1、4.1 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲）一导数的概念1.如果当x0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极根，则称yf(x)在xx0处可导，并把这个确定的值叫做yf(x)在xx0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f(x0)或，即f(x0)2.当xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，yf(x)就是x的函数，我们称它为yf(x)的导函数(简称导数)，记为f(x)(或y)，即f(x)y二导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)（点斜式）三基本初等函数的导数公式
2、原函数导函数f(x)c(c为常数)0f(x)xn(nQ*)nxn1f(x)sin xcos xf(x)cos xsinxf(x)ax(a0且a1)axln af(x)exexf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)ln x(x0)四导数的运算法则(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)g(x)f(x)(3)(g(x)0)五复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)与ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)(2)复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为y
3、xyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积一 导数概念理解f(x)y，应是两个变量的差值，如果不是两个变量的差值，要进行拼凑二 导数运算连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式：化为和、差形式，再求导复合函数：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元三 导数的几何意义四 在型与过型的切线方程1.在型2.过型3.求参（1）斜率：（2）代点：切点在切线上，代入切线方程；切点在曲线上，代入曲线五公切线法一：利用其中一曲线在某
4、点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；法二：设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，f(x1)，在yg(x)上的切点P2(x2，g(x2)，则f(x1)g(x2).法三：两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解六切点或切线数量1.判断切点或切线数量：利用在型或过型列出关于切点x0的方程f(x0)，判断方程解的个数：（1）f(x0)是一元二次方程，可以用判别式判断（2）f(x0)若不是一元二次方程，则判断其零点个数或与x轴交点的个数，一般采用图像法；画未学过函数图像一般需要知道单
5、调区间（导数法），极值和端点值或端点值的正负2.已知切点或切线数量求参：一般采用分离参数，变成两个函数的交点个数问题考法一 导数的概念及应用【例1-1】（2023山东潍坊统考模拟预测）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（）A2B-1C1D【答案】C【解析】.故曲线在点处的切线斜率为.故选：C【例1-2】（2023湖南）如图，直线是曲线在处的切线，则_.【答案】【解析】直线过点，直线斜率，又直线是在处的切线，又，.故答案为：.【例1-3】（2023云南）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（）ABCD【答案】A【解析】由图知：，即.故选：A【例1-4】（2022
6、湖北武汉市第一中学）已知，则（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，所以，解得；故选：B【一隅三反】1（2023春河南）已知是函数的导函数，若，则（）AB2CD8【答案】C【解析】故选：C2（2022秋江苏徐州高三徐州市第七中学校考阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（）ABCD【答案】B【解析】，则根据导数值的定义：，由导数的几何意义可知，在点处的切线的斜率为.故选：B3（2023春江苏）如图，函数的图象在点处的切线是，则（）ABC2D1【答案】D【解析】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则切线，.故选：D4.（2023江西）若函数的导函数为，且满
7、足，则（）ABCD【答案】D【解析】由，得，令，则，解得，所以，.故选：D.考法二 导数的运算【例2】（2023广东湛江）求下列函数的导数(1) (2)； (3)(4)； (5)；【答案】(1)；(2)；(3)(4)(5)；【解析】（1）.（2）（3）（4）因为函数可以看做函数和的复合函数，根据复合函数求导公式可得，；（5）函数，所以.【一隅三反】1（2023春四川）求下列函数的导数(1)； (2) (3) (4)(5)； (6)； (7) (8)；【答案】(1) (2)(3)(4).(5) (6) (7) (8)【解析】（1）因为，则.（2）因为，则.（3）由已知，所以；（4）（5）因为，所
