1、北京航空航天大学附中三维设计2022年高考数学二轮复习：推理与证明本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1给出下列三个类比结论； ；其中正确的个数是( )A0B1C2D3【答案】B2观察式子：，由此可归纳出的式子为( )ABCD【答案】C3下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )A三角形B梯形C平行四边形D矩形【答案】C4为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知
2、加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )A4,6,1,7B7,6,1,4C6,4,1,7D1,6,4,7【答案】C5把1,3,6,10,15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是( )A 27B 28C 29D 30【答案】B6若，则P、Q的大小关系是( )APQBPQCPQD由a的取值确定【答案】C7把下列各题中的“=”全部改成“”，结论仍然成立的是( )A如果，那么；B如果，那么； C如果，且，那
3、么；D如果，那么 【答案】D8已知数列的前项和，而，通过计算，猜想等于( )A B C D 【答案】B9对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：，仿此，若的“分裂数”中有一个是61，则的值是( )A 6B7C 8D 9【答案】C10若为的各位数字之和，如则,记则( )A 3B 5C 8D 11 【答案】B11下列推理所得结论正确的是( )A 由类比得到B 由类比得到C 由类比得到D 由类比得到【答案】C12已知钝角ABC的最长边为2，其余两边的长为、，则集合所表示的平面图形面积等于( )A2B 4CD【答案】C第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分
4、，共20分，把正确答案填在题中横线上)13从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，可猜想得到对任意的正整数n都成立的等式为_ (用n的代数式表示)【答案】n+(n+1)+（3n-2）=(2n-1)214已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），则第80个数对是 。【答案】（2,12）15对于各数互不相等的整数数组 (是不小于2的正整数)，对于任意，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，
5、1）中的逆序数等于 .【答案】416对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.(1）b2+b4+b6+b8=_；(2）记cm为数列bn中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是_.【答案】（1）3；（2）2.三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17设和均为无穷数列(1）若和均为等比数列，试研究：和是否是等比数列？请证明你的结论；若是等比数列，请写出其前项和公式(2）请类比（1），针对等差数列提出相应的真命题（不必证明），并写出相应的等差数列的前
6、项和公式（用首项与公差表示）【答案】（1）设，则设(或）当时，对任意的， （或）恒成立，故为等比数列；当时，证法一：对任意的，不是等比数列证法二：，不是等比数列设，对于任意，是等比数列(2）设，均为等差数列，公差分别为，则：为等差数列；当与至少有一个为0时，是等差数列，若，；若，当与都不为0时，一定不是等差数列18已知,且,求证:与中至少有一个小于2.【答案】假设与都大于或等于2,即, ,故可化为,两式相加,得x+y2, 与已知矛盾.所以假设不成立,即原命题成立.19是否存在a、b、c使得等式122+232+n（n+1）2=（an2+bn+c）。 【答案】假设存在a、b、c使题设的等式成立，这
7、时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+n（n+1）2=记Sn=122+232+n（n+1）2设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10）那么Sk+1=Sk+（k+1）（k+2）2=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）2= (3k2+5k+12k+24）=3（k+1）2+11（k+1）+10也就是说，等式对n=k+1也成立。综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立20已知四边形ABCD是圆内接四边形，直线AC,BD相交于P点，并且设E为AC的中点.求证：【答案】由托勒密定理，得ABCDADBCACBD.因为ABCDAD
8、BC，AEEC，所以有2ABCD2AEBD2ECBD，即有ABCDAEBDECBD.在CED与BAD中，因为ABDECD，ABCDECBD，故CEDBAD，从而有CEDBAD.同理可得ABEDBC，AEBDCB.于是得到AEBDCB180BAD180CEDAED，此即EP平分BED.因此由角平分线定理，得 21请先阅读： (）利用上述想法（或其他方法），结合等式 (，整数），证明：；(）当整数时，求的值；(）当整数时，证明：.【答案】（）在等式两边对x求导，得移项得即(）解：在（*）式中，令得即(）证明：由（）知两边对x求导得在上式中，令得，即22若且，求证和中至少有一个成立。【答案】假设且，则所以 ，即，与题设矛盾。所以假设不成立，原命题成立。
