1、优化集训16向量与几何基础巩固1.已知向量a,b的夹角为3,|a|=2,|b|=1,则|a-2b|=()A.2B.23C.4D.432.在ABC中,A=90,AB=(2-k,2),AC=(2,3),则k的值是()A.5B.-5C.32D.-323.(2023浙江金华)如图,四边形ABCD为直角梯形,D=90,ABCD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论错误的是()A.AC=AD+12ABB.MC=12AC+12BCC.BC=AD-12ABD.MN=AD+14AB4.已知向量m,n的夹角为3,且|m+2n|=3,|m|=1,则|n|=()A.13B.1C.12D.25.已知向
2、量a=(3,-1),b=(1,0),则a在b上的投影向量是()A.bB.0C.-bD.3b6.已知a,b是单位向量,且a+b=(1,-1).若向量c=a-b,则a与c的夹角为()A.6B.4C.3D.237.若平面向量a与b满足|a|=2,|b|=1,|a+b|=7,则a与b的夹角为()A.30B.45C.60D.1208.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|2a+b|=7,则b与b-a的夹角为()A.30B.60C.120D.1509.(多选)(2023浙江丽水)已知a,b是单位向量,则下列说法正确的有()A.若a=-32,t,则t=12B.若a,b不共线,则(a+b)(a-b)C.
3、若|a-b|3,则a,b夹角的最小值是23D.若a,b的夹角是34,则b在a上的投影向量是22a10.(多选)(2023浙江浙南名校联盟)已知e1,e2是单位向量,且e1e2=12,若该平面内的向量a满足ae1=ae2=1,则下列说法正确的有()A.=6B.a(e1-e2)C.a=23(e1+e2)D.|a|=23311.(2021浙江学考)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,ab=-1,则|a+b|=.12.(2023浙江杭州)若向量a=12,32,b=(-1,3),则a在b上的投影向量的坐标为.13.若平面向量a,b满足|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60,则a(a-b)=
4、.14.若四边形ABCD是边长为2的菱形,且BAD=3,则ABAD=,|AB-CB|=.15.(2023浙江A9协作体)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=ta+b(tR).(1)若向量a,b的夹角为3,且bc,求t的值;(2)若|c|的最小值为3,求向量a,b的夹角.16.在平面四边形ABCD中,向量a=AB=(4,1),b=BC=(3,-1),c=CD=(-1,-2).(1)若向量a+2b与向量b-kc垂直,求实数k的值;(2)若DB=mDA+nDC,求实数m,n.能力提升17.已知单位向量e1,e2满足|e1|=|e1-e2|,则(e1-e2)与e2的夹角是()A.60
5、B.90C.120D.15018.已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满足AO=12(AB+AC),且|AB|=1.设与BC方向相同的单位向量为e,则向量BA在向量BC上的投影向量为()A.12eB.-12eC.32eD.-32e19.(多选)(2023浙江杭州六县九校)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(,-1),R,R,则下列说法正确的有()A.若=1,则a+2b在c上的投影向量为-32cB.与b共线的单位向量的坐标为255,55C.若a=tb+c,tR,则+t=-4D.|a+b|的最小值为75520.(2023浙江精诚联盟)已知向量b在单位向量a上的投影向量为-2a,则(a
6、-b)a=.21.已知ABC内接于圆O,且AB=4,AC=2,则AOBC=;若AO=AB+AC,则圆O的半径等于.22.(2023浙江温州A卷)在菱形ABCD中,AE=13AD,BF=23BC,记AB=a,AD=b.(1)用a,b表示EF;(2)若BDEF=ABDA,求cos A的值.优化集训16向量与几何基础巩固1.A解析 |a-2b|2=|a|2-4ab+4|b|2=4-42112+4=4,|a-2b|=2.故选A.2.A解析 A=90,即ABAC,ABAC=4-2k+6=0,解得k=5.故选A.3.D解析 由AC=AD+DC=AD+12AB,知A正确;由CM=12(CA+CB),得MC=
7、12(AC+BC),知B正确;由BC=MD=AD-AM=AD-12AB,知C正确;由N为线段DC的中点,得MN=12MA+AD=AD-14AB,知D错误.4.C解析 因为向量m,n的夹角为3,|m|=1,所以|m+2n|2=|m|2+4|m|n|cos3+4|n|2=4|n|2+2|n|+1=3,解得|n|=12或|n|=-1(舍去).故选C.5.D解析 a在b上的投影向量为ab|b|2b=31b=3b,故选D.6.B解析 由a+b=(1,-1),得a2+b2+2ab=12+(-1)2=2.因为a,b是单位向量,所以1+1+2ab=2,得ab=0,则|a-b|2=a2+b2-2ab=2,所以|
