1、6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时 余弦定理、正弦定理学习目标核心素养1.理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论 逻辑推理2.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明. 逻辑推理3.能应用余弦定理、正弦定理解三角形 数学运算导学 课前自主学习 知识梳理知识点1余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方,等于其它两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍公式表达a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C变形cos A；cos B；cos C.【名师点睛】余弦定理及其变形的应用(1)利用余弦定理的变形判定角在ABC中
2、，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c2a2b2C为锐角(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题已知三边，求三角已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角知识点2解三角形一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 知识点3 正弦定理知识点一正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即.【名师点睛】1.正弦定理的常见变形sin Asin Bsin Cabc；2R；a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sin A，sin B，sin C.2.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的
3、问题：已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角【思考交流】已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？【提示】由余弦定理可知：不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2a2b22abcos C，c唯一，cos B，因为0Bb2c2，则ABC一定为钝角三角形()【答案】(1)(2) (3) 2在ABC中，sin Asin C，则ABC是() A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形【解析】由正弦定理可得sin Asin C，即ac，所以ABC为等腰三角形【答案】B3在ABC中，若A60，B45，BC3，则AC_. 【
4、解析】由正弦定理得：，所以AC2.【答案】24在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c_. 【解析】根据余弦定理c2a2b22abcos C1636246cos 12076，c2.【答案】 24在ABC中，若a2b2bcc2，则A_. 【解析】a2b2bcc2，b2c2a2bc，cos A，又A为ABC的内角，A120. 【答案】120探究 课堂互动研讨 考点1已知三边解三角形【方法点拨】(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例
5、性质，转化为已知三边求解【典例1】已知ABC中，abc2(1)，求ABC的各角的大小【思路点拨】已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解【解析】设a2k，bk，c(1)k(k0)，利用余弦定理，有cosA，A45.同理可得cos B，B60.C180AB75.【变式训练1】在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和sin C. 【解析】acb，A为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A，A120，sin Asin 120.由正弦定理，得：sin C，最大角A为120，sin C.考点2已知两边与一角解三角形【方法点拨】已知两边与一角解三角形的求解
6、策略(1)已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解.(2)若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好.【例2】在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A，角C和边a.【思路点拨】由余弦定理及正弦定理求解即可.【解析】法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，a29a180，得a3或6.当a3时，A30，C120.当a6时，由正弦定理sin
7、A1.A90，C60.法二：由bcsin 303知本题有两解由正弦定理sin C，C60或120，当C60时，A90，由勾股定理a6，当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.【变式训练2】在ABC中，a2，c，B45，解这个三角形. 【解析】根据余弦定理得，b2a2c22accos B(2)2()222()cos 458，b2.又cos A，A60，C180(AB)75.考点3 判断三角形的形状【方法点拨】判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条
8、件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.【例3】在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状. 【思路点拨】【解析】法一：(角化边)(accos B)sin B(bccos A)sin A，由正、余弦定理可得：(a-c)b(b-c)a，整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)0，a2b2c20或a2b2.a2b2c2或ab.故ABC为直角三角形或等腰三角形法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin C
9、cos A)sin A，即sin Ccos Bsin Bsin Ccos Asin A.sin C0，sin Bcos Bsin Acos A.sin 2Bsin 2A.2B2A或2B2A，即AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形【变式训练3】在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状. 【解析】法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角
10、三角形法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得，sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BC90，BC0，BC，ABC是等腰直角三角形素养提升利用正、余定理求三角形的面积【典例】(1)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos
11、Asin Bcos B.求角C的大小；若sin A，求ABC的面积【思路点拨】解题(1)的关键有两个：一是将已知式利用正弦定理转化为边的等式，从而可获得边的关系，再利用余弦定理可获得A的大小；二是结合三角形的面积公式借助均值不等式求得bc的最值，从而得到面积的最值解题(2)的关键是注意角大小的比较，从而得到cos A的值，然后再利用面积公式求解【规范解答】(1)a2，(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，(ab)(sin Asin B)(cb)sin C.由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc.由余弦定理得cos A，A60且b2c24bc，b2c24bc2bc
12、4，当且仅当bc时等号成立bc4，SABCbcsin A，ABC面积的最大值为.(2)由题意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos 2Asin 2Bcos 2B，sin(2A-)sin(2B-).由ab，得AB，又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.由c，sin A，得a.由ac，得AC，从而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以ABC的面积为Sacsin B.【名师点评】利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余
13、弦定理结合求出三角形的其他各量(3)求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过均值不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围反馈 课末达标练习 课时评价作业【基础巩固】1在ABC中，A60，a，则等于() A. B. C. D2【解析】由a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C得2R.【答案】B 2在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，则角A等于() A30B60 C120 D150【解析】(bc)2a2b2c22bca23bc，b2c2a2bc，cos A，A60.【答案】B3在ABC中，a4，A45，B60，则边b的值为()A.1 B21 C2
14、D22【解析】由已知及正弦定理，得，b2 .【答案】C4锐角ABC中，b1，c2，则a的取值范围是() A1a3 B1a5C.a0，即a25，ac2，即a23，a，故a.【答案】C5在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_. 【解析】在ABC中，根据正弦定理，得，所以，解得sin B1.因为B(0，120)，所以B90，所以C30，所以ABC的面积SABCACBCsin C2.【答案】26在ABC中，若sin Asin Bsin C578，则B的大小是_【解析】由正弦定理知：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C设sin A5k，sin B7k，sin C8k，a
15、10Rk，b14Rk，c16Rk，abc578，cos B，B.【答案】7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin Aacos C.(1)求角C的大小；(2)求sin Acos(B+)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小【解析】(1)由正弦定理及已知条件得sin Csin Asin Acos C因为0A0，从而sin Ccos C，则C.(2)由(1)知，BA，于是sin Acos(B+)sin Acos(A)sin Acos A2sin(A+).因为0A，所以A.从而当A，即A时，2sin(A+)取得最大值2.综上所述，sin Acos(B+) 的最大值为2，此时
16、A，B.8在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值. 【解析】(1)由正弦定理得2R，R为ABC外接圆半径又bsin Aacos B，所以2Rsin Bsin A2Rsin Acos B.又sin A0，所以sin Bcos B，所以tan B.又因为0B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac，a24a22a29，解得a，故c2.【能力提升】1在ABC中，A60，a4，b4，则B等于() A45或135 B13
17、5C45 D以上答案都不对【解析】sin B，B45或135.但当B135时，不符合题意，B45，故选C.【答案】C2若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A. B84 C1 D.【解析】由 (ab)2c24，得a2b2c22ab4，由余弦定理得a2b2c22abcos C2abcos 60ab，则ab2ab4，ab.【答案】 A3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca,2sin B3sin C，则cos A的值是_【解析】由2sin B3sin C及正弦定理可得2b3c，由bca可得ac，bc，由余弦定理可得cos
18、A.【答案】4在ABC中，若A120，AB5，BC7，则sin B_.【解析】由正弦定理，得，即sin C.可知C为锐角，cos C.sin Bsin(180120C)sin(60C)sin 60cos Ccos 60sin C.【答案】 5已知方程x2bcos Axacos B0的两根之积等于两根之和，且a，b为ABC的两边，A，B为a，b的对角，试判断ABC的形状. 【解析】设方程的两根为x1，x2，由根与系数关系得x1x2bcos A，x1x2acos B，由题意得bcos Aacos B.由正弦定理得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B，sin Acos Bcos Asin
19、 B0，即sin(AB)0.在ABC中，0A，0B，AB，AB0即AB，ABC为等腰三角形6ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长【解析】(1)SABDABAD sinBAD，SADCACAD sinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD2DC.在ABD和ADC中，由余弦定理知，AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)知AB2AC，所以AC1.7ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长【解析】(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，即2cos Csin(AB)sin C.故2sin Ccos Csin C.又C为ABC的内角，可得cos C，所以C.(2)由已知，absin C.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7.故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.
