1、-1-1 回归分析-2-1.1 回归分析 1.2 相关系数目标导航 1.了解回归分析的概念和最小二乘法的作用.2.理解相关系数的含义及求法.3.了解回归分析的基本思想,会建立回归模型,并能利用回归分析进行有效的预测.知识梳理 一 二 一、回归分析 1.变量间的关系往往会表现出某种不确定性,回归分析就是研究这种变量之间的关系的一种方法,通过对变量之间关系的研究,从而发现蕴涵在事物或现象中的某些规律.2.假设样本点为(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),我们可用最小二乘法求变量之间的线性回归方程y=a+bx,即求a,b,使这n个点与直线y=a+bx的“距离”平方之和最小,即使得 Q(a,
2、b)=(y1-a-bx1)2+(2-2)2+()2达到最小.知识梳理 一 二 3.Q(a,b)=lyy+n (+)2+-22.其中=1+2+=1=1,y=y1+y2+ynn=1n i=1n,lxx=1()2=12 2,lxy=1()()=1 ,lyy=1()2=12 2.当 Q(a,b)取最小值时,b=1(-)(-)=1(-)2=1-=12-2,=.y 对 x 的线性回归方程为 y=a+bx,此直线一定过点(,).知识梳理 一 二 名师点拨 b=1xiyi-x yi=1n2-2,其统计学意义是:x 每增加(或减少)一个单位,y 平均改变 b 个单位.知识梳理 一 二【做一做1】设有一个线性回归
3、方程为y=3-5x,则当变量x每增加1个单位时()A.y平均增加3个单位 B.y平均减少5个单位 C.y平均增加5个单位 D.y平均减少3个单位 解析:因为线性回归直线的斜率是-5,所以说x每增加1个单位时,y平均减少5个单位.答案:B 知识梳理 一 二 二、相关关系与相关系数 1.判断两个变量之间的线性相关关系的方法有(1)画散点图;(2)计算线性相关系数r.2.相关系数的计算 公式 r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2 i=1n(yi-y)2=i=1nxiyi-nx y i=1nxi2-nx2 i=1nyi2-ny2 性质(1)范围:|r|1;(2)|r|越接近 1,
4、x,y 之间的线性相关程度越高;(3)|r|越接近 0,x,y 之间的线性相关程度越低 知识梳理 一 二 3.正相关、负相关与线性不相关 (1)正相关:当 r0 时,lxy0,从而 b=0,两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势,此时称两个变量正相关.(2)负相关:当r0时,b0,则两个变量正相关.()(2)两个变量的相关系数越大,它们的相关程度越高.()(3)若两个变量负相关,则其回归直线的斜率为负.()知识梳理 一 二【做一做3】根据如下样本数据:得到的回归方程为y=a+bx,则()A.a0,b0B.a0,b0 C.a0D.a0,b0 解析:由样本数据可知y值总体上是随x值的增大而减少的.
5、故b0,故a0.故选B.答案:B x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5-0.5 0.5-2.0-3.0 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 求线性回归方程【例1】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验.测得的数据如下表所示:零件数 x/个10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y/min62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)求y对x的线性回归方程;(2)据此估计加工200个零件所用的时间是多少.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)由题意得下表,并用科学计算器进
6、行计算.i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 xiyi 620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10350 12200 x=55,y=91.7,i=110 xi2=38 500,i=110=55 950 b=110 xiyi-10 x yi=1102-102=55 950-105591.738 500-105520.668,a=91.7-0.66855=54.96,设所求的线性回归方程为y=a+
7、bx.同时,利用上表可得 故所求的线性回归方程为y=54.96+0.668x.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 点评求线性回归方程的步骤:第一步:列表表示 xi,yi,xiyi.第二步:计算,=1xi2,i=1n.第三步:代入求值,计算 a,b.b=1-=12-2,=.第四步:写出线性回归方程,即 y=a+bx.(2)当x=200时,所用时间的估计值为 54.96+0.668200=188.56189(min).故加工200个零件所用的时间约为189 min.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练1】某商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x()之间的关系,随机统计
8、了某4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:月平均气温 x/17 13 8 2 月销售量 y/件 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b=-2,气象部门预测下个月的平均气温约为6,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为()件.A.46 B.40C.38 D.58 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 解析:由题设中数表提供的数据可得:=14 (17+13+8+2)=10,=14 (24+33+40+55)=38.将b=-2,=10,=38 代入y=bx+a,得a=58,即y对x的线性回归方程为y=-2x+58.将x=6代入y=-2x+58,得y=46.故选A
