1、北京市西城区2013年高三二模试卷 高三数学（文科） 2013.5第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数 （A）（B）（C）（D）2已知向量，若与共线，则实数（A）（B）（C）（D）3给定函数：；，其中奇函数是（A）（B）（C）（D）4若双曲线的离心率是，则实数（A）（B）（C）（D）5如图所示的程序框图表示求算式“” 之值， 则判断框内可以填入 （A）（B）（C）（D）6对于直线，和平面，使成立的一个充分条件是（A），（B），（C），（D），7已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（A）
2、（B）（C）（D）8已知集合的非空子集具有性质：当时，必有则具有性质的集合的个数是（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知直线，若，则实数_ 10右图是甲，乙两组各名同学身高（单位：）数据的茎叶图记甲，乙两组数据的平均数依次为和， 则_ （填入：“”，“”，或“”）11在中，则_；的面积是_ 12设，随机取自集合，则直线与圆有公共点的概率是_ 13已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集是若且为真命题，则实数的取值范围是_14在直角坐标系中，已知两定点，动点满足则点构成的区域的面积是_；点构成的区域的面积是_ 三、解答题：本大
3、题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知等比数列的各项均为正数，（）求数列的通项公式；（）设证明：为等差数列，并求的前项和16（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点记（）若，求； （）分别过作轴的垂线，垂足依次为记 的面积为，的面积为若，求角的值17（本小题满分14分）如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示（）求四面体的体积；（）证明：平面；（）证明：平面平面18（本小题满分1
4、3分）已知函数，其中（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求在区间上的最小值19（本小题满分14分）如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称（）若点的坐标为，求的值；（）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围20（本小题满分13分）已知集合是正整数的一个排列，函数 对于，定义：，称为的满意指数排列为排列的生成列（）当时，写出排列的生成列；（）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加北京市西
5、城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准 2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1 A； 2A； 3D； 4B； 5C； 6C； 7B； 8B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9； 10； 11，；12； 13； 14，注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：设等比数列的公比为，依题意 1分 因为 ， 两式相除得 ， 3分解得 ， 舍去 4分 所以 6分 所以数列的通项公式为 7分（）解：由（）得 9分因为
6、， 所以数列是首项为，公差为的等差数列 11分 所以 13分16（本小题满分13分）（）解：由三角函数定义，得 ， 2分 因为 ， 所以 3分 所以 5分（）解：依题意得 ， 所以 ， 7分 9分 依题意得 ， 整理得 11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 13分17（本小题满分14分）（）解：由左视图可得 为的中点，所以 的面积为 1分因为平面， 2分 所以四面体的体积为 3分 4分（）证明：取中点，连结， 5分由正（主）视图可得 为的中点，所以， 6分又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以 8分因为 平面，平面， 所以 直线平面 9分（）证明：因为 平面，所以 因为面为正方形，所以
7、所以 平面 11分因为 平面，所以 因为 ，为中点，所以 所以 平面 12分因为 ，所以平面 13分因为 平面， 所以 平面平面. 14分18.（本小题满分13分）（）解：的定义域为， 且 2分当时，所以曲线在点处的切线方程为 ，即 4分（）解：方程的判别式， 5分令 ，得 ，或 6分和的情况如下： 故的单调增区间为，；单调减区间为9分 当时，此时在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是 10分 当时，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是 12分 当时，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是 13分综上，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是；当时，
8、在区间上的最小值是 19（本小题满分14分）（）解：依题意，是线段的中点，因为， 所以 点的坐标为 2分由点在椭圆上， 所以 ， 4分解得 6分（）解：设，则 ，且 7分因为 是线段的中点，所以 8分因为 ，所以 9分由 ， 消去，整理得 11分所以 ， 13分当且仅当 时，上式等号成立 所以 的取值范围是 14分20（本小题满分13分）（）解：当时，排列的生成列为 3分（）证明：设的生成列是；的生成列是与从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，显然 ，下面证明：5分由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而因为 与是个不同数的两个不同排列，且，所以 ， 从而 所以排列和的生成列也不同 8分（）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 9分依题意进行操作，排列变为排列，设该排列的生成列为 10分所以 所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加13分
