1、第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数yax与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数.1.对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1).(2)对数的运算性质如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlog
2、aN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR).(3)换底公式：logab(a0，且a1，b0，c0，且c1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数4.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称.它们的定义域和值域正好互换.1.换底公式的两个重要结论(1)logab(a0，且a1；b0，且b1).(2)loga
3、mbnlogab(a0，且a1；b0；m，nR，且m0).2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)log2x22log2x.()(2)函数ylog2(x1)是对数函数.()(3)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.()(4)当x1时，若logaxlogbx，则ab.()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)log2x22log2|x|，故(1)错误.(2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2
4、)错误.(4)若0b1a，则当x1时，logaxlogbx，故(4)错误.2.log29log342log510log50.25()A.0 B.2 C.4 D.6答案D解析原式2log23(2log32)log5(1020.25)4log525426.3.(2020全国卷)设alog342，则4a()A. B. C. D.答案B解析法一因为alog342，所以log34a2，则4a329，所以4a.法二因为alog342，所以a2log43log432log49，所以4a4log494log49191.4.(2021新高考卷)已知alog52，blog83，c，则下列判断正确的是()A.cba
5、 B.bacC.acb D.abc答案C解析alog52log5log82log83b，即ac0，且a1)的图象恒过的定点是_.答案(2，2)解析当x2时，函数yloga(x1)2(a0，且a1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).6.(易错题)已知函数f(x)loga(2xa)在区间上恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_.答案解析由题意得或解得a1.考点一对数的运算1.设2a5bm，且2，则m等于()A. B.10 C.20 D.100答案A解析由已知，得alog2m，blog5m，则logm2logm5logm102.解得m.2.计算：_.答案1解析原式1.3.已知ab1，若logab
6、logba，abba，则a_，b_.答案42解析设logb at，则t1，因为t，所以t2，则ab2.又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又ab1，解得b2，a4.4.(多选)(2022北京石景山区调研)在通信技术领域中，香农公式CWlog2是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：lg 50.699 0)()A.若不改变信噪比，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍B.若不改变信道带宽W和信道内所传信号的
7、平均功率S，而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍C.若不改变信道带宽W，而将信噪比从255提升至1 023，则C增加了25%D.若不改变信道带宽W，而将信噪比从999提升至4 999，则C大约增加了23.3%答案ACD解析A正确；对于B，因为Wlog2Wlog22Wlog2，所以B错误；对于C，若将信噪比从255提升至1 023，则111，所以C增加了25%，所以C正确；对于D，若将信噪比从999提升至4 999，则11110.233，所以D正确.感悟提升1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并
8、.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用例1 (1)(多选)(2021重庆一模)a，b，cR，且b0，若ealn b，则a，b，c的大小关系可以是()A.abc B.bcaC.cab D.acb答案ACD解析设ealn bm，如图，在同一坐标系中画出函数yex，yln x，y的图象，当直线ym与三者都相交时，交点的横坐标即为a，b，c的值，由图知，当m从大到小时，依次出现cab、acb、abc.故选ACD
9、.(2)已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_.答案(1，)解析如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线yxa在y轴上的截距.由图可知，当a1时，直线yxa与yf(x)只有一个交点.(3)已知函数f(x)|log2x|，实数a，b满足0ab，且f(a)f(b)，若f(x)在a2，b上的最大值为2，则b_.答案4解析f(x)|log2x|，f(x)的图象如图所示，又f(a)f(b)且0ab，0a1，b1且ab1，a2a，由图知，f(x)maxf(a2)|log2a2|2log2a2，a，b2，b4.感悟提升1.在识别函数图
10、象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.训练1 (1)图中曲线是对数函数ylogax的图象，已知a取，四个值，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为()A.， B.，C.， D.，答案A解析作直线y1，由logax1得xa，则对应C1，C2，C3，C4的a值依次为，.(2)当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的取值范围是()A.(0，1) B.(1，2)C.(1，2 D.答案C解析设f1(x)(x1)2，f2(x)logax，
11、要使当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需在区间(1，2)上，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象的下方即可.当0a1时，显然不成立.当a1时，如图所示，要使在区间(1，2)上，f1(x)(x1)2的图象在f2(x)logax的图象的下方，只需f1(2)f2(2)，即(21)2loga2，所以loga21，解得1a2.考点三对数函数的性质及应用角度1比较大小例2 (1)设alog412，blog515，clog618，则()A.abc B.bcaC.acb D.cba答案A解析a1log43，b1log53，c1log63，log43log53log63，a
