1、第 1 讲 空间几何体1.(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.答案 7解析 设新的底面半径为 r，由题意得13r24r2813524228，解得 r 7.2.(2016课标全国丙改编)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球，若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是_.答案 92解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为 3，所以球的最大直径为 3，V 的最大值为92.3.(
2、2015山东改编)在梯形 ABCD 中，ABC2，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形 ABCD绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_.答案 53解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 VV 圆柱V 圆锥AB2BC13CE2DE1221312153.4.(2016浙江)如图，已知平面四边形 ABCD，ABBC3，CD1，AD 5，ADC90，沿直线 AC 将
3、ACD 翻折成ACD，直线 AC 与 BD所成角的余弦的最大值是_.答案 66解析 设直线 AC 与 BD所成角为，平面 ACD 翻折的角度为，设点 O 是 AC 的中点，由已知得 AC 6，如图，以 OB 为 x 轴，OA 为 y 轴，过点 O 与平面 ABC 垂直的直线为 z轴，建立空间直角坐标系，由 A0，62，0，B302，0，0，C0，62，0，作 DHAC 于点 H，翻折过程中，DH始终与 AC 垂直，CHCD2CA 16 66，则 OH 63，DH1 56 306，因此可设 D 306 cos，63，306 sin ，则BD 306 cos 302，63，306 sin ，与CA
4、平行的单位向量为 n(0,1,0)，所以cos|cosBD，n|BD n|BD|n|6395cos，所以 cos 1 时，cos 取最大值 66.1.考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一 空间几何体的结构特征棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得
5、到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到.例 1 设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的各侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是_.答案 解析 命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的.思维升华 判定与空间几何体结构特征有关命题的方法：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，
6、然后再依据题意判定.(2)通过旋转体的结构，可对得到旋转体的平面图形进行分解，结合旋转体的定义进行分析.跟踪演练 1(1)给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱.其中正确命题的个数是_.(2)以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为_.答案(1)0(2)1解析(1)直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯
7、形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误.(2)命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥.命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰.命题对.命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.例 2(1)已知一个圆锥的底面积为 2，侧面积为 4，则该圆锥的体积为_.(2)如图，在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中
8、，点 E，F 分别在 C1D1 与 C1B1 上，且C1E4，C1F3，连结 EF，FB，DE，BD，则几何体 EFC1DBC 的体积为_.答案(1)2 63 (2)66解析(1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则 r22，rl4，解得 r 2，l2 2，故高 h 6，所以 V13r2h132 62 63.(2)如图，连结 DF，DC1，那么几何体 EFC1DBC 被分割成三棱锥 DEFC1 及四棱锥 DCBFC1，那么几何体 EFC1DBC 的体积为 V13123461312(36)66125466.故所求几何体 EFC1DBC 的体积为 66.思维升华(1)求多面体的表面积的基本方法
9、就是逐个计算各个面的面积，然后求和.(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差.求解时注意不要多算也不要少算.跟踪演练 2 设一个正方体与底面边长为 2 3，侧棱长为 10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为_.答案 2解析 设正四棱锥底面正方形 ABCD 的中心为 O，顶点为 P，则 AO 6，则 OP2h，则正四棱锥的体积为 V13(2 3)228a3，得 a2.热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，
