1、 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司高三数学高考班第四次统测卷 一、单选题 1已知集合1|0,3xAxxx+=Z，则集合 A 的真子集的个数为（）A16 B15 C32 D31 2已知2.112ln2,lne3abc=，则（）Aacb B abc Ccba Dbac 3已知向量,a b 满足2a=，(1,3)b=，且4a b=，则向量,a b 夹角的余弦值为（）A55 B 2 55 C 105 D 1010 4若等差数列 na的前 5 项和为 75，422aa=，则9a=（）A40 B45 C50 D55 5已知函数()211202320233xxf x
2、x=+，则不等式()()12f xfx+的解集为（）A1,2023+B()2023,+C()()1,1,3+D1,13 6在ABC中，2ABAC=，AD 平分BAC交 BC 于点 D，若2ADDC=，则 AB=（）A2 3 B2 6 C3 D6 7已知函数288,0()24,0 xxxf xxx+=+若互不相等的实根123,x xx 满足()()()123f xf xf x=，则123xxx+的范围是（）A(2,8)B(8,4)C(6,0)D(6,8)8在正三棱锥 PABC 中，O 为ABC 的中心，已知 AB=6，APB=2PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（）A49 B36 C32 D
3、28 二、多选题 9已知复数 z 满足2ii4zz=+，则下列说法中正确的是（）A复数 z 的模为 10 B复数 z 在复平面内所对应的点在第四象限 C复数 z 的共轭复数为 1 3i+D20231i3z=10秋季开学前，某学校要求学生提供由当地社区医疗服务站或家长签字认可的返校前一周（7 天）的体温测试记录，已知小明在一周内每天自测的体温（单位：C）依次为36.0,36.2,36.1,36.4,36.3,36.1,36.3，则该组数据的（）A极差为0.4 C B平均数为36.2 C C中位数为36.1 C D第 75 百分位数为36.3 C 11已知向量(3,1),(cos2,sin 2)m
4、nxx=，函数()f xm n=，则（）A()f x 的最大值为 2 B直线12x=是()f x 图象的一条对称轴 C点 ,03是()f x 图象的一个对称中心 D()f x 在7,12 12上单调递减 12如图在正方体1111ABCDA B C D中，,M N Q 分别是棱1111,D C A D BC 的中点，点 P 是线段1BD 上的动点（不包含端点）则下列说法中一定正确的是（）AMN平面 APC；B存在唯一点 P，使得1C Q 平面 APC；C点 P 到平面 MNQ 的距离为定值；D若 H 为棱1BB 的中点，则四面体11PAC H 的体积为定值.三、填空题 13已知向量(,3),(3
5、,3)amb=，且a b，则m=_.14已知51sin123x=，则2021cos26x=_ 15某部门为了了解一批树苗的生长情况，在 3000 棵树苗中随机抽取 200 棵，统计这 200 棵树苗的高度（单位：cm)，将所得数据分为 7 组：第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 70,80),80,90),90,100),100,110),110,120),120,130),130,140，并绘制了频率分布直方图（如图），根据该图可推测，在这 3000 棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是_棵 16已知奇函数()f x 在(0,1)上单调递减，且()()4f xf x+=，则函
6、数()f x 的解析式可以为()f x=_.（写出一个符合题意的函数即可）四、解答题 17已知10sincos,52 2+=(1)求 tan 的值；(2)求22sinsincos1+的值 18设ABC内角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,已知 sinsinsinsincCbBcaAA=,2b=.(1)求角 B 的大小;(2)若2 63a=,求ABC的面积.19已知等差数列 na满足1231,5aaa=+=(1)求 na的通项公式；(2)设 nb是等比数列，1322,2bbb=，求数列nnab+的前 n 项和nT 20随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧
7、便携工作效率高环保可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对 20172021 年的研发人数作了相关统计，如下图：20172021 年公司的研发人数情况（年份代码 15 分别对应 20172021 年）(1)根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数 y 与年份代码 x 的相关系数r，并由此判断其相关性的强弱；(2)试求出 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 2023 年该公司的研发人数.（结果取整数）参考数据：