12、bc.(2)(2021天津卷)设alog2 0.3，blog0.4，c0.40.3，则a，b，c的大小关系为()A.abc B.cab C.bca D.acb答案D解析log20.3log210，a0.log0.4log20.4log2log221，b1.00.40.30.401，0c1，acb.角度2解对数不等式例3 (2022湖州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x5)f(log38)的解集为_.答案解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0上单调递减，所以可将f(log(2x5)f(log38)化为|log(2x5)|
13、log38|，即log3(2x5)log38或log3(2x5)log38log3，即2x58或02x5，解得x或x.角度3对数函数性质的综合应用例4 (1)(多选)已知函数f(x)ln ，下列说法正确的是()A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)在上单调递减D.f(x)的值域为(，0)(0，)答案ACD解析f(x)ln，令0，解得x或x，f(x)的定义域为，又f(x)ln ln lnln f(x)，f(x)为奇函数，故A正确，B错误.又f(x)ln ln，令t1，t0且t1，yln t，又t1在上单调递减，且yln t为增函数，f(x)在上单调递减，故C正确；yln t的值域是
14、(，0)(0，)，故D正确.(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则a的取值范围为()A.1，2) B.1，2C.1，) D.2，)答案A解析令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2，对称轴为xa，要使函数在(，1上递减，则有即解得1a2，即a1，2).感悟提升利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.训练2 (1)(2022济南调研)
15、已知alog3，b30.7，csin 3，则()A.abc B.bacC.acb D.bca答案D解析因为log3log310，所以a0，因为30.7301，所以b1，因为3，所以0sin 31，即0c1，所以bca.(2)(多选)已知函数f(x)ln xln(2x)，则()A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上的最大值为0C.f(x)的图象关于直线x1对称D.f(x)的图象关于点(1，0)对称答案BC解析f(x)ln xln(2x)，定义域为(0，2)，f(x)lnx(2x)ln(x22x)，令tx22x，yln t，tx22x，x(0，2)，在(0，1)上单调递增，在
16、(1，2)上单调递减，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A不正确；f(x)maxf(1)0，故B正确；f(1x)ln(1x)ln(1x)，f(1x)ln(1x)ln(1x)，f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，故C正确，D不正确.1.已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()A.abc B.acbC.cab D.bca答案B解析由对数函数的单调性可得alog20.2201，0c0.20.30.201，所以ac0，得x5.令tx24x5，则函数tx24x5在(，1)单调递减，在(5，)单调递增，函数ylg t为增函数，故要使函数f(x)lg
17、(x24x5)在(a，)单调递增，则有(a，)(5，)，即a5.5.已知lg alg b0，则函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图象可能是()答案C解析由lg alg b0，得ab1.f(x)axbx，因此f(x)bx与g(x)logbx单调性相同.A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.6.(多选)(2021临沂期末)若10a4，10b25，则()A.ab2 B.ba1C.ab8lg22 D.balg 6答案ACD解析由10a4，10b25，得alg 4，blg 25，则ablg 4lg 25lg 1002，故A正确；balg 25lg 4lg lg 6且lg 1，故B
18、错误，D正确；ablg 4lg 254lg 2lg 54lg 2lg 48lg22，故C正确.故选ACD.7.若log43mlog23，则log m_.答案2解析log43log23，m，log m2.8.已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围是_.答案解析当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1在区间1，2上恒成立，则f(x)minf(2)loga(82a)1，即82aa，且82a0，解得1a.当0a1在区间1，2上恒成立，知f(x)minf(1)loga(8a)1，且82a0.8a0，此时解集为.
19、综上可知，实数a的取值范围是.9.设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是_.答案(0，1)解析由题意知，在(0，10)上，函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点(如图)，ab1，0cm)，使得f(x)在m，n上的值域为m，n，那么就称yf(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)loga(a2xt)(a0且a1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析因为g(x)loga(a2xt)是定义在R上的“成功函数”，所以g(x)为增函数，且g(x)在m，n上的值域为m，n，故g(m)m，g(n)
20、n，即g(x)x有两个不相同的实数根.又loga(a2xt)x，即a2xaxt0.令sax，s0，即s2st0有两个不同的正数根，可得解得0t.13.(2021北京卷)已知f(x)|lg x|kx2，给出下列四个结论：(1)若k0，则f(x)有两个零点；(2)k0，使得f(x)有一个零点；(3)k0，使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是_.答案(1)(2)(4)解析零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析.令f(x)|lg x|kx20，可转化成两个函数y1|lg x|，y2kx2的图象的交点个数问题.对于(1)，当k0时，y22与y1|lg x|的图象有两个交点，(1)正确；
21、对于(2)，存在k0，使y2kx2与y1|lg x|的图象相切，(2)正确；对于(3)，若k0时，过点(0，2)存在函数g(x)lg x(x1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.14.已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1)当x1，4时，求函数h(x)f(x)1g(x)的值域；(2)如果对任意的x1，4，不等式f(x2)f()kg(x)恒成立，求实数k的取值范围.解(1)h(x)(42log2x)log2x22(log2x1)2.因为x1，4，所以log2x0，2，故函数h(x)的值域为0，2.(2)由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x，令tlog2x，因为x1，4，所以tlog2x0，2，所以(34t)(3t)kt对一切t0，2恒成立，当t0时，kR；当t(0，2时，k恒成立，即k4t15，因为4t12，当且仅当4t，即t时取等号，所以4t15的最小值为3.所以k3.综上，实数k的取值范围为(，3).
