1、第2节两条直线的位置关系考试要求1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系(1)两直线的交点点P的
2、坐标既满足直线l1的方程A1xB1yC10，也满足直线l2的方程A2xB2yC20，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.(2)两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxB
3、yC10，l2：AxByC20间的距离d.4.对称问题(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P(2ax0，2by0).(2)设点P(x0，y0)关于直线ykxb的对称点为P(x，y)，则有可求出x，y.1.“直线A1xB1yC10，A2xB2yC20平行”的充要条件是“A1B2A2B1且A1C2A2C1”，“两直线垂直”的充要条件是“A1A2B1B2”0.2.讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若
4、两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1l2，若l1的斜率k10，则l2的斜率不存在.2.(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3，3)，若点A的坐标为(0，4)，则点B的坐标可能是()A.(2，0) B.(0，2) C.(4，6) D.(6，4)答案AC解析设B(x，y)，根据题意可得即解得或所以B(2，0)或B(4，6).3.(2020全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A.1 B. C. D.2答案B解析设
5、点A(0，1)，直线l：yk(x1)，由l恒过定点B(1，0)，当ABl时，点A(0，1)到直线yk(x1)的距离最大，最大值为.4.若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_.答案9解析由得点(1，2)满足方程mx2y50，即m12250，m9.5.(2020上海卷)已知直线l1：xay1，l2：axy1，若l1l2，则l1与l2的距离为_.答案解析直线l1：xay1，l2：axy1，当l1l2时，a210解得a1.当a1时，l1与l2重合，不满足题意；当a1时，l1l2，则l1：xy10，l2：xy10，则l1与l2的距离为d.6.(2022武汉质检)若直线ax4y2
6、0与直线2x5yb0垂直，垂足为(1，c)，则abc_.答案4解析直线ax4y20与直线2x5yb0垂直，1，a10，直线ax4y20的方程为5x2y10.将点(1，c)的坐标代入上式可得52c10，解得c2.将点(1，2)的坐标代入方程2x5yb0得25(2)b0，解得b12，abc101224.考点一两直线的平行与垂直1.已知m，nR，则“直线xmy10与nxy10平行”是“mn1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案A解析直线xmy10与直线nxy10平行，则，mn1，充分性成立.而m1，n1时，mn1，但xy10与xy10重合，必要性不成立
7、.2.(2021烟台期末)若直线l1：(k3)x(k4)y10与l2：(k1)x2(k3)y30垂直，则实数k的值是()A.3或3 B.3或4C.3或1 D.1或4答案A解析直线l1：(k3)x(k4)y10，直线l2：(k1)x2(k3)y30互相垂直，(k3)(k1)(k4)2(k3)0，即k290，解得k3或k3.3.经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为_.答案4x3y90解析法一由方程组解得即交点为.因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以所求直线的斜率为k.由点斜式得所求直线方程为y，即4x3y90.法二由垂直关系可设所求直线方程为4x3
8、ym0.由方程组可解得交点为，代入4x3ym0得m9，故所求直线方程为4x3y90.法三由题意可设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140.又因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以3(2)4(33)0，解得2，代入式得所求直线方程为4x3y90.4.(多选)已知直线l1：xmy10，l2：(m2)x3y30，则下列说法正确的是()A.若l1l2，则m1或m3B.若l1l2，则m3C.若l1l2，则mD.若l1l2，则m答案BD解析若l1l2则13m(m2)0，解得m3或m1，当m1时，l1：xy10，l2：xy10，l1与l2重合，m1(舍去)，故m3，故B正
9、确；若l1l2，则1(m2)m30，解得m，故C不正确，D正确.感悟提升1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.考点二两直线的交点与距离问题例1 (1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_.答案解析由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.(2)(2022湖州调研)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大
10、于3，则a的取值范围是_.答案0，10解析由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0，10.(3)若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则c的值是_.答案2或6解析由题意得，a4，c2，则6xayc0可化为3x2y0.由两平行线间的距离公式得，即2，解得c2或c6.感悟提升(1)求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.训练1 (1)(2021淮南模拟)已知直线kxy2k10与直线2xy20的交点在第一象限，则实数k的取值范围为_.答案解析联立解得x，y(k2).直线kxy2k10与直线2xy20的交点在第一象限，0，且0，解得k|A1B|A1P0|P0B|P0A|P0B|，|PA|PB|P0A|P0B|A1B|.当P点运动到P0时，|PA|PB|取得最小值|A1B|.设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，解得A1(0，3)，(|PA|PB|)min|A1B|.17