9、.答案:A 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 使用年限 x/年 2 3 4 5 6 7 8 维修费用 y/万元 2.2 3.5 5.2 6.7 7.8 8.1 9.8 请用相关系数判断维修费用y与使用年限x之间是否具有线性相关关系?如果具有,请求出y对x的线性回归方程.分析:本题为探索两个变量之间是否具有线性相关关系的题型,通过计算线性相关系数来加以判断,由于数据比较多,可列表分项计算.计算线性相关系数【例2】某工厂有一大型机器设备,其使用年限x(单位:年)与所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料:典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 解:列表:i xi yi xi2 y
10、i2 xiyi 1 2 2.2 4 4.84 4.4 2 3 3.5 9 12.25 10.5 3 4 5.2 16 27.04 20.8 4 5 6.7 25 44.89 33.5 5 6 7.8 36 60.84 46.8 6 7 8.1 49 65.61 56.7 7 8 9.8 64 96.04 78.4 35 43.3 203 311.51 251.1 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 由此可得:=5,6.185 7,=17=251.1,i=172=203,=172=311.51.于是线性相关系数r=17-7 =172-72=172-72251.1-756.185 7 203
11、-752 311.51-76.185720.989 5.从而可知维修费用与使用年限之间存在线性相关关系.因为 b=17-7=172-72 251.1-756.185 7203-7521.235 7,a=6.185 7-1.235 75=0.007 2,所以线性回归方程为 y=0.007 2+1.235 7x.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 反思对于两个变量的数据比较多的时候判断它们之间是否线性相关,可通过计算线性相关系数来判断.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练2】关于两个变量x和y的一组数据如下表所示:x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21
12、 24 66 115 325 试用相关系数判断x与y之间是否有线性相关关系?i xi yi xi2 yi2 xiyi 1 21 7 441 49 147 2 23 11 529 121 253 3 25 21 625 441 525 4 27 24 729 576 648 5 29 66 841 4 356 1 914 6 32 115 1 024 13 225 3 680 7 35 325 1 225 105 625 11 375 192 569 5 414 124 393 18 542 解:列表:典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 由此可得27.4,81.3,=17xi2=5 414
13、,i=172=124 393,=17=18 542.所以 r=17-7 =172-72=172-7218 542-727.481.3 5 414-727.42 124 393-781.320.837 5.由于 r0.837 5 与 1 比较接近,故 x 与 y 具有线性相关关系.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 利用回归分析进行有效预测【例3】为了了解某地区母亲身高x与女儿身高y的相关关系,现随机测得10对母女的身高,所得数据如下表所示:母亲身高 x/cm 159 160 160 163 159 154 159 158 159 157 女儿身高 y/cm 158 159 160 161
14、 161 155 162 157 162 156 (1)试对x与y进行线性回归分析,并预测当母亲身高为161 cm时,女儿的身高为多少?(2)求相关系数r,并分析模型的拟合效果.分析:通过观察两个变量对应的数据,可判断x与y之间存在线性相关关系,通过列表计算,求出回归方程,并通过计算线性相关系数来判断两个变量间的线性相关程度.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 解:列表:i xi yi xi2 yi2 xiyi 1 159 158 25 281 24 964 25 122 2 160 159 25 600 25 281 25 440 3 160 160 25 600 25 600 25
15、600 4 163 161 26 569 25 921 26 243 5 159 161 25 281 25 921 25 599 6 154 155 23 716 24 025 23 870 7 159 162 25 281 26 244 25 758 8 158 157 24 964 24 649 24 806 9 159 162 25 281 26 244 25 758 10 157 156 24 649 24 336 24 492 1 588 1 591 252 222 253 185 252 688 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四(1)由此可得:=158.8,=159.1,
16、=110 xi2=252 222,i=1102=253 185,=110=252 688.进而可以求得 b=110-10=1102-102=252 688-10158.8159.1252 222-10158.820.78,a=159.1-0.78158.8=35.236,于是,y对x的线性回归方程为 y=35.236+0.78x.当x=161时,y161,即女儿的身高约为161 cm.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四(2)r=110-10 =1102-102=1102-102=252 688-10 158.8 159.1 252 222-10 158.82 253 185-10 159
17、.120.715,说明模型的拟合效果较好.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练3】为了研究某地3月下旬的平均气温x(单位:)与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日y的关系,某地观察了2013年至2018年间的情况,得到下列数据表:(1)求y对x的线性回归方程,并说明线性回归模型拟合的效果;(2)根据规律推断,若该地区2020年3月下旬平均气温为27,试估计2020年4月棉花害虫化蛹高峰日为哪一天?年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 平均气温x/24.4 29.5 32.9 28.7 30.3 28.9 高峰日 y 19 6 1 10 1 8 典例透析 题型
