1、高考资源网（） 您身边的高考专家第11课时本章复习(1) 教学过程一、 知识梳理(一) 数列 1. 数列的概念(1) 从定义角度看:按照一定次序排列的一列数称为数列.(2) 从函数角度看:数列可以看成以正整数集N*或它的有限子集为定义域的函数an=f(n),当自变量按从小到大依次取值时,所对应的一列函数值. 2. 数列的表示(1) 列表法.(2) 图象法(注意图象是一些孤立的点).(3) 通项公式.(4) 递推公式. 3. 数列的分类(1) 按数列项数的多少,可以分为有穷数列和无穷数列.(2) 按数列中相邻两项的大小关系,可以分为单调递增数列、单调递减数列、常数列和摆动数列. 4. 数列的通项
2、an与前n项和Sn之间的关系对于任一数列an,都有an=(二) 等差数列 1. 等差数列的定义若an-=d(其中n2, nN*),则数列an为等差数列. 2. 等差中项如果a, A, b这三个数成等差数列,那么A=.我们把A=叫做a和b的等差中项. 3. 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d. 4. 等差数列的前n项和公式Sn=; Sn=na1+d. 5. 等差数列的性质(1) 在等差数列an中,有an-am=(n-m)d.(2) 在等差数列an中,若m+n=p+q=2s(其中m, n, p, q, sN*),则am+an=ap+aq=2as,也称as为am,an或ap, aq的等差中项
3、.(3) 当d0时,等差数列an为单调递增数列;当d0, q1或a10, 0q0, 0q1或a11时,等比数列an为单调递减数列;当q=1时,等比数列an为常数数列;当q0,且解得d=2, q=2.所以an=2n-1, bn=2n-1.题后反思解决等差、等比数列问题的基本方法是回归到首项、公差(比)来探究.(二) 等差数列、等比数列中累加法与累乘法思想的应用【例2】已知数列满足a1=1, an=3n-1+an-1(n2, nN*).(1) 求a2, a3;(2) 求数列的通项公式.(见学生用书课堂本P38)处理建议本题可先由学生自己求解,教师展示其解题过程,最后将其与等差数列通项公式的推导过程
4、联系起来,并形成结论.规范板书解(1) 因为a1=1,所以a2=3+1=4, a3=32+4=13.(2) 方法一当n2时,an=3n-1+an-1=3n-1+3n-2+an-2=3n-1+3n-2+3+a1=+1=;当n=1时,a1=1也满足上式.所以an=.方法二由题意得an-an-1=3n-1, an-1-an-2=3n-2, an-2-an-3=3n-3, , a2-a1=31,将以上各式相加得an-a1=3n-1+3n-2+3=,所以an=,n2;当n=1时,a1=1也满足上式.所以an=.题后反思如果数列的递推公式为an=an-1+f(n)型时,并且f(n)容易求和,这时可采用叠加
5、法.变式1已知数列满足an+1=an+3n-2,且a1=1,求数列的通项公式.规范板书解因为an+1=an+3n-2,所以an+1-an=3n-2,所以将以上各式相加得an-a1=1+4+=,所以an=.变式2在数列中,已知a1=4, an+1=5nan,求数列an的通项公式.规范板书解由题意得=5n,所以=5, =52, , =5n-1,将以上各式相乘得=5525n-1=51+2+(n-1)=,所以an=4.(三) 数列通项公式的求法【例3】若数列对于一切正整数n都满足a1+2a2+22a3+2n-1an=9-6n,求数列的通项公式.(见学生用书课堂本P38)处理建议教师可提出以下问题: 条
6、件的左边有很多项,但结果只要保留一项an,如何将多余的各项消去? 用退位相减法时要注意什么?规范板书解当n=1时,a1=9-61=3;当n2时,2n-1an=(a1+2a2+22a3+2n-1an)-(a1+2a2+22a3+2n-2an-1)=(9-6n)-9-6(n-1)=-6,所以an=.综上所述,an=题后反思(1) 已知数列的前n项和,可用退位相减法求通项公式,但要注意单独考虑“n=1”时的情形.(2) 已知a1+2a2+22a3+2n-1an=9-6n,本质上是一个数列的前n项和.变式已知数列的前n项积Tn=n2,求an.处理建议引导学生通过数列项与和的关系,类比发现项与积的关系.
7、规范板书解当n=1时,a1=T1=1;当n2时,an=.综上所述,an=题后反思已知数列的前n项积,可用退位相除法求通项公式,但要注意单独考虑“n=1”时的情形.(四) 等差数列、等比数列的判定*【例4】已知数列满足an=2an-1+2n-1(n2),且a1=5.(1) 求证:为等差数列.(2) 求数列的通项公式.(见学生用书课堂本P20)处理建议引导学生通过条件构造的结构.规范板书解(1) an=2an-1+2n-1, an-1=2(an-1-1)+2n, =+1, -=1, 数列是公差为1的等差数列.(2) 由(1)知=+(n-1)1=n+1, an=(n+1)2n+1(n2);当n=1时
8、,a1=5也满足上式.所以an=(n+1)2n+1.变式成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2, 5, 13后成为等比数列中的b3, b4, b5.(1) 求等比数列的通项公式;(2) 若等比数列的前n项和为Sn,求证:是等比数列.处理建议第(1)问由学生讲解思路,教师要注意引导学生说出“已知三个数成等差数列,常对称设元”.规范板书解(1) 设成等差数列的三个正数分别为a-d, a, a+d,依题意得a-d+a+a+d=15,解得a=5.所以等比数列中的b3, b4, b5依次为7-d, 10, 18+d,则(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故等
9、比数列的第3项为5,公比为2.由b3=b122,即5=b122,解得b1=.所以等比数列是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn=2n-1=52n-3.(2) 由(1)知等比数列的前n项和Sn=52n-2-,即Sn+=52n-2,所以S1+=, =2.因此是以为首项,2为公比的等比数列.题后反思根据条件构造一个与an有关的新数列,通过新数列通项公式的求解求得数列的通项公式,这是求不熟悉数列通项公式的常用方法.三、 课堂练习 1. 若数列an的前n项和Sn=2n2-3n,则a4=11.提示a4=S4-S3=11. 2. 已知数列的前n项和Sn=n2+1,求数列的通项公式.解当n=1时,a
10、1=S1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1.综上所述,an= 3. 设等差数列an的公差d0, a1=4d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k的值为3.提示由题意知an=(n+3)d,又因为ak是a1与a2k的等比中项,所以=a1a2k,即d2=4dd,且d0,解得k=3. 4. 已知数列an满足a1=1, an+1=2an+1,试证明an+1是等比数列,并求出数列an的通项公式.解 an+1=2an+1, an+1+1=2(an+1), =2, 是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列. an+1=2n, an=2n-1.四、 课堂小结 1. 求数列通项公式的方法有观察法、待定系数法、累和法、退位相减法、构造法等. 2. 求数列的通项公式通常采用由特殊到一般、化归、方程等思想.高考资源网版权所有，侵权必究！