8、()52155960iiyy=，139937.4.参考公式：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy=.线性回归方程的斜率()()()121niiiniixxyybxx=，截距aybx=.附：r0,0.25)0.30,0.750.75,1相关性 弱 一般 强 21已知函数2()2sin()cos2 3 cosf xxxx=.(1)求()f x 的最大值；(2)在锐角ABC中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，若()0,4,3f Abc=求BC 边上高 AD 的长.22在四棱锥 PABCD中，PA 平面 ABCD，四边形 ABCD是矩形，1,2ABAPA
9、D E F=分别是 APBC，的中点(1)求证：/EF平面 PCD；(2)求二面角CEFD的余弦值 答案第 1 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司高三数学高考班第四次统测参考答案 1B【分析】先求出不等式的解集确定集合中元素，然后求出真子集的个数即可.【详解】不等式103xx+可化为(1)(3)030 xxx+，解得：13x ，所以集合1|0,|13,1,0,1,23xAxxxxxx+=ZZ 则其真子集的个数为42115=.故选：B.2D【分析】由对数函数与指数函数的单调性求解即可【详解】因为2.10112ln1ln2ln e,lnln1ee3=.故选：D 3C【分析】先由平面向量模
10、的坐标表示求得 b，再利用平面向量数量积与模求得向量a，b 夹角的余弦值.【详解】依题意，设a 与b 夹角为，因为1 910b=+=，2a=，4a b=，所以410cos5210a bab=.故选：C.5D【分析】分析可知函数()f x 为 R 上的偶函数，且该函数在)0,+上单调递增，将所求不等式变形为()()12fxfx+，可得出关于实数 x 的不等式，即可得解.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为 R，答案第 2 页，共 11 页 且()()()221111202320232023202333xxxxfxf xxx=+=+=+，所以，函数()f x 为偶函数，当0 x 时，()
11、()()()222211222023 ln 2023ln20232023ln 202302023202333xxxxxxfxxx=+=+且()fx不恒为零，所以，函数()f x 在)0,+上为增函数，由()()12f xfx+可得()()12fxfx+，则12xx+，可得()2214xx+，整理可得()()3110 xx+，解得113x.故选：D.4B【分析】设等差数列 na的公差为d，根据等差数列前n 项和与基本量1a 和d 的关系将题目条件全部转化为基本量的关系，即可求解.【详解】设等差数列 na的公差为d，根据题意可得()1115 4575232adadad+=+=+，解得15a=，5d
12、=，91845aad=+=.故选：B.6B【分析】由ABCABDACDSSS=+，结合正弦面积公式和角平分线性质，2ABAC=化简易得2cos3ACCAD=，对 ACD由余弦定理可得 AC，进而求得 AB.【详解】因为2ABAC=，AD 平分BAC，2AD=，由ABCABDACDSSS=+，得 111sinsinsin222AB ACCABAC ADCADAB ADBAD=+，即 1 22sincos2AC ACCADCAD11sin2sin22AC ADCADAC ADCAD=+，化简得2cos3ACCAD=在 ACD中，2222cosCDACADAC ADCAD=+，整理得26AC=，答案
13、第 3 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司即6AC=，故22 6ABAC=故选：B 7A【分析】根据函数图象有三个实数根的函数值在()8,4之间，第一段函数关于4x=对称，即可求出238xx+=，再根据图象得到1x 的取值范围，即可得到答案.【详解】根据函数的解析式可得如下图象 若互不相等的实根123,x xx 满足()()()123f xf xf x=，根据图象可得2x 与3x 关于4x=，则238xx+=，当1248x+=时，则16x=是满足题意的1x 的最小值，且1x 满足160 x，则123xxx+的范围是(2,8).故选：A.8A【分析】设侧棱长为 x，由 x 求得APB和