10、切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.如球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图.例 3(1)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SA平面 ABC，SA2 3，AB1，AC2，BAC60，则球 O 的表面积为_.(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为_ cm3.答案(1)16(
11、2)5003解析(1)在ABC 中，BC2AB2AC22ABACcos 603，AC2AB2BC2，即 ABBC，又 SA平面 ABC，三棱锥 SABC 可补成分别以 AB1，BC 3，SA2 3为长、宽、高的长方体，球 O 的直径12 322 324，故球 O 的表面积为 42216.(2)过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点 O，球半径为 R cm，正方体上底面中心为点 A，上底面一边的中点为点 B，在 RtOAB 中，OA(R2)cm，AB4 cm，OBR cm，由 R2(R2)242，得 R5，V 球43R35003(cm3).思维升华 三棱锥 PABC 可通过补形为长方体求解外接
12、球问题的两种情形：(1)点 P 可作为长方体上底面的一个顶点，点 A、B、C 可作为下底面的三个顶点；(2)PABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线.跟踪演练 3 在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ABD的面积分别为 22，32，62，则三棱锥 ABCD 的外接球体积为_.答案 6解析 如图，以 AB，AC，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长.据题意ABAC 2，ACAD 3，ABAD 6，解得AB 2，AC1，AD 3，长方体的体对角线长为 AB2AC
13、2AD2 6，三棱锥外接球的半径为 62.三棱锥外接球的体积为 V43(62)3 6.1.(2016江苏苏州大学高考考前指导)如图，三棱锥 ABCD 中，E 是 AC 的中点，F 在 AD上，且 2AFFD，若三棱锥 ABEF 的体积是 2，则四棱锥 BECDF 的体积为_.押题依据 简单几何体的表面积和体积的计算是高考考查的重点，本题从两几何体的体积关系进行考查，符合高考命题思想.答案 10解析 因为SAEFSACD12AEAFsin A12ACADsin A16，V 总6VABEF12，则四棱锥 BECDF 的体积为 10.2.在正三棱锥 SABC 中，点 M 是 SC 的中点，且 AMS
14、B，底面边长 AB2 2，则正三棱锥 SABC 的外接球的表面积为_.押题依据 多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点.答案 12解析 因为三棱锥 SABC 为正三棱锥，所以 SBAC，又 AMSB，ACAMA，所以 SB平面 SAC，所以 SBSA，SBSC，同理，SASC，即 SA，SB，SC 三线两两垂直，且 AB2 2，所以 SASBSC2，所以(2R)232212，所以球的表面积 S4R212.3.已知半径为 1 的球 O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为_.押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高
15、考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积.本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注.答案 4 23解析 如图所示，设圆柱的底面半径为 r，则圆柱的侧面积为 S2r2 1r24r 1r24r21r222(当且仅当 r21r2，即 r 22 时取等号).所以当 r 22 时，V球V圆柱43 13 22 2 24 23.A 组 专题通关1.以下四个命题：正棱锥的所有侧棱相等；直棱柱的侧面都是全等的矩形；圆柱的母线垂直于底面；用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中，真命题的个数为_.答案 3解析 由正棱锥的定义可知所有侧棱相等
16、，故正确；由于直棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面矩形不一定全等，因此不正确；由圆柱母线的定义可知正确；结合圆锥轴截面的作法可知正确.综上，正确的命题有 3 个.2.下图是棱长为 2 的正方体的表面展开图，则多面体 ABCDE 的体积为_.答案 83解析 多面体 ABCDE 为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积 V44383.3.设 M，N 分别为三棱锥 PABC 的棱 AB，PC 的中点，三棱锥 PABC 的体积记为 V1，三棱锥 PAMN 的体积记为 V2，则V2V1_.答案 14解析 三棱锥 PAMN 的体积等于三棱锥 PAMC 的体积的一半，等于三棱锥 PABC 的体积的四分之一.4
17、.已知圆锥的母线长为 10 cm，侧面积为 60 cm2，则此圆锥的体积为_ cm3.答案 96解析 由题意得：rl60，l10r6h8，因此圆锥的体积为13r2h1362896.5.(2016天水模拟)如图所示，平面四边形 ABCD 中，ABADCD1，BD 2，BDCD，将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为_.答案 32 解析 如图所示，取 BD 的中点E，BC 的中点O，连结AE，EO，AO，OD.因为平面 ABD平面 BCD，AEBD，平面 ABD平面 BCDBD，AE平面 ABD，所以 AE平面
