1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 四十八直线与圆、圆与圆的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线x+2y-5+=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.4【解析】选C.圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心(1,2)到直线x+2y-5+=0的距离d=1,截得弦长l=2=4.2.(2016济宁模拟)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C
2、.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】选D.圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l:y-3=x-0,化简得x-y+3=0.3.设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()A.1B.2C.3D.4【解题提示】先求圆心到直线的距离,然后再依据曲线上的点到直线l的距离,确定点的个数.【解析】选B.(x-2)2+(y+1)2=9,得圆心坐标为(2,-1),半径r=3,圆心到直线l的距离d=.要使曲线上的点到直线l的距离为,此时对应的点
3、在直径上,故有两个点.4.若直线+=1通过点M(cos,sin),则()A.a2+b21B.a2+b21C.+1D.+1【解题提示】注意点M(cos,sin)在圆x2+y2=1上,即直线与圆相交或相切.【解析】选D.显然点M(cos,sin)在圆x2+y2=1上,直线+=1过点M,即直线与圆相交或相切.所以1,所以+1.5.(2016枣庄模拟)若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(aR)与圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0(bR)恰有三条公切线,则a+b的最大值为()A.-3B.-3C.3D.3【解析】选D.易知圆C1的圆心为C1(-a,0),半径为r1=2;圆C2的圆心为C2(0
4、,b),半径为r2=1.因为两圆恰有三条公切线,所以两圆外切,所以|C1C2|=r1+r2,即a2+b2=9.因为,所以a+b3(当且仅当a=b=时取“=”),所以a+b的最大值为3.【加固训练】(2016岳阳模拟)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为()A.,-4B.-,4C.,4D.-,-4【解析】选A.因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以直线y=kx与直线2x+y+b=0垂直,且直线2x+y+b=0过圆心,所以解得k=,b=-4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016
5、莱芜模拟)已知P(x,y)为圆(x-2)2+y2=1上的动点,则|3x+4y-3|的最大值为.【解析】设t=3x+4y-3,即3x+4y-3-t=0,由圆心(2,0)到直线3x+4y-3-t=0的距离d=1可得:=1,解得t=8或t=-2,由题意可得-2t8,所以0|3x+4y-3|8.答案:8【加固训练】(2016郑州模拟)动圆C经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切,若动圆C与直线y=x+2+1总有公共点,则圆C的面积()A.有最大值8B.有最小值2C.有最小值3D.有最小值4【解析】选D.设圆心为C(a,b),半径为r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)2+b2=(a+1)2,即
6、a=b2,所以圆心为,r=b2+1,圆心到直线y=x+2+1的距离为d=+1,所以b-2(2+3)或b2,当b=2时,rmin=4+1=2,所以Smin=r2=4.7.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.【解析】圆C的标准方程为(x-4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx-y-2=0的距离应不大于2,即2.整理,得3k2-4k0.解得0k.故k的最大值是.答案:【加固训练】(2016菏泽模拟)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+
7、y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.【解析】由题意,得圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的,即=,=cos45=,所以a2=b2=1,故a2+b2=2.答案:28.已知直线l:y=kx+1,圆C:(x-1)2+(y+1)2=12.则(1)不论k为何实数,直线l和圆C总有个交点.(2)直线l被圆C截得的最短弦长等于.【解题指南】直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而组成的方程组解的个数;最短弦长可用代数法或几何法判定.【解析】(1)由消去y得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,因为=-(2-4k)2+28(k2+1)0,所以不论k为何实数,直线l和圆
8、C总有两个交点.(2)设直线与圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1-x2|=2=2,令t=,则tk2-4k+(t-3)=0,当t=0时,k=-,当t0时,因为kR,所以=16-4t(t-3)0,解得-1t4,且t0,故t=的最大值为4,此时|AB|最小为2.答案:(1)两(2)2【一题多解】解答本题还可以用如下两种方法解决:方法一:(1)圆心C(1,-1)到直线l的距离d=,圆C的半径R=2,R2-d2=12-=,而在S=11k2-4k+8中,=(-4)2-41180对kR恒成立,所以R2-d20,即dR,所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两
