1、高考资源网（） 您身边的高考专家习题课等差数列习题课课后篇巩固提升必备知识基础练1.在等差数列an中,已知a1=,a1+a6=4,an=37,则n等于()A.50B.49C.56D.51答案C解析设公差为d,因为a1+a6=2a1+5d=4,a1=,所以d=,所以an=+(n-1)=37,所以n=56.2.(2021湖北高三二模)设等差数列an的前n项和为Sn,若S10=20,S20=30,则S30=()A.20B.30C.40D.50答案B解析由等差数列an的前n项和的性质可得,S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列,2(S20-S10)=S10+(S30-S20),2(30-2
2、0)=20+S30-30,解得S30=30.3.已知数列an满足a1=33,=2,则的最小值为()A.10B.10.5C.9D.8答案B4.(2021浙江高二单元测试)设数列an(nN*)是公差为d的等差数列,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.dS6D.S6与S7均为Sn的最大值答案C解析由于S5S8,所以S6-S5=a60,S7-S6=a7=0,S8-S7=a80,所以d0,a7=0,S6与S7均为Sn的最大值.而S9-S6=a7+a8+a9=3a80,所以S9S6,所以C选项错误.故选C.5.(2020黑龙江铁人中学高三)九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:
3、“今有五人分五钱,令上两人所得与下三人等.问各得几何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种质量单位)这个问题中,戊所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱答案B解析依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等,即a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得a=-6d.又五人分五钱,则a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,a=1,则a+2d=a+2-=.故选B.6.(20
4、20全国,文14)记Sn为等差数列an的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.答案25解析设等差数列an的公差为d.a1=-2,a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.S10=10a1+d=-20+45=25.7.在等差数列an中,若a10,Sn为其前n项之和,且S7=S17,则当Sn为最小时,n的值为.答案12解析由S7=S17,知a8+a9+a17=0,根据等差数列的性质,a8+a17=a9+a16=a12+a13,因此a12+a13=0,从而a120,故n为12.8.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1为整数,a2=-13,SnS8,则
5、数列an的通项公式为an=.答案2n-17解析设等差数列an的公差为d,则a1=a2-d=-13-d,d为整数,所以Sn=na1+d=(-13-d)n+d=n2-13+n,由SnS8,结合二次函数的图像与性质可得d0,-,解得d,所以d=2,所以an=a2+(n-2)d=-13+2(n-2)=2n-17.9.已知在等差数列an中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n项和为Sn.(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值时n的值;(2)求Tn=|a1|+|a2|+|an|.解(1)a16+a17+a18=a9=-18,a17=-6.又a9=-18,公差d=.首项a1=a9-8d=-30.a
6、n=n-.设前n项和为Sk最小,则即k=20或21.故当n=20或21时,Sn取最小值.最小值为S20=S21=-315.(2)由an=n-0,得n21.当n21时,Tn=-Sn=(41n-n2).当n21时,Tn=-a1-a2-a21+a22+an=Sn-2S21=(n2-41n)+630.10.已知各项都不相等的等差数列an的前6项和为60,且满足=a1a21.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn+1-bn=an(nN+),且b1=3,求数列的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d(d0),则解得则an=2n+3.(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an
7、-1(n2,nN+),bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),bn=n(n+2),nN+.Tn=.关键能力提升练11.(多选)已知数列an是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有()A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=0答案AB解析因为an是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确;又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确;当d0时,则S9或
8、S10最小,当d0),则有(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=100,故a=20,d=,则最小的一份为a-2d=20-.13.已知数列an的前n项和Sn=n2+n+3(nN*),则下列结论正确的是()A.数列an是等差数列B.数列an是递增数列C.a1,a5,a9成等差数列D.S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列答案D解析当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+3-(n-1)2+(n-1)+3=n+;当n=1时,a1=S1=,不满足上式,数列an不是等差数列.a2=a1=,因此数列an不是递增数列.2a5-a1-a9=25+-9+=-
9、30,因此a1,a5,a9不成等差数列.S6-S3=(4+5+6)+3=,S9-S6=(7+8+9)+3=,S12-S9=(10+11+12)+3=,=0,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列.故选D.14.“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列称为等和数列,这个常数称为该数列的公和.已知数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,则a18的值为.答案3解析由题意可得an+an+1=5,an+1+an+2=5.an+2-an=0.a1=2,a2=5-a1=3.当n为偶数时,an=3;当n为奇数时,an=2.a18=3.15.(2020
10、山东,14)将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为.答案3n2-2n解析数列2n-1的项均为奇数,数列3n-2的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然3n-2中的所有奇数均能在2n-1中找到,所以2n-1与3n-2的所有公共项就是3n-2的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列an为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以an的前n项和为n1+6=3n2-2n.16.设数列an的前n项和为Sn,a1=1,an=+2(n-1),nN+.(1)求数列an的通项公式an.(2)是否存在正整数n,使得+-(n-1)2=2 021?若存在,求出n值;若不存
11、在,请说明理由.解(1)由an=+2(n-1),得Sn=nan-2(n-1)n.当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-2(n-1)n-(n-1)an-1+2(n-2)(n-1),整理,得an-an-1=4,则an为a1=1,d=4的等差数列,所以an=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得Sn=n4n-3-2(n-1)=(2n-1)n,得=2n-1,得+=n2.令n2-(n-1)2=2 021,解得n=1 011.因此存在n=1 011满足题意.17.一支车队有15辆车,某天依次出发执行任务.第1辆车于下午2时出发,第2辆车于下午2时10分出发,第3辆车于下午2时20分出发,依此类推
12、.假设所有的司机都连续开车,并且都在下午6时停下休息.(1)到下午6时,最后一辆车行驶了多长时间?(2)如果每辆车的行驶速度都是60 km/h,这支车队当天总共行驶了多少路程?解由题意,知第1辆车在休息之前行驶了240 min,各辆车行驶的时间构成一个等差数列an,其中a1=240,公差d=-10,则an=240-10(n-1)=-10n+250.(1)a15=-1015+250=100,到下午6时,最后一辆车行驶了100 min.(2)这支车队所有车辆行驶的总时间为15=2 550(min)=(h),这支车队当天总共行驶的路程为60=2 550(km).学科素养拔高练18.在bn=,bn=|
13、an-S6|这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.设等差数列an的前n项和为Sn,a4=3a1,S3=15,满足,求数列bn的前n项和Tn.解因为a4=3a1,S3=15,所以a1+3d=3a1,3a1+3d=15,即a1=3,d=2.所以an=2n+1,Sn=n(n+2).若选bn=,则bn=.所以Tn=b1+b2+b3+bn=1-+=.若选bn=|an-S6|,则bn=|2n-47|=所以当n23时,bn=47-2n.Tn=b1+b2+bn=46n-n2;当n24时,bn=2n-47,Tn=(b1+b2+b23)+b24+bn=n2-46n+1 058.所以Tn=- 5 - 版权所有高考资源网
