面积最大，最大值为 2，()23D，；解：由题意知，()()30122ADMCFNDMmNFmSS+=+()()()()()22131013322mmmmmm+=+2=，ADM与 CFN的面积之和是定值，且定值为 2【点睛】本题考查了待定系数法解二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合等知识熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面
33、积综合是解题的关键 25.如图，ABC和ABD分别位于 AB 两侧，E 为 AD 中点，连接 BE，CE 第24页/共28页 学科网（北京）股份有限公司（1）如图 1，若90,3,4BACABDACABBD=，求CE 的长；（2）如图 2，连接CD 交 AB 于点 F，在CF 上取一点 G 使得 FGAF=若 ACAD=，,60BDBFBDF=猜想 BC 与 BE 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图 3，ABC是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，若4AB=，2BD=，请直接写出当2CEAE取最大值时ACE的面积【答案】（1）29 （2）2BCBE=，证明见解析 （3）243 131
34、7+【解析】【分析】（1）过点 E 作 EFAC，交CA 延长线于 F，证明ABD是等腰直角三角形，求出 AD，同时推出AEF是等腰直角三角形，结合直角三角形斜边中线性质得到2AFEF=，求出CF，利用勾股定理求出CE 即可；（2）延长 BE 至 K，使 EKBE=，作 AHCD于 H，证明BDF是等边三角形，推出 AGF是等边三角形，通过线段关系推出 ABCF=，证明(SAS)AEKDEB，得到 AKBD=，KDBE=，从而得到KABBFC=，再证明(SAS)KABCFB，可得 BKBC=，从而得到2BCBE=；（3）取 AB 的中点O，连接OE，可推出点 E 在以O 为圆心，半径是 1 的
35、圆上运动，在OA上截取12OI=，构造IOEEOA，从而得出12IEAE=，确定当C、I、E 在同一直线上时，2CEAE=最小，进而解IOE，从而进一步求出结果【小问 1 详解】解：如图，过点 E 作 EFAC，交CA 延长线于 F，第25页/共28页 学科网（北京）股份有限公司 90ABD，4ABBD=，ABD是等腰直角三角形，且24 2ADAB=，45BAD=，90CAB=，90BAF=，AEF是等腰直角三角形，E 是 AD 中点，2 2AEDE=，22AEAFEF=，325CFACAF=+=+=，22225229CECFEF=+=+=；【小问 2 详解】2BCBE=，理由如下：如图 2，
36、延长 BE 至 K，使 EKBE=，作 AHCD于 H，第26页/共28页 学科网（北京）股份有限公司,60BDBFBDF=，BDF是等边三角形，60BDFDBF=，DFBF=，60AFG=，FGAF=，AGF是等边三角形，AGAFGF=，GHFH，ACAD=，CHDH=，CGDF=，AFBFGFCG+=+，ABCF=，E 为 AD 中点，AEDE=AEKBED=，(SAS)AEKDEB，AKBD=，KDBE=，18018060120KABDBF=，KABBFC=，()SASKABBFC，BKBC=，2BCBE=；【小问 3 详解】如图 3，取 AB 的中点O，连接OE，第27页/共28页 学
37、科网（北京）股份有限公司E是 AD 的中点，112OEBD=，E点在以O 为圆心，半径是 1 的O上运动，在OA上截取12OI=，12OIOEOEOA=，IOEAOE=，IOEEOA，12EIOEAEOA=，12IEAE=，CEIEIC，当C、I、E 在一条直线上时，()CEIE最大，122()2CEAECEAE=，(2)2CEAECI=最大，如图 4，连接 CO，作 EMAB于 M，第28页/共28页 学科网（北京）股份有限公司EMOC，2412EMOCMIOI=，设 MIx=，4EMx=，在 Rt EOM中，222OMEMOE+=，221()(4)12xx+=，112 1334x+=，212 1334x=（舍去），24 13417EMx+=1()2ACESAIOCEM=+1324 13(2)2217+=+243 1317+=【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关概念和性质，解决问题的关键是构造辅助线及熟悉“阿氏圆”模型
