1、12.2推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2017课标理,7,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案D本题主要考查逻辑推理能力.由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩;丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D.2.(201
2、4北京理,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人答案B设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.因此:ny,yz,2zx
3、,且x,y,z均为正整数.当z=4时,8xy4,x的最大值为7,y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.xyzx2,当x=3时,条件不成立,当x=4时,条件不成立,当x=5时,5yz52,此时z=3,y=4.该小组人数的最小值为12.6.(2016山东文,12,5分)观察下列等式:sin3-2+sin23-2=4312;sin5-2+sin25-2+sin35-2+sin45-2=4323;sin7-2+sin27-2+sin37-2+sin67-2=4334;sin9-2+sin29-2+sin39-2+sin89-2=4345;照此规律,sin2n+1-2+sin22n+1-2+sin3
4、2n+1-2+sin2n2n+1-2=.答案4n(n+1)3解析观察前4个等式,由归纳推理可知sin2n+1-2+sin22n+1-2+sin2n2n+1-2=43n(n+1)=4n(n+1)3.评析本题主要考查了归纳推理,认真观察题中给出的4个等式即可得出结论.7.(2015福建理,15,4分)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*),其中xk(k=1,2,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组:x4x5x6x7=0,x2x3x6x7=0,x1x3x5x
5、7=0,其中运算定义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.答案5解析设a,b,c,d0,1,在规定运算法则下满足:abcd=0,可分为下列三类情形:4个1:1111=0,2个1:1100=0,0个1:0000=0,因此,错码1101101通过校验方程组可得:由x4x5x6x7=0,11010;由x2x3x6x7=0,1001=0;由x1x3x5x7=0,10110,错码可能出现在x5,x7上,若x5=0,则检验方程组都成立,故k=5.若x7=0,此时x2x3x6x70,故k7
6、.综上分析,x5为错码,故k=5.评析本题主要考查推理,考查学生分析、解决问题的能力,属中等难度题.8.(2015陕西文,16,5分)观察下列等式1-12=121-12+13-14=13+141-12+13-14+15-16=14+15+16据此规律,第n个等式可为.答案1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n解析规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2,2n,分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-12+13-14+12n-1-12n;等式右边共有n项且分母分别为n+1,n+2,2n,分子为1,即为1n+1+1n+2+12n.所以第n个等式可为1-12
7、+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n.9.(2014课标,理14,文14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案A解析由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B城市,乙没有去过C城市,因此三人去过的同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A.10.(2014陕西理,14,5分)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6
8、812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.答案F+V-E=2解析观察表中数据,并计算F+V分别为11,12,14,又其对应E分别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2.11.(2014北京文,14,5分)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:原料时间工序粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为个工作日.答案42解析工序流程图如图所示:则最短交货期为6+21+15=42个工作日.12.(2014
9、安徽文,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=22.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7,则a7=.答案14解析由BC=22得AB=a1=2AA1=a2=2A1A2=a3=222=1,由此可归纳出an是以a1=2为首项,22为公比的等比数列,因此a7=a1q6=2226=14.13.(2013安徽理,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,An,和B1,B2,Bn,分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1
10、的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列an的通项公式是.答案an=3n-2解析记OA1B1的面积为S,则OA2B2的面积为4S.从而四边形AnBnBn+1An+1的面积均为3S.即得OAnBn的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S.an2=3n-2,即an=3n-2.评析OAnBn的面积构成一个等差数列,而OAnBn与OA1B1的面积比为an2,从而得到an的通项公式.本题综合考查了平面几何、数列的知识.考点二直接证明与间接证明1.(2014山东理,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax
11、+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案A因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.2.(2015北京理,20,13分)已知数列an满足:a1N*,a136,且an+1=2an,an18,2an-36,an18(n=1,2,).记集合M=an|nN*.(1)若a1=6,写出集合M的所有元素;(2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(3)求集合M的元素个数的最
12、大值.解析(1)6,12,24.(2)证明:因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.由an+1=2an,an18,2an-36,an18可归纳证明对任意nk,an是3的倍数.如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.如果k1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.类似可得,ak-2,a1都是3的倍数.从而对任意n1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.(3)由a136,an=2an-1,an-118,2an-1-36,an-118可归纳证明an
13、36(n=2,3,).因为a1是正整数,a2=2a1,a118,2a1-36,a118,所以a2是2的倍数,从而当n3时,an是4的倍数.如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数,因此当n3时,an12,24,36,这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数,因此当n3时,an4,8,16,20,28,32,这时M的元素个数不超过8.当a1=1时,M=1,2,4,8,16,20,28,32有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.考点三数学归纳法1.(2017浙江,22,15分)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn
14、+1+ln(1+xn+1)(nN*).证明:当nN*时,(1)0xn+10.当n=1时,x1=10.假设n=k时,xk0,那么n=k+1时,若xk+10,则00.因此xn0(nN*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此0xn+10(x0).函数f(x)在0,+)上单调递增,所以f(x)f(0)=0,因此xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0,故2xn+1-xnxnxn+12(nN*).(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn12n-1.由xnxn+122xn+1-xn得1xn+1-1221
15、xn-120,所以1xn-1221xn-1-122n-11x1-12=2n-2,故xn12n-2.综上,12n-1xn12n-2(nN*).方法总结1.证明数列单调性的方法.差比法:作差an+1-an,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断其符号.商比法:作商an+1an,判断an+1an与1的大小,同时注意an的正负.数学归纳法.反证法:例如求证:nN*,an+10),则有n2时,an=a1a2a1a3a2anan-1a1qn-1(其中a10).放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列an放缩成等比数列bn,求和后,再进行适当放缩.2.(2014重庆理,22,
16、12分)设a1=1,an+1=an2-2an+2+b(nN*).(1)若b=1,求a2,a3及数列an的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有nN*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a2=2,a3=2+1.由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而(an-1)2是首项为0,公差为1的等差数列,故(an-1)2=n-1,即an=n-1+1(nN*).解法二:a2=2,a3=2+1,可写为a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即ak=
17、k-1+1,则ak+1=(ak-1)2+1+1=(k-1)+1+1=(k+1)-1+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以an=n-1+1(nN*).(2)解法一:设f(x)=(x-1)2+1-1,则an+1=f(an).令c=f(c),即c=(c-1)2+1-1,解得c=14.下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+11.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=2-1,所以a214a31,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上为减函数得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故c
18、a2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=14.解法二:设f(x)=(x-1)2+1-1,则an+1=f(an).先证:0an1(nN*).当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上为减函数,从而0=f(1)f(ak)f(0)=2-11.即0ak+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.故成立.再证:a2na2n+1(nN*).当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=2-1,有a2a3,即n=1时成立.假设n=k时,结论成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时成立.所以对一切nN*成立.由得a2na2n2-2a2n+2-1,即(a2n+1)2a2n2-2a2n+2,因此a2nf(a2n+1),即a2n+1a2n+2,所以a2n+1a2n+12-2a2n+1+2-1,解得a2n+114.综上,由、知存在c=14使a2nca2n+1对一切nN*成立.评析本题考查由递推公式求数列的通项公式,数学归纳法,等差数列等内容.用函数的观点解决数列问题是处理本题的关键.