18、 BCD.因为 ABADCD1，BD 2，所以 AE 22，EO12，所以 OA 32.在 RtBCD 中，OBOCOD12BC 32，所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，球的半径为 32，所以 V 球43(32)3 32.6.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_.答案 2 22解析 如图，在直观图中，过点 A 作 AEBC，垂足为点 E，则在 RtABE 中，AB1，ABE45，BE 22.而四边形 AECD 为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC 22 1.由此可还原原图形如图.在原
19、图形中，AD1，AB2，BC 22 1，且 ADBC，ABBC，这块菜地的面积为S12(ADBC)AB12(11 22)22 22.7.(2016江苏南通市高三下学期第三次调研)已知正三棱柱的各条棱长均为 a，圆柱的底面直径和高均为 b，若它们的体积相等，则 a3b3_.答案 3解析 正三棱柱的体积为 34 a2a 34 a3，圆柱的体积为(b2)2b4b3，因此 34 a34b3a3b3 3.8.如图所示，从棱长为 6 cm 的正方体铁皮箱 ABCDA1B1C1D1 中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形.如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为_ cm3.答案 36解析
20、最多能盛多少水，实际上是求三棱锥 C1CD1B1 的体积.又 V 三棱锥 C1CD1B1V 三棱锥 CB1C1D113(1266)636(cm3)，所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛 36 cm3 体积的水.9.已知三个球的半径 R1、R2、R3 满足 R1R32R2，记它们的表面积分别为 S1、S2、S3，若S11，S39，则 S2_.答案 4解析 由题意知 4R211,4R239，所以 162R21R239，即 R1R3 34，又 4R214R234(R1R3)22R1R310，所以 4(2R2)22R1R310，所以化简得：4R224，即 S24.10.(教材改编)如图所示，从三棱
21、锥 PABC 的顶点 P 沿着三条侧棱 PA，PB，PC 剪开成平面图形得到P1P2P3，且 P2P1P2P3.(1)在三棱锥 PABC 中，求证：PABC；(2)若 P1P226，P1P320，求三棱锥 PABC 的体积.(1)证明 由题设知 A，B，C 分别是 P1P3，P1P2，P2P3 的中点，且 P2P1P2P3，从而 PBPC，ABAC，取 BC 的中点 D，连结 AD，PD(如图)，则 ADBC，PDBC.又 ADPDD，BC平面 PAD，又 PA平面 PAD，PABC.(2)解 由题设有ABAC12P1P213，PAP1ABC10，PBPCP1B13，ADPD AB2BD212
22、.在等腰三角形 DPA 中，底边 PA 上的高 hAD212PA2 119，SDPA12PAh5 119.又 BC平面 PAD，VPABCVBPDAVCPDA13BDSDPA13DCSPDA13BCSPDA13105 119503119.B 组 能力提高11.在体积为 32 的四面体 ABCD 中，AB平面 BCD，AB1，BC2，BD3，则 CD 长度的所有值为_.答案 7或 19解析 由题意得 32 13ABSBCD13112BCBDsinCBDsinCBD 32.因此 cosCBD12.由余弦定理得：CD22232223cosCBD7 或 19，因此 CD 7或 19.12.已知在三棱锥
23、 PABC 中，PA平面 ABC，ABACPA2，且在ABC 中，BAC120，则三棱锥 PABC 的外接球的体积为_.答案 20 53解析 由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcosBAC，BC22222222(12)12，BC2 3.设平面 ABC 截球所得截面圆半径为 r，则 2r 2 3sin 1204，r2.由 PA2 且PA平面 ABC 知，球心到平面 ABC 的距离为 1，球的半径为 R 1222 5，所以 V 球43R320 53.13.如图，侧棱长为 2 3的正三棱锥 VABC 中，AVBBVCCVA40，过点 A 作截面AEF，则截面AEF 的周长的最小值为_.答案
24、6解析 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 VABC 展开在一个平面内，如图，则 AA即为截面AEF 周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得 AA6，故答案为 6.14.如图，在 RtABC 中，ABBC4，点 E 在线段 AB 上.过点 E 作 EFBC 交 AC 于点 F，将AEF 沿 EF 折起到PEF 的位置(点 A 与点 P 重合)，使得PEB30.(1)求证：EFPB；(2)试问：当点 E 在何处时，四棱锥 PEFCB 的侧面 PEB 的面积最大？并求此时四棱锥PEFCB 的体积.(1)证明 EFBC 且 BCAB，EFAB，即 EFBE，EFPE.又 BEPEE，EF平面 PBE，又 PB平面 PBE，EFPB.(2)解 设 BEx，PEy，则 xy4.SPEB12BEPEsinPEB14xy14xy221.当且仅当 xy2 时，SPEB 的面积最大.此时，BEPE2.由(1)知 EF平面 PBE，平面 PBE平面 EFCB，在平面 PBE 中，作 POBE 于点 O，又平面 PBE平面 EFCBBE，PO平面 EFCB.即 PO 为四棱锥 PEFCB 的高.又 POPEsin 302121，SEFCB12(24)26，VPBCFE13612.