8、以.（6）因为，所以.（7）因为，所以（8）因为，所以考法三 导数的几何意义【例3-1】（2023吉林）曲线在处切线的斜率为（）A1B2C3D4【答案】D【解析】，故曲线在处切线的斜率为.故选：D【例3-2】（2023全国模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线的倾斜角为，则_【答案】【解析】由，得则，解得故答案为：.【例3-3】（2023春内蒙古呼和浩特高三统考阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（）ABCD【答案】C【解析】，曲线在点处的切线的斜率，切线与直线垂直，直线的斜率为，.故选：C.【例3-4】（2023湖南）设点是曲线上任意一点，直线过点与曲线相切，则直线的倾斜角的取值
9、范围为_.【答案】【解析】设直线的倾斜角为故答案为：【一隅三反】1（2023四川）函数在处切线的倾斜角为_.【答案】【解析】,则，即函数在处切线的斜率为1，则倾斜角为故答案为：2（2023重庆）若曲线在点处的切线与平行，曲线在点处的切线与直线垂直，则_【答案】【解析】设，.则，.直线的斜率为，由导数的几何意义可得，所以.又，.直线的斜率为，由导数的几何意义可得，所以.所以.故答案为：.3（2023全国高三专题练习）已知，则曲线在点处的切线的斜率为 【答案】【解析】对，求导可得，得到，所以，所以，故选D4（2023春河南）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 【答案】0，【
10、解析】因为，所以，因为，所以，又，所以，故选：D.考点四 在型与过型的切线方程【例4-1】（1）（2023上海）已知函数，则曲线在点处的切线方程是_.（2）（2023春河北）若，则曲线在处的切线方程为 【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，所以切线方程为：，即或.故答案为：（2），令，解得.所以，则.所以曲线在处的切线方程为，即.故选：.【例4-2】（1）（2023北京东城统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为 （2）2023江苏南通二模）过点 作曲线的切线，写出一条切线的方程_【答案】（1）（2）（答案不唯一）【解析】（1）由函数，可得，设切点坐标
11、为，可得切线方程为，把原点代入方程，可得，即，解得，所以切线方程为，即.故选：A.（2），设切点坐标为，则切线斜率为，得方程，代入点，得，即，解得或，当时，切线方程为；当时，切线方程为.故答案为：（或）.【例4-3】（1）（2023江西校联考模拟预测）若直线与曲线相切，则_.（2）（2022全国模拟预测）已知函数在处的切线过原点，则a的值为 （3）（2023新疆阿克苏校考一模）若直线与曲线相切，则k的取值范围是 【答案】（1）2（2）（3）【解析】（1）设切点坐标为，由曲线可得，则，解得，所以故答案为：2（2）由，则，所以，即切线方程为，又函数在处的切线过原点，所以，即（3），由导数的几何意义
12、可知，.【一隅三反】1.（2023吉林）函数在点处的切线的方程是_.【答案】【解析】因为函数，所以，所以函数在点处切线的斜率为：，所以函数到点处切线方程为：，故答案为：.2（2023陕西咸阳）已知函数，那么在点处的切线方程为_【答案】【解析】由，则，所以，又，所以在点处的切线方程为，即故答案为：3（2023春上海浦东新）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为_.【答案】【解析】设切点坐标为，,则切线的斜率，故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，整理得到，解得，所以切线方程为故答案为: .4（2023吉林）已知函数，则曲线过点的切线方程为_【答案】或【解析】设切点为，则切线斜率为，故曲线在
13、处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程可得，解或，故所求切线方程为或，即或.故答案为：或.5（2023四川成都成都实外校考模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（）AeBCD【答案】C【解析】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，则，解得.故选：C6（2023春上海杨浦）已知为实数，函数在处的切线方程为，则的值为_【答案】【解析】因为，所以，则，由处的切线方程为，得切线的斜率为，所以，得，所以，当时，所以切点为，将代入切线方程得：，解得，所以.故答案为：考法五 公切线【例5-1】（2023安徽）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为_【答案】或【解析】由得，设切点为，所以切线的斜
14、率为，则直线l的方程为：；由得，设切点为，所以切线的斜率为，则直线l的方程为：所以，消去得，故或，所以直线l的方程为：或故答案为：或【例5-2】（2023山西校联考模拟预测）若直线与函数和的图象都相切，则（）ABCD【答案】D【解析】设直线与函数和的图象分别相切于点，则由，得，令，得，将代入中得，由，得，令，得，将代入中得，所以故选：D【例5-3】（2023陕西榆林校考模拟预测）若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（）ABC0D1【答案】B【解析】因为直线与曲线相切，切点为，可知直线的方程为，又直线与曲线也相切，切点为，可知直线的方程为，所以，两式相除，可得，所以.故选：B