14、PAO的余弦值，利用二倍角公式可求得 x，从而求得棱锥的高AO，设球心为 M，球半径为 R，表示出 MO，然后由勾股定理可求得 R，得球表面积【详解】设侧棱长为 x，且易知2362 332OA=答案第 4 页，共 11 页 则2 3cosOAPAOPAx=，222223618cos2xxxAPBxx+=因为2APBPAO=，则coscos2APBPAO=,所以2222 31821xxx=，解得21x=，所以223OPPAOA=，设球心为 M，则 MP=MA=R，3MOR=，因为222MAMOOA=+，所()()22232 3RR=+，解得72R=，所以表面积2449SR=，故选：A.9AD【分
15、析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.【详解】因为2ii4zz=+，所以(1 i)42iz=+，()()()()2 1 i2i42i1 3i1 i1 i 1 iz+=+，有121310z=+=，故 A 正确；复数 z 在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故 B 错误；复数 z 的共轭复数为1 3iz=，故 C 错误；因为202320231ii3z=，故 D 正确，故选:AD.10ABD【分析】根据极差、平均数、中位数和百分位数的定义判断即可.【详解】体温从低到高依次为36.0,36.1,36.1,36.2,36.3,36.3,36.4，极差为36.436.00.4 C=，故A
16、正确；答案第 5 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司平均数为 3636.236.336.2 C7+=，故 B 正确；中位数为36.2 C，故C 错误；因为7 75%5.25=，所以体温的第 75 百分位数为从小到大排列的第 6 个数，是36.3 C，故 D 正确.故选：ABD.11ACD【分析】根据向量数量积求出()f x 解析式，再根据三角函数正弦函数的性质进行判断即可.【详解】因为()3 cos2sin 22sin 23f xm nxxx=+=+，所以()f x 的最大值为 2，A 正确；因为sin21123+，sin 2033+=，所以 B 错误，C 正确；令 32 22 23
17、2kxk+，k Z，解得 71212kxk+，k Z，所以()f x 的单调递减区间为7,1212kk+，k Z，所以 D 正确.故选：ACD 12BD【分析】对 A，举反例 P 在平面 MNAC 上即可；对 B，根据1/C Q平面 NAC，结合线面平行的判定与性质判断即可；对 C，推导可得1,B D 在平面 MNQ 两侧即可判断；对 D，连接1111,AC D B 交于O，连接OH，根据1/D B平面11AC H 判断即可.【详解】对 A，因为,M N 分别是棱1111,D C A D 的中点，故11/MNAC，所以,M N A C 共面，故当 P 是线段1BD与平面 MNAC 的交点时，/
18、MN平面 APC 不成立，故 A 错误；对 B，因为,N Q 分别是棱11,A D BC 的中点，易得1111,ND CNA A QBA QCC均全等，故11NCNAC QAQ=，所以四边形1NC QA 为菱形，故1/NAC Q.又 NA 平面 NAC，1C Q 平面 NAC，故1/C Q平面 NAC.答案第 6 页，共 11 页 又因为11/A DBC，连接1,NC D B 交于 P，此时1/C Q平面 APC；当 P 不为1,NC D B 交点时，1C Q 与平面 APC不平行，故 B 正确；对 C，取 AB 中点 R，由 A 可得11/MNAC，同理/RQAC，又11/ACAC，故/MN
19、RQ.故平面 MNQ 即平面 MNRQ，易得1,D B 在平面 MNRQ 两侧，故点 P 到平面 MNQ 的距离不为定值，故 C 正确；对 D，连接1111,AC D B 交于O，连接OH.因为,O H 为111,D B BB 中点，故1/OHD B，OH 平面11AC H，1D B 平面11AC H，故1/D B平面11AC H，故 P 到平面11AC H 的距离为定值，故四面体11PAC H的体积为定值，故 D 正确；故选：BD 13 1 答案第 7 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据向量平行列出方程，求出 m 的值.【详解】由题意得：2330m=，解得：1m=.故答
20、案为：-1 14 79 【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【详解】51sin123x=20215cos2cos 336266xx=+555cos2cos 2cos 26612xxx=2251712sin121239x=.15600【分析】根据频率分布直方图的性质求出0.012a=，再求出在这 3000 棵树苗中高度小于100cm 的频率，然后根据频数=样本容量频率可求出结果.【详解】根据频率分布直方图可知，(0.0020.0060.0240.0280.0200.008)101a+=，得0.012a=，所以在这 3000 棵树苗中高度小于100cm 的频率为(0.0020.0060.