9、个交点.(2)由平面几何知识,知|AB|=2=2,下同原题解析.答案:(1)两(2)2方法二:(1)因为不论k为何实数,直线l总过点P(0,1),而|PC|=2=R,所以点P(0,1)在圆C的内部,即不论k为何实数,直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数,直线l和圆C总有两个交点.(2)由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦,只有和AC(C为圆心)垂直时才最短,而此时点P(0,1)为弦AB的中点,由勾股定理,知|AB|=2=2,即直线l被圆C截得的最短弦长为2.答案:(1)两(2)2【加固训练】过点P(,0)引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当AOB的面积取最大值
10、时,直线l的斜率等于()A.B.-C.D.-【解析】选B.因为SAOB=|OA|OB|sinAOB=sinAOB.当AOB=时,AOB面积最大.此时O到AB的距离d=.设AB方程为y=k(x-)(k0,解得m.将直线l的方程与圆C的方程组成方程组,得消去y,得x2+x-6+m=0.整理,得5x2+10x+4m-27=0.因为直线l与圆C没有公共点,所以方程无解.故有=102-45(4m-27)8.所以m的取值范围是.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由OPOQ,得=0,即x1x2+y1y2=0.由(1)及根与系数的关系,得x1+x2=-2,x1x2=.又因为P,Q在直线x+2y-3=
11、0上,所以y1y2=9-3(x1+x2)+x1x2,将代入上式,得y1y2=,将代入,得x1x2+y1y2=+=0,解得m=3.代入方程检验得0成立,所以m=3.(20分钟40分)1.(5分)(2016青岛模拟)已知圆x2+y2=4,点A(,0),动点M在圆上运动,O为坐标原点,则OMA的最大值为()A.B.C.D.【解析】选C.设|MA|=x,则|OM|=2,|AO|=,由余弦定理可知cosOMA=2=(当且仅当x=1时等号成立),所以OMA.【加固训练】(2016聊城模拟)若圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(aR)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(bR)内切,则ab的最大
12、值为()A.B.2C.4D.2【解析】选B.圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(aR).化为:(x-a)2+y2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(bR),化为x2+(y+b)2=1,圆心坐标为(0,-b),半径为1,因为圆C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(aR)与圆C2:x2+y2+2by+b2-1=0(bR)内切,所以=3-1,即a2+b2=4,ab(a2+b2)=2.所以ab的最大值为2.2.(5分)已知直线x+y-k=0(k0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|+|,那么k的取值范围是()A.(,+)B.
13、,+)C.,2)D.,2)【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得2x2-2kx+k2-4=0.所以x1+x2=k,x1x2=,=4k2-8(k2-4)0,所以0k0,N=(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a0,则MN时,a的最大值与最小值分别为,.【解析】因为集合M=(x,y)|y=,a0,所以集合M表示以O(0,0)为圆心,半径为r1=a的上半圆.同理,集合N表示以O(1,)为圆心,半径为r2=a的圆上的点.这两个圆的半径随着a的变化而变化,但|OO|=2.如图所示,当两圆外切时,由a+a=2,得a=2-2;当两圆内切时,由a-a=2,得a=2+2.所以a
14、的最大值为2+2,最小值为2-2.答案:2+22-24.(12分)已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0a4)的圆心为C,直线l:y=x+m.(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值.(2)若直线l是圆心C下方的切线,当a在(0,4上变化时,求m的取值范围.【解析】(1)因为x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0,所以(x+a)2+(y-a)2=4a,所以圆心为C(-a,a),半径为r=2,设直线l被圆C所截得的弦长为2t,当m=4时,直线l:x-y+4=0,圆心C到直线l的距离为d=|a-2|,则t2=(2)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8=-2(a-3
15、)2+10,又00)的切线,切点为D,且|QD|=4.(1)求r的值.(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆O的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设=+,求|的最小值(O为坐标原点).【解析】(1)圆O:x2+y2=r2(r0)的圆心为O(0,0),于是|QO|2=(-2)2+()2=25.由题设知,QDO是以D为直角顶点的直角三角形,故有r=|OD|=3.(2)设直线l的方程为+=1(a0,b0),即bx+ay-ab=0,则A(a,0),B(0,b),所以=(a,b),所以|=.因为直线l与圆O相切,所以=3a2b2=9(a2+b2).所以a2+b236,所以|6.当且仅当a=b=3时取到“=”.所以|取得最小值为6.关闭Word文档返回原板块
