1、专题检测（二十） 导数的几何意义及简单应用A组“633”考点落实练一、选择题1.已知函数f(x)的导函数f(x)满足下列条件：f(x)0时，x2；f(x)0时，1x2；f(x)0时，x1或x2.则函数f(x)的大致图象是()解析：选A根据条件知，函数f(x)在(1，2)上是减函数.在(，1)，(2，)上是增函数，故选A.2.设函数f(x)xex1，则()A.x1为f(x)的极大值点B.x1为f(x)的极小值点C.x1为f(x)的极大值点D.x1为f(x)的极小值点解析：选D由题意得，f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x(，1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，则f(x)在
2、(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以x1为f(x)的极小值点，故选D.3.已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为()A.ln 2B.1C.1ln 2 D.1ln 2解析：选D由yxln x知yln x1，设切点为(x0，x0ln x0)，则切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)，因为切线ykx2过定点(0，2)，所以2x0ln x0(ln x01)(0x0)，解得x02，故k1ln 2，选D.4.若x 是函数f(x)(x22ax)ex的极值点，则函数yf(x)的最小值为()A.e B.0C.e D.e解析：选Cf(x)(x22ax)ex，f(x)(2x2
3、a)ex(x22ax)exx22(1a)x2aex，由已知得，f0，所以222a2a0，解得a1.所以f(x)(x22x)ex，所以f(x)(x22)ex，所以函数的极值点为，当x时，f(x)0；所以函数yf(x)是减函数，当x或x时，f(x)0，函数yf(x)是增函数.又当x(，0)(2，)时，x22x0，f(x)0，当x(0，2)时，x22x0，f(x)0，所以f(x)min在x(0，2)上，又当x时，函数yf(x)递减，当x时，函数yf(x)递增，所以f(x)minfe.5.已知函数f(x)(2xln xa)ex在(0，)上单调递增，则实数a的最大值是()A.5ln 2 B.52ln 2
4、C.2ln 2 D.52ln 2解析：选Af(x)(2xln xa)ex，f(x)(2xln x2a)ex，x(0，).依题意，知x(0，)时，f(x)0恒成立，即a2xln x2在(0，)上恒成立.设g(x)2xln x2，则g(x)2，x(0，).令g(x)0，得x或x1(舍去).令g(x)0，则0x，令g(x)0，则x，当x时，函数g(x)取得最小值，g(x)ming5ln 2，a5ln 2，即实数a的最大值是5ln 2.故选A.6.已知函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)4x，设af(log30.2)，bf(30.2)，cf(31.1)，则()A.cab B.abcC.cba D.
5、bac解析：选A因为函数f(x)为偶函数，所以af(log30.2)f(log30.2)，cf(31.1)f(31.1).因为log3log30.2log3，所以2log30.21，所以1log30.22，所以31.13log30.2130.2.因为y在(0，)上为增函数，y4x在(0，)上为增函数，所以f(x)在(0，)上为增函数，所以f(31.1)f(log30.2)f(30.2)，所以cab，故选A.二、填空题7.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_.解析：设A(m，n)，则曲
6、线yln x在点A处的切线方程为yn(xm).又切线过点(e，1)，所以有n1(me).再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e，1).答案：(e，1)8.若函数f(x)xaln x不是单调函数，则实数a的取值范围是_.解析：由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，要使函数f(x)xaln x不是单调函数，则需方程10在(0，)上有解，即xa，a0.答案：(，0)9.设定义在R上的函数yf(x)的导函数为f(x).如果存在x0a，b，使得f(b)f(a)f(x0)(ba)成立，则称x0为函数f(x)在区间a，b上的“中值点”.那么函数f(x)x33x在区间2，2上的“中值点”
7、为_.解析：由f(x)x33x求导可得f(x)3x23，设x0为函数f(x)在区间2，2上的“中值点”，则f(x0)1，即3x31，解得x0.答案：三、解答题10.已知函数f(x)x2axaln x.(1)若曲线