1、第 3 讲1第 7 级下优秀 A 版教师版四年级暑假加乘原理初步四年级秋季体育比赛中的数学四年级秋季几何计数初步四年级寒假包含与排除四年级春季统筹与最优化结合加乘原理数图形漫画释义知识站牌第三讲几何计数初步第 7 级下优秀 A 版教师版2数学的发明是从计数开始的，那么是谁最早发明计数的呢？结绳计数的发明，相传是老祖先伏羲受到渔网启发而想到的.那时没有人知道什么叫数，也没有人能够计数.伏羲联想到结渔网时绳子上的结头可以分出很多，于是就取来一条软绳，在渔网的绳子上打结以计数.这样的方法很快就被流传开，粗粗细细打满结的绳子就成了一个记录本，不单可以用来记录打鱼的收成，也可以把其它收获的东西一一记录下
2、来.后来人们觉得结绳计数做起来太麻烦，就想到了新办法，在树枝上刻下痕迹.慢慢刻痕计数的方法逐步推广，就形成了今天的图形和文字.今天就让我们一起来学习数图形.1.认识几何中的计数问题，体会到按一定规律去数，可以做到不重复、不遗漏，发展有序思维2.引导学生在按一定规律数的基础上发现数图形的规律3.掌握分类的方法有规律地解答几何中的计数问题4.帮助学生养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步掌握通过观察、思考探寻事物规律的能力本讲我们重点练习各种类型的“数格子”、“数组合图形”，初步学习归纳递推在计数中的应用本讲也是杯赛热点和难点，学生在学习本讲时容易轻敌，错误率很高，因此应该注重通法的学习
3、，强化模型意识.1.在数组合图形时，可以先将其分成若干基本图形，先数基本图形；但注意在把基本图形组合起来的时候，并不是基本图形的简单相加，因为可能会有重复或有新的图形出现2.注意分类、排除法、容斥关系和递归思想在计数中的运用3.基本图形数法总结：数线段的方法一条线段上如果有 n 条基本线段，则线段总数为(1)(2)+nnn 1条.数正方形个数分类讨论，一般分成1 1,22,3 3,44,5 5 课堂引入经典精讲教学目标第 3 讲3第 7 级下优秀 A 版教师版mn型（m 大于 n），正方形个数是：(1)(1)(2)(2)1(1)nmnmnmmn；nn方阵型，正方形个数是：(1)(1)(2)(2
4、)221 1nnnnnn .长方形个数为：长边上的线段数短边上的线段数.1.下图中共有几条线段？【分析】两点确定一条线段，则共有线段432110（条）2.下图中共有几个角？【分析】从一点出发的两条线段确定一个角，则共有角 432110（个）3.下图中共有几个三角形？【分析】三角形的个数与 AB 边上的线段数一样多，也与 C 点处角的个数一样多，所以可按数线段或数角的方法来数，共有432110（个）CBA4.图中共有个不同的三角形知识点回顾第 7 级下优秀 A 版教师版4【分析】只由 1 个小三角形组成的有 6 个；由 2 个小三角形组成的有 3 个；由 3 个小三角形组成的有 6 个；还包括
5、1 个最大的三角形，共有 6+3+6+1=16 个模块一：三角形计数（例 1例 2）模块二：长方形计数（例 3）模块三：正方形计数（例 4例 5）数一数，下图中各有多少个三角形？图 1图 2图 3图 4（学案对应：1）【分析】(1)图中共有 3216个三角形.(2)图中共有(321)212个三角形.(3)增加一条线，多了 6 个，图中共有 12+6=18 个三角形.(4)又增加一条线，多了 4 个，图中共有 18+4=22 个三角形.想想练练：数一数，下图中有多少个三角形？【分析】图中共有（6+5+4+3+2+1）2+9=51 个三角形例 1例题思路第 3 讲5第 7 级下优秀 A 版教师版图
6、中共有个三角形【分析】从图形所包含的小块数的个数来数，包含一块的三角形有 10 个，包含两块的三角形有 10个，包含三块的三角形有 10 个，包含五块三角形有 5 个，所以共有 35 个数一数，下面各图中有多少个长方形？图 1图 2图 3自然界中的几何蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成.组成底盘的菱形的钝角为 109 度 28 分，所有的锐角为 70度 32 分，这样既坚固又省料.蜂房的巢壁厚 0.073 毫米，误差极小.丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形.“人”字形的角度是 110 度.更精确的计算还表明“人”字
7、形夹角的一半即每边与鹤群前进方向的夹角为 54 度 44 分 8 秒，而金刚石结晶体的角度正好也是 54 度 44 分 8 秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案.冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学.因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少.真正的数学“天才”是珊瑚虫.珊瑚虫在自己的身上记下“日历”.它们每年在自己的体壁上“刻画”出 365 条斑纹，显然是一天“画”一条.奇怪的是，古生物学家发现 3 亿 5 千万年前的珊瑚虫每年“画”出 400 幅“水彩画”.天文学
