1、高考专题突破五1如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.【解析】 (1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a，所以椭圆的方程为y21.(2)证明 由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.
2、2已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点(1)求椭圆E的方程；(2)若点P为椭圆E的左顶点，2，求|2|2的取值范围【解析】 (1)由双曲线1的焦距为3，得c，a2b2.由题意知，由解得a23，b2，椭圆E的方程为y21.(2)由(1)知P(，0)设G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)即解得G.设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，|2|2yy2x2y2x3xx.又x1，x0，3，x，|2|2的取值范围是. 3(2018顺义尖子生素质展示)已知椭圆1的左
3、顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB和AC分别与直线x4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MPNP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【解析】 (1)由椭圆方程可得a2，b，从而椭圆的半焦距c1.所以椭圆的离心率为e.(2)依题意，直线BC的斜率不为0，设其方程为xty1.将其代入1，整理得(43t2)y26ty90.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，所以y1y2，y1y2.易知直线AB的方程是y(x2)，从而可得M，同理可得N.假设x轴上存在定点P(p，0)使得MPNP，则有0.所以(p4)20.将x1ty11，x2
4、ty21代入上式，整理得(p4)20，所以(p4)20，即(p4)290，解得p1或p7.所以x轴上存在定点P(1，0)或P(7，0)，使得MPNP. 4如图，已知M(x1，y1)是椭圆1(ab0)上任意一点，F为椭圆的右焦点(1)若椭圆的离心率为e，试用e，a，x1表示|MF|，并求|MF|的最值；(2)已知直线m与圆x2y2b2相切，并与椭圆交于A，B两点，且直线m与圆的切点Q在y轴右侧，若a2，求ABF的周长【解析】 (1)设F(c，0)，则|MF|，又1，则yb2，所以|MF| ，又ax1a且0e0)，连接OQ，OA，在RtOQA中，|AQ|2xyb2，又yb2，所以|AQ|2，则|AQ|，同理|BQ|，所以|AB|AF|BF|2ax0x22a，又a2，所以所求周长为4.
