1、4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用 【学习目标】课程标准学科素养1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断；2.能借助指数函数图象及单调性比较大小；3.会解简单的指数方程、不等式；4.会判断指数型函数的奇偶性。1、直观想象2、数学运算3、数形结合【自主学习】指数函数图象位置关系一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：一“底大图高”：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数 ；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数 .即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x1时，ya去理解，如图.二指数函数yax与yx(a
2、0且a1)的图象关于 对称.【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若0.3a0.3b，则ab.()(2) 函数在1,3上最大值为27.()(3)已知，则. ()(4)若am1，则m0.()2.若函数f(x)(12a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.【经典例题】题型一利用指数函数的单调性比较大小点拨：比较幂的大小的方法1.同底数幂比较大小时构造指数函数，根据函数的单调性比较.2.指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小.3.底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂
3、与两数比较，或借助“1”与两数比较.4.当底数含参数时，要按底数a1和0a0且a1)【跟踪训练】1 设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.acb C.bac D.bcay的不等式：可借助yax的单调性求解如果a的值不确定，需分0a1两种情况讨论2.形如axb的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解例2 (1)不等式4xax7(a0且a1)，求x的取值范围【跟踪训练】2 已知集合M1,1，N，则MN ()A1,1 B1 C0 D1,0题型三指数型函数的单调性点拨：一般地，有形如yaf(x)(a0，且a1)函数的
4、性质1.函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域.2.研究yaf(x)型单调区间时，要注意a1还是0a1时，yaf(x)与f(x)单调性相同当0a0且a1)的单调区间.题型四指数函数性质的综合问题例4 已知定义在R上的函数f(x)a是奇函数.(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数k的取值范围。【跟踪训练】4 已知函数f(x).(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；(3)求f(x)的值域【当堂达标】1.已知函数f(x)3x，则f(x)()A.是奇函数，且在R上
5、是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数2.函数y1x的单调增区间为()A(，) B(0，) C(1，) D(0,1)3.(多选)对于函数的定义域中任意的，有如下结论:当时，上述结论正确的是（ ）ABCD4.函数yx，y2x，y3x的图象(如图)分别是_.(用序号作答)5.不等式232x0，且a1).7.已知函数f(x)ax(a0且a1)的图象经过点.(1)比较f(2)与f(b22)的大小；(2)求函数g(x) (x0)的值域8.设函数f(x)kaxax(a0，且a1)是定义在R上的奇函数(1)求k的值；(2)若f(1)0，试判断函
6、数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x22x)f(4x2)0的解集【参考答案】【自主学习】由大变小 由大变小 y轴 【小试牛刀】1.(1)(2)(3) (4)2.B 解析：由已知，得012a1，解得0a1，所以函数y1.5x在R上是增函数，因为2.53.2，所以1.52.51.5，所以0.61.21.701,0.92.10.92.1.(4)当a1时，yax在R上是增函数，故a1.1a0.3；当0a1时，yax在R上是减函数，故a1.11.501，0.60.60.60.6，又函数y0.6x在(，)上是减函数，且1.50.6，所以0.61.50.60.6，故0.61.50.60.61.50.6，
7、选C.例2 （1） 解析4x423x，x23x，x1时，a5xax7，且函数yax为增函数，5xx7，解得x.当0aax7，且函数yax为减函数，5x.综上所述，当a1时，x的取值范围为.当0a1时，x的取值范围为.【跟踪训练】2 B 解析：2x14，212x122，1x12，2x1.又xZ，x0或x1，即N0，1，MN1例3 解：令ux22x，则原函数变为y()u.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又y()u在(，)上递减，y()x2-2x在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，y()u，u1，)，01时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为1，
8、)，减区间为(，1；当0a1时，原函数的增区间为(，1，减区间为1，).例4 解：(1)f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，f(0)0，即a0，a.(2)由(1)知f(x)，故f(x)在R上为减函数.(3)f(x)为奇函数，f(t22t)f(2t2k)0可化为f(t22t)k2t2，即3t22tk0对于一切tR恒成立，412k0，得k，k的取值范围是.【跟踪训练】4 (1)证明由题意知f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)解f(x)在定义域上是增函数证明如下：任取x1，x2R，且x1x2， f(x2)f(x1)(1)(1).x10, 10, 10，f(x2)f
9、(x1)，f(x)为R上的增函数(3)解f(x)1，3x03x110220，111，即f(x)的值域为(1,1)【当堂达标】1.A 解析:f(x)的定义域为R，f(x)3x3xf(x)，则f(x)为奇函数.y3x为增函数，y为减函数，则f(x)3x为增函数，故选A.2.A 解析: 设t1x，则yt，则函数t1x的递减区间为(，),即为y1x的递增区间3.ACD 解析:对于A，正确；对于B，错误；对于C，在定义域中单调递增，正确；对于D，又，则，正确.4.，5. x|x1 解析: 原不等式可化为232x243x，因为函数y2x是R上的增函数，所以32x43x，解得x1，则解集为x|x0.2，所以
10、1.80.11.80.2.(2)因为1.90.31.901，0.73.10.73.1.(3)当a1时，函数yax是R上的增函数，又1.32.5，故a1.3a2.5；当0a1时，函数yax是R上的减函数，又1.3a2.5.7. 解：(1)由已知得a2，解得a，因为f(x)在R上递减，2b22，所以f(2)f(b22)(2)因为x0，所以x22x1，所以3，即函数g(x) (x0)的值域为(0,38.(1)方法一：f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，即k10，k1.当k1时，f(x)axax，f(x)axax(axax)f(x)，故k1符合题意方法二：f(x)kaxax，f(x)kaxax，又f(x)是奇函数，f(x)f(x)在定义域R上恒成立，解得k1.(2)f(1)a0，又a0，且a1，a1.yax，yax都是R上的增函数，f(x)是R上的增函数故f(x22x)f(4x2)0f(x22x)f(4x2)f(x24)x22xx24x2.f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为x|x2