8、家告诉我们，当时地球一天仅 21.9 小时，一年不是 365 天，而是 400 天.例 3例 2第 7 级下优秀 A 版教师版6（学案对应：2）【分析】（1）图中共有 5432115个长方形.（2）图中共有(54321)(21)45 个长方形.（3）图中共有(7654321)(321)(321)(321)58个长方形.想想练练：下图中有个长方形【分析】图中共有(54321)(321)90 个长方形.如图，在 44 的网格中，数一数：(1)图中共有_个 11 的小正方形.(2)图中共有_个 22 的小正方形.(3)图中共有_个 33 的小正方形.(4)图中共有_个正方形.(5)图中共有_个形如的
9、图形.（学案对应：3）【分析】(1)图中共有 44=16 个 11 的小正方形.(2)图中共有 33=9 个 22的小正方形.(3)图中共有 22=4 个 33的小正方形.(4)图中共有 16+9+4+1=30 个正方形.(5)图中共有 242=16 个形如的图形.例 4第 3 讲7第 7 级下优秀 A 版教师版想想练练：下图一共有_个正方形.【分析】图中共有 39 个正方形.33 有 14 个正方形，44有 30 个正方形，两个方阵重合“田字格”有 5 个正方形，所以一共 14+30-5=39 个.如下图在钉子板上有 16 个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用一根绳子在上面围正方形，你可以
10、得到个正方形图（1）图（2）图（3）（学案对应：4）【分析】先看横着的正方形如下图，可以得到 9+4+1=14 个正方形，再看斜着的正方形如下图可以得到 4 个正方形，如下图可以得到 2 个正方形这样一共可以得到 14+4+2=20 个正方形例 5第 7 级下优秀 A 版教师版8由 20 个边长为 1 的小正方形拼成的一个 45的大长方形中有一格有“”，则图中含有“”的所有长方形（含正方形）共有个.【分析】根据鼠标法，左上角共有 6 个点，右下角有 8 个点，所以共有长方形有6848（个）.1.数线段的方法：一条线段上如果有 n 条基本线段，则线段总数为(1)(2)+nnn 1条.3 根火柴棒
11、可以摆成一个小三角形，如图，用很多根火柴棒摆成一个中空的大三角形，已知大三角形最外面每条边都是 15 根火柴棒，摆成这个图形一共需要多少根火柴棒？空【分析】所有的火柴棒共有 3 种方向：“”、“”和“”大三角形最外面每条边都是 15 根火柴棒，最里面每条边都是 12 根火柴棒，中间的火柴棒就从 3 种方向分别计算个数：“”的有 27 根，“”的有 27 根，“”的有 27 根，所以这个图形共需要15 3 123273162根知识点总结杯赛提高第 3 讲9第 7 级下优秀 A 版教师版2.数正方形个数分类讨论，一般分成1 1,22,3 3,44,5 5 mn型（m 大于 n），正方形个数是:(1
12、)(1)(2)(2)1(1)nmnmnmmn.nn方阵型，正方形个数是:(1)(1)(2)(2)221 1nnnnnn .3.长方形个数为:长边上的线段数短边上的线段数.1.数一数右图中有几个三角形.【分析】图中共有 5+4+3+2+1=15 个三角形.2.数一数右图中共有_个三角形【分析】图中共有 6+4+2+1=13 个三角形.3.右图一共有_个正方形.【分析】图中共有 5 5443 3221 155 个正方形.4.右图中共有_个正方形【分析】图中共有 11+5+1=17 个正方形.5.数一数，图中共有_个长方形家庭作业第 7 级下优秀 A 版教师版10【分析】图中共有(654321)(3
13、21)126个长方形.6.下图中共有多少个长方形？【分析】横大长方形内有长方形：(4321)(21)30（个）竖大长方形内有长方形：(4321)(21)30（个）中间重复的长方形有：(21)(21)9（个）故图中共有长方形：3030951（个）【A 版学案 1】如图，AB，CD，EF，MN 互相平行，则图中有_个三角形.FEDCBA【分析】图中共有三角形（1+2+3+4）4=40 个【A 版学案 2】下图中共有个长方形【分析】(54321)(321)(5244)75【A 版学案 3】下图中共有个正方形.A 版学案第 3 讲11第 7 级下优秀 A 版教师版【分析】本题考点主要是：按大小数正方形；图形的包含与排除.所求个数为222222(1234)3(12)280 个【A 版学案 4】图中共有个正方形【分析】5+4+1+5+4+1=20 个