21、012)100.02+=，所以在这 3000 棵树苗中高度小于100cm 的树苗棵数是3000 0.02600=棵.16 sin()2 x（答案不唯一）【分析】根据正弦函数的周期和单调性的性质，直接写出符合题意的解析式即可.【详解】因为()4()f xf x+=，所以奇函数()f x 的周期为 4，所以可得()sin2f xx=，01x 时，022x，可知此时()f x 在(0,1)上单调递减.故答案为：sin()2 x 17（1）因为()22sincos12sincos5+=+=，故32sincos5=则()238sincos1 2sincos155=+=又,2 2a ，且sin cos0，
22、则,0,sin0cos2 故82 10sincos55=答案第 8 页，共 11 页 又10sincos5+=，二者联立解得：，3 1010sin,cos1010=，故sintan3cos=（2）22222sinsincos2sinsincos11sincos+=+222tantan183111tan19 12+=+18（1）sinsinsinsincCbBcaAA=,22cbcaaa=,222acacb+=,1cos2B=,又()0,B,故3B=.（2）由正弦定理得:sinsinabAB=即2 623sin32A=,所以2sin2A=,又203A，所以 y 与 x 具有很强的线性相关关系，且
23、为正相关.（2）()()()2515173273.210iiiiixxyybxx=，所以32073.2 3100.4aybx=，所以73.2100.4ybxax=+=+.由题意知，2023 年对应的年份代码7x=，当7x=时，73.2 7100.4612.8ybxa=+=+=，故预测 2023 年该公司的研发人数约为 613 人.21（1）由题意可得：21 cos2()2sin()cos2 3 cos2sin cos2 32xf xxxxxx+=sin 23 cos232sin 233xxx=，故当22,32xkk=+Z，即5,12xkk=+Z 时，()f x 取到最大值23.（2）由题意可得
24、：()2sin 2303f AA=，即3sin 223A=，0,2A，则 22,333A ，233A=，则3A=，在 ABC中，由2222212cos43243132abcbcA=+=+=，可得13a=，又 11sin22bcAADa=，即 1314 313222 AD =，答案第 10 页，共 11 页 6 3913AD=，故 BC 边上高 AD 的长为 6 3913.22（1）证明：取 DP的中点G，连接 EG，CG，又 E 是 AP 的中点，所以 EGAD，且12EGAD 因为四边形 ABCD是矩形，所以 BCAD=且/BCAD，所以12EGBC=，且/EGBC 因为 F 是 BC 的中
25、点，所以12CFBC=，所以 EGCF=且/EGCF，所以四边形 EFCG 是平行四边形，故/EFCG 因为 EF 平面 PCD，CG 平面 PCD，所以/EF平面 PCD （2）因为 PA 平面 ABCD，四边形 ABCD是矩形，所以 AB，AD，AP 两两垂直，以点 A 为坐标原点，直线 AB，AD，AP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示）设122ABAPAD=，所以2ABAP=，4ADBC=因为 E，F 分别为 AP，BC 的中点，所以()2,4,0C，()0,4,0D，()0,0,1E，()2,2,0F 所以()2,2,1EF=，()2,2,0DF=，()0,2,0CF=设平面CEF 的一个法向量为()111,mx y z=，答案第 11 页，共 11 页 学科网（北京）股份有限公司由0,0,m EFm CF=即1111220,20.xyzy+=令11x=，则12z=，10y=，所以()1,0,2m=设平面 DEF 的一个法向量为()222,nxy z=，由0,0,n EFn DF=即22222220,220.xyzxy+=令21x=，则21y=，24z=，所以()1,1,4n=所以93 10cos,10518m nm nmn=由图知二面角CEFD为锐角，所以二面角CEFD的余弦值为 3 1010
