1、第2节两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1l2k1k2.特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2斜率都存在,设为k1,k2,则l1l2k1k21,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两条直线垂直.2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系(1)两直线的交点点P的
2、坐标既满足直线l1的方程A1xB1yC10,也满足直线l2的方程A2xB2yC20,即点P的坐标是方程组的解,解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地,两条平行直线l1:AxB
3、yC10,l2:AxByC20间的距离d.4.对称问题(1)点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P(2ax0,2by0).(2)设点P(x0,y0)关于直线ykxb的对称点为P(x,y),则有可求出x,y.1.“直线A1xB1yC10,A2xB2yC20平行”的充要条件是“A1B2A2B1且A1C2A2C1”,“两直线垂直”的充要条件是“A1A2B1B2”0.2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若
4、两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)两直线l1,l2有可能重合.(2)如果l1l2,若l1的斜率k10,则l2的斜率不存在.2.(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3),若点A的坐标为(0,4),则点B的坐标可能是()A.(2,0) B.(0,2) C.(4,6) D.(6,4)答案AC解析设B(x,y),根据题意可得即解得或所以B(2,0)或B(4,6).3.(2020全国卷)点(0,1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A.1 B. C. D.2答案B解析设
5、点A(0,1),直线l:yk(x1),由l恒过定点B(1,0),当ABl时,点A(0,1)到直线yk(x1)的距离最大,最大值为.4.若三条直线y2x,xy3,mx2y50相交于同一点,则m的值为_.答案9解析由得点(1,2)满足方程mx2y50,即m12250,m9.5.(2020上海卷)已知直线l1:xay1,l2:axy1,若l1l2,则l1与l2的距离为_.答案解析直线l1:xay1,l2:axy1,当l1l2时,a210解得a1.当a1时,l1与l2重合,不满足题意;当a1时,l1l2,则l1:xy10,l2:xy10,则l1与l2的距离为d.6.(2022武汉质检)若直线ax4y2
6、0与直线2x5yb0垂直,垂足为(1,c),则abc_.答案4解析直线ax4y20与直线2x5yb0垂直,1,a10,直线ax4y20的方程为5x2y10.将点(1,c)的坐标代入上式可得52c10,解得c2.将点(1,2)的坐标代入方程2x5yb0得25(2)b0,解得b12,abc101224.考点一两直线的平行与垂直1.已知m,nR,则“直线xmy10与nxy10平行”是“mn1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案A解析直线xmy10与直线nxy10平行,则,mn1,充分性成立.而m1,n1时,mn1,但xy10与xy10重合,必要性不成立
7、.2.(2021烟台期末)若直线l1:(k3)x(k4)y10与l2:(k1)x2(k3)y30垂直,则实数k的值是()A.3或3 B.3或4C.3或1 D.1或4答案A解析直线l1:(k3)x(k4)y10,直线l2:(k1)x2(k3)y30互相垂直,(k3)(k1)(k4)2(k3)0,即k290,解得k3或k3.3.经过两条直线2x3y10和x3y40的交点,并且垂直于直线3x4y70的直线方程为_.答案4x3y90解析法一由方程组解得即交点为.因为所求直线与直线3x4y70垂直,所以所求直线的斜率为k.由点斜式得所求直线方程为y,即4x3y90.法二由垂直关系可设所求直线方程为4x3
8、ym0.由方程组可解得交点为,代入4x3ym0得m9,故所求直线方程为4x3y90.法三由题意可设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0,即(2)x(33)y140.又因为所求直线与直线3x4y70垂直,所以3(2)4(33)0,解得2,代入式得所求直线方程为4x3y90.4.(多选)已知直线l1:xmy10,l2:(m2)x3y30,则下列说法正确的是()A.若l1l2,则m1或m3B.若l1l2,则m3C.若l1l2,则mD.若l1l2,则m答案BD解析若l1l2则13m(m2)0,解得m3或m1,当m1时,l1:xy10,l2:xy10,l1与l2重合,m1(舍去),故m3,故B正
9、确;若l1l2,则1(m2)m30,解得m,故C不正确,D正确.感悟提升1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.考点二两直线的交点与距离问题例1 (1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是_.答案解析由方程组解得(若2k10,即k,则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限,解得k.(2)(2022湖州调研)已知点P(4,a)到直线4x3y10的距离不大
10、于3,则a的取值范围是_.答案0,10解析由题意得,点P到直线的距离为.又3,即|153a|15,解得0a10,所以a的取值范围是0,10.(3)若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为,则c的值是_.答案2或6解析由题意得,a4,c2,则6xayc0可化为3x2y0.由两平行线间的距离公式得,即2,解得c2或c6.感悟提升(1)求过两直线交点的直线方程的方法:先求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意:点P(x0,y0)到直线xa的距离d|x0a|,到直线yb的距离d|y0b|;两平行线间的距离公式要把两直线方程中x,y的系数化为相等.训练1 (1)(2021淮南模拟)已知直线kxy2k10与直线2xy20的交点在第一象限,则实数k的取值范围为_.答案解析联立解得x,y(k2).直线kxy2k10与直线2xy20的交点在第一象限,0,且0,解得k|A1B|A1P0|P0B|P0A|P0B|,|PA|PB|P0A|P0B|A1B|.当P点运动到P0时,|PA|PB|取得最小值|A1B|.设点A关于直线l的对称点为A1(x1,y1),解得A1(0,3),(|PA|PB|)min|A1B|.17