18、一 题型二 题型三 题型四 解:列表:i xi yi xi2 yi2 xiyi 1 24.4 19 595.36 361 463.6 2 29.5 6 870.25 36 177 3 32.9 1 1 082.41 1 32.9 4 28.7 10 823.69 100 287 5 30.3 1 918.09 1 30.3 6 28.9 8 835.21 64 231.2 174.7 45 5 125.01 563 1 222 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四(1)由此可得:29.12,=7.5,=16xi2=5 125.01,i=162=563,=16=1 222.进而可以求得b=1
19、6-6=162-62=1 222-629.127.55 125.01-629.122-2.4.a=7.5+2.429.12=77.388.于是,y 对 x 的线性回归方程为 y=77.388-2.4x.r=16-6 =162-62=162-621 222-629.127.5 5 125.01-629.122 563-67.52-0.966,由于|r|-0.966|与1较接近,说明模型的拟合效果较好.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四(2)当x=27时,y=77.388-2.427=12.588.据此估计该地2020年4月12日或13日为化蛹高峰日.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
20、 易错辨析 易错点 忽略相关性检验而致误【例4】给出变量x,y的一组数据如下表所示:x 1 1 2 3 3 4 5 6 y 1 4 6 2 3 5 1 5 试对x,y进行线性回归分析.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 错解列表:i xi yi xi2 yi2 xiyi 1 1 1 1 1 1 2 1 4 1 16 4 3 2 6 4 36 12 4 3 2 9 4 6 5 3 3 9 9 9 6 4 5 16 25 20 7 5 1 25 1 5 8 6 5 36 25 30 25 27 101 117 87 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 由上表,得=258,=278.所以
21、 b=18xiyi-8x yi=182-82 0.114 8,a=278 0.114 8258 3.016.所以y对x的线性回归方程为y=3.016+0.114 8x.错因分析线性回归分析必须进行相关性检验,若忽略相关性检验,则所求线性回归方程没有实际意义.事实上,通过散点图或相关系数r可以判断y与x的相关性极弱,可认为变量x与y线性不相关.典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 正解:列表:i xi yi xi2 yi2 xiyi 1 1 1 1 1 1 2 1 4 1 16 4 3 2 6 4 36 12 4 3 2 9 4 6 5 3 3 9 9 9 6 4 5 16 25 20 7
22、5 1 25 1 5 8 6 5 36 25 30 25 27 101 117 87 典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四 由上表,得=258,=278.r=18xiyi-8x y i=182-82=182-82=87-8258 278 101-8 258 2 117-8 278 20.107 9.因为 r 的值比较小,所以可认为 y 与 x 线性无关.1234561.已知某工厂车间加工零件的个数x与所花费的时间y(单位:h)之间的线性回归方程为y=0.01x+0.5,则加工600个零件需要时间大约为()A.0.5 h B.3.5 h C.5.5 h D.6.5 h 解析:把x=600代入
23、y=0.01x+0.5,得y=6.5.故选D.答案:D 1234562.对于线性相关系数r,下列说法正确的是()A.r(-,+),r越大,相关程度越高;反之,相关程度越低 B.|r|(0,+),|r|越大,相关程度越高;反之,相关程度越低 C.|r|1,且|r|越大,相关程度越高;反之,相关程度越低 D.以上说法都不正确 解析:熟记关于线性相关系数r的重要结论是解决此类问题的关键.答案:C 1234563.变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(
24、12.5,2),(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则()A.r2r10B.0r2r1 C.r200;对于变量U与V而言,V随U的增大而减小,故变量V与U负相关,即r20.故r20r1.答案:C 1234564.由一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)得到的线性回归方程为y=a+bx,下面说法中错误的是 .(只填序号)a=;直线 y=a+bx 至少经过点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)中的一个;直线 y=a+bx 的斜率为 b=1xiyi-x yi=1n2-2.答案:1234565.面对竞争日益激烈的消费市
25、场,众多商家不断扩大自己的销售市场,以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位:千箱)与单位成本y(单位:元)的资料进行线性回归分析,结果如下:=72,=71,=16xi2=79,i=16=1 481.则销量每增加1 000箱,单位成本下降 元.解析:由题意知 b=1 481-6727179-6 72 2-1.818 2,a=71-(-1.818 2)7277.36,y=-1.818 2x+77.36,销量每增加 1 000 箱,则单位成本下降1.818 2元.答案:1.818 21234566.某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y的对应数据如下表所示:求y关于x的线性回归方程.要使售价不超过16元,进价应不超过多少元?(精确到0.1)进价 x/元 3 5 2 8 9 12 售价 y/元 4 6 3 9 12 14 123456解:由表中数据可得:=6.5,=8,=16xi2=327,i=16=396.进而可以求得b=16-6=162-62=396-66.58327-66.52 1.143,a=8-1.1436.5=0.570 5,故所求的线性回归方程为y=0.570 5+1.143x.令y16,得0.570 5+1.143x16.令0.570 5+1.143x=16,解得x13.499.所以要使售价不超过16元,进价应不超过13.4元.