15、【一隅三反】1（2023云南）已知曲线与曲线有相同的切线，则这条切线的斜率为_.【答案】【解析】设曲线与曲线的切点分别为，又，所以，所以切线为，即，即，所以，所以，即这条切线的斜率为.故答案为：.2（2023陕西渭南统考一模）已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于 【答案】2【解析】设是图象上的一点，所以在点处的切线方程为，令，解得，所以，所以或（此时为，不符合题意，舍去），所以，此时可化为，所以.3（2023河北）若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为 【答案】【解析】，设公切线与的图像切于点，与曲线切于点，所以，故，所以，所以，因为，故，设，则，令当时，当时，所以在上递增，在上递减，所
16、以，所以实数a的最大值为e，考点六 切线条数或切点个数【例6-1】（2023福建）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数最多为（）A1B2C3D4【答案】C【解析】因为函数，所以，设过点作曲线的切线，切点为，则有，也即，又因为，所以令，当时，函数单调递减，当或时，函数单调递增，综上：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又因为，所以函数有三个零点，分别在区间上，也即方程有三个不同的根，所以过点作曲线的切线，有三个不同的切点，也即过点可作曲线的切线的条数最多为，故选：.【例6-2】（2023四川眉山统考二模）已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】设
17、切点为，由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以在点处的切线为：，因为切线过点，所以，即，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线与图象交点的个数，设，则由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调递增，当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，的图象如下图，且，要使与的图象有三个交点，则.则的取值范围是:.故选：A.【例6-3】（2023秋黑龙江哈尔滨高三哈尔滨市第六中学校校考期末）过点可以作曲线的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则的值为（）A1B2CD3【答案】D【解析】，设切点为坐标，则，即，则，由题意知有两解，分别为m，n，故，故选：D.【一隅三反】1（202
18、3全国高三专题练习）过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为_.【答案】【解析】时，设切点，则，切线过，时，切点，切线过，故.故答案为：.2（2023春湖南株洲高三株洲二中校考阶段练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（）ABCD【答案】B【解析】设曲线在点处的切线为，由可知直线的斜率为，故直线的方程为，将代入直线可得关于的方程具有两个不相等的正数解，构造函数，则，当时，单调递减；当时，单调递增，且当时，；，当，即时，即当时，；故为了使方程有两个不相等的正数解，则须使.故选：B.3（2023春江苏南通高三校考开学考试）已知函数，存在两条过原点的直线与曲线相切，则实数a的取值范围是（）ABC
19、D【答案】D【解析】设切点坐标为，又，则切线斜率又，则切线方程为：，又切线过原点，则，即方程在上有两不相等的实根，设，则，当时，恒成立，在上单调递增，不可能存在两个零点，故不符合题意；当时，得，当时，单调递减，时，单调递增，要使得两个不同的零点，则，解得，又，时，故当时，有两个零点，则实数a的取值范围是.故选：D.4（2023陕西西安统考一模）过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】，设切点为，则切线方程为，切线过点，整理得到，方程有三个不等根.令，则，令，则或，当或时，函数单调递增；当时，函数单调递减，极大值，极小值，函数与有三个交点，则，的取值范围为.
20、故选：D考点七 导数几何意义与其他知识综合【例7-1】（2023湖北统考模拟预测）已知，直线与曲线相切，则的最小值是（）A16B12C8D4【答案】D【解析】对求导得，由得，则，即，所以，当且仅当时取等号故选：D【例7-2】（2023福建福州福州三中校考模拟预测）已知函数，且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以所以，解得，所以由题意可知，所以.故选：B.【例7-3】（2023全国高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为A2B1CD【答案】D【解析】先求曲线上切线斜率为的点的横坐标：令，解得，代入曲线方程求得，故切点为，斜率为
21、的直线方程为，将两条平行直线的方程化为一般式得，故两平行直线的距离为.故选D.【一隅三反】 1（2023山东）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（）ABCD【答案】C【解析】因为所以当时，此时，故选：C.2.（2022湖北黄冈中学）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（）A8B9C10D13【答案】B【解析】设切点为 ，的导数为，由切线的方程可得切线的斜率为1，令，则 ，故切点为，代入，得，、为正实数，则，当且仅当，时，取得最小值9，故选：B3（2023广东）已知点A是函数f(x)x2ln x2图象上的点，点B是直线yx上的点，则|AB|的最小值为()A. B2C. D.【答案】A【解析】当与直线yx平行的直线与f(x)的图象相切时，切点到直线yx的距离为|AB|的最小值f(x)2x1，解得x1或x(舍去)，又f(1)3，所以切点C(1,3)到直线yx的距离即为|AB|的最小值，即|AB|min.
