1、33.1二元一次不等式(组)与平面区域(一)学习目标1.理解二元一次不等式的解、解集概念.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域知识点一二元一次不等式(组)的概念思考对于只含有一个未知数的不等式x6，它的一个解就是能满足不等式的x的一个值，比如x0.那么对于含有两个未知数的不等式xy6，你能类似地举出一个解吗？答案含两个未知数的不等式的一个解，即满足不等式的一组x，y的取值，例如也可写成(0,0)梳理(1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；(2)由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组；(3)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(
2、x，y)称为二元一次不等式(组)的一个解；(4)所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集知识点二二元一次不等式表示的平面区域思考一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间，例如的解集为数轴上的一个区间(如图)那么，在直角坐标系内，二元一次不等式xy6的解集表示什么图形呢？答案二元一次不等式xy6的解是一个有序数对(x，y)，它在平面直角坐标系中对应一个点显然不等式xy6的解不止一个，且这些解不在直线xy6上经探索，以二元一次不等式xy6的解为坐标的点都在直线的左上方；反之，直线左上方点的坐标也满足不等式xy6.因此，在直角坐标系中，不等式xy0(或0(或0)表
3、示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域(4) 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集类型一二元一次不等式解的几何意义例1已知点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是_答案(7,24)解析点(3,1)和(4,6)必有一个是3x2ya0的解，另一个点是3x2ya0的解或即(3321a)0，(a7)(a24)0，解得7a24.反思与感悟对于直线l：AxByC0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1By1C0，则Ax2By2C0，即同侧同号，异侧异号跟踪训练1经过点P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共
4、点，求直线l的斜率k的取值范围解由题意知直线l的斜率存在，设为k.则可设直线l的方程为kxy10，由题意知A，B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有(k1)(2k2)0，所以1k1.类型二二元一次不等式表示的平面区域例2画出不等式x4y4表示的平面区域解先作出边界x4y4，因为这条线上的点都不满足x4y4，所以画成虚线取原点(0,0)，代入x4y4，因为040440，所以原点(0,0)在x4y40表示的平面区域内，所以不等式x4y4表示的平面区域在直线x4y4的左下方所以x4y0表示的平面区域在直线x2y60的()A右上方B右下方C左上方D左下方答案B解析在平面直角坐标系中画出直线x2y60
5、，观察图象知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x2y6，得00660，所以原点(0,0)在不等式x2y60表示的平面区域内，故选B.类型三二元一次不等式(组) 表示的平面区域例3用平面区域表示不等式组的解集解不等式y3x12，即3xy120，表示的平面区域在直线3xy120的左下方；不等式x2y，即x2y0，表示的是直线x2y0左上方的区域取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集引申探究|x|2y|表示什么区域？解|x|2y|等价于x2(2y)2，即(x2y)(x2y)0，即或其表示的平面区域如图阴影部分所示反思与感悟在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不
6、等式表示的区域，再取它们的公共部分即可其步骤：画线；定侧；求“交”；表示但要注意是否包含边界跟踪训练3画出下列不等式组所表示的平面区域(1)(2)解(1)x2y3，即x2y30，表示直线x2y30上及左上方的区域；xy3，即xy30，表示直线xy30上及左下方的区域；x0表示y轴及其右边区域；y0表示x轴及其上方区域综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示(2)xy2，即xy20，表示直线xy20左上方的区域；2xy1，即2xy10，表示直线2xy10上及右上方的区域；xy2表示直线xy2左下方的区域综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示1不在不等式3x2y6表
7、示的平面区域内的一个点是()A(0,0) B(1,1)C(0,2) D(2,0)答案D解析将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x2y2.又阴影部分在直线x0左边，且包含直线x0，故可得不等式x0.由图象可知，第三条边界线过点(2,0)，点(0,3)，故可得直线3x2y60，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分，故可得不等式3x2y60.观察选项可知选C.3已知点(1,2)和点(3，3)在直线3xya0的两侧，则a的取值范围是()A(1,6) B(6,1)C(，1)(6，) D(，6)(1，)答案A解析由题意知，(32a)(93a)0，即
8、(a1)(a6)0，1a2x.解(1)画出直线x2y40，020440，x2y40表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，包括边界(2)画出直线y2x0，02120(即y2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界1对于任意的二元一次不等式AxByC0(或0时，(1)AxByC0表示直线AxByC0上方的区域；(2)AxByC0的点(x，y)所在的平面区域为()答案B解析不等式(xy)(x2y2)0等价于不等式组或不等式组分别画出不等式组和所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.5点A(2，b)不在平面区域2x3y50内，则b的取值范围是
9、()AbBb1CbDb9答案C解析依题意，点A(2，b)满足2x3y50，2(2)3b50，即b.6若点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是()Am1Bm1Cm1答案D解析由2m350，得m1.二、填空题7原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2xya0表示的平面区域内，则a的取值范围为_答案(1,0解析根据题意，分以下两种情况：原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内则无解；原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则1a0.综上所述，1a0.8不等式组表示的平面区域的形状为_答案正方形解析不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界
10、)，为边长为的正方形9下列平面区域所对应的二元一次不等式(组)分别为：(1)(2)(3)(1)_；(2)_；(3)_答案(1)(2)xy1(3)10若点P(m,3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy30表示的平面区域内，则实数m的值为_答案3解析由点P(m,3)到直线4x3y10的距离d4，得m7或m3.又点P在不等式2xy30表示的平面区域内，当m3时，点P的坐标为(3,3)，则2(3)330，不符合题意，舍去综上，m3.三、解答题11画出不等式组表示的平面区域解先画出直线xy50(画成实线)，取原点O(0，0)，代入xy5，因为00550，所以原点在xy50表示的平面区域内
11、，即xy50表示直线xy50上及其右下方的点的集合，同理可得xy0表示直线xy0上及其右上方的点的集合，x3表示直线x3上及其左方的点的集合所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)12在ABC中，A(3，1)，B(1,1)，C(1,3)，写出ABC区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组解如图所示，可求得直线AB、BC、CA的方程分别为x2y10，xy20,2xy50.ABC区域在直线AB右上方，x2y10；ABC区域在直线BC右下方，xy20；ABC区域在直线AC左下方，2xy50.ABC区域可表示为13利用平面区域求不等式组的整数解解把x3代入6x7y50，得y，又y2，整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)；把x4代入6x7y50，得y，整点有(4,2)，(4,3)把x5代入6x7y50，得y，整点有(5,2)；把x6代入6x7y50，得y2，整点有(6,2)；把x7代入6x7y50，得y，与y2矛盾整数解共有7个，为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)