8、a-b|=2.设a,c的夹角为,a,a-b的夹角为,所以cos=cos=a(a-b)|a|a-b|=a2-ab12=12=22,所以a与a-b的夹角为4.7.C解析 |a+b|=(a+b)2=a2+b2+2ab=|a|2+|b|2+2|a|b|cos=1+4+4cos=7,解得cos=12,=60.故选C.8.A解析 由|2a+b|=7,得4|a|2+4ab+|b|2=7,|a|=1,|b|=3,解得ab=0,|b-a|=2.cos=b(b-a)|b|b-a|=323=32,=30.9.BC解析 对于A,因为向量a是单位向量,所以|a|=(-32)2+t2=1,得t=12,故A错误;对于B,(
9、a+b)(a-b)=a2-b2=1-1=0,所以(a+b)(a-b),故B正确;对于C,|a-b|=(a-b)2=a2-2ab+b2=2-2cos3,得cos-12,则23,所以a,b夹角的最小值是23,故C正确;对于D,b在a上的投影向量是|b|cosa=-22a,故D错误.故选BC.10.BCD解析 因为e1,e2是单位向量,且e1e2=12,所以e1e2=|e1|e2|cos=cos=12,因为0,所以=3,故A错误;因为ae1=ae2,所以a(e1-e2)=0,即a(e1-e2),故B正确;设a=me1+ne2,m,nR,因为ae1=ae2=1,所以ae1=(me1+ne2)e1=m+
10、12n=1,ae2=(me1+ne2)e2=12m+n=1,解得m=n=23,所以a=23(e1+e2),故C正确;因为|e1+e2|=e12+e22+2e1e2=12+12+212=3,所以|a|=23|e1+e2|=233,故D正确.故选BCD.11.3解析 |a+b|2=4+2(-1)+1=3,|a+b|=3.12.-14,34解析 向量a=12,32,b=(-1,3),则a在b上的投影向量的坐标为ab|b|b|b|=12b2=14(-1,3)=-14,34.13.24解析 a(a-b)=a2-ab=36-2412=24.14.223解析 由题意ABAD=|AB|AD|cos3=2212
11、=2,|AB-CB|=|AB+BC|=|AB+AD|=(AB+AD)2=AB2+2ABAD+AD2=22+22+22=23.15.解 (1)因为bc,所以bc=b(ta+b)=0,即tab+b2=0,所以t|a|b|cos3+|b|2=0,代入|a|=1,|b|=2得t+4=0,故t=-4.(2)设a,b的夹角为,由c=ta+b得|c|2=(ta+b)2=t2a2+2tab+b2=t2+4cost+4=(t+2cos)2+4-4cos2,故当t=-2cos时,|c|2有最小值4-4cos2.由题意4-4cos2=3,解得cos=12,又0,所以=3或23.16.解 (1)向量a+2b与向量b-
12、kc垂直,(a+2b)(b-kc)=0.(10,-1)(3+k,-1+2k)=0.30+10k+1-2k=0,k=-318.(2)BD=BC+CD=(2,-3),DB=(-2,3).AD=AB+BC+CD=(6,-2),DA=(-6,2),DC=(1,2).DB=mDA+nDC,(-2,3)=m(-6,2)+n(1,2),-2=-6m+n,3=2m+2n,解得m=12,n=1.能力提升17.C解析 因为单位向量e1,e2满足|e1|=|e1-e2|,所以(e1-e2)2=e12-2e1e2+e22=1,解得e1e2=12,所以(e1-e2)e2=e1e2-e22=-12,cos=(e1-e2)
13、e2|e1-e2|e2|=-12.因为0180,所以=120.故选C.18.A解析 由AO=12(AB+AC)可知O为BC中点,所以ABC为直角三角形,BAC=90.因为|AB|=1,|BC|=2,所以ABC=60,即向量BA与BC的夹角为60.因此向量BA在向量BC上的投影向量为|BA|cos60e=112e=12e.故选A.19.AD解析 对于A,当=1时,c=(1,-1),a+2b=(1,4),(a+2b)c=1-4=-3,|c|=12+(-1)2=2,a+2b在c上的投影向量为(a+2b)c|c|c|c|=-32c,故A正确;对于B,与b共线的单位向量的坐标为b|b|=255,55和-
14、b|b|=-255,-55,故B错误;对于C,a=tb+c,(-3,2)=(2t+,t-1),2t+=-3,t-1=2,解得t=3,=-9,+t=-6,故C错误;对于D,a+b=(2-3,+2),|a+b|=(2-3)2+(+2)2=52-8+13=5(-45)2+495495=755,|a+b|的最小值为755,故D正确.故选AD.20.3解析 由向量b在单位向量a上的投影向量为-2a,可得ab=-2a2=-2,所以(a-b)a=a2-ab=1-(-2)=3.21.-62解析 AOBC=AO(AC-AB)=12(AC2-AB2)=12(4-16)=-6.由AO=AB+AC得,OA=OB+OC,两边平方得,cosBOC=-12,BOC=23,BAC=3,ABC是以AB为斜边的直角三角形,圆O的半径等于2.22.解 (1)因为AE=13AD,BF=23BC,所以EF=EA+AB+BF=-13AD+AB+23AD=13AD+AB=13b+a.(2)设菱形ABCD的边长为t.因为BD=AD-AB=b-a,所以(b-a)13b+a=a(-b),即13b2-a2=-53ab,13t2-t2=-53t2cosA,解得cosA=25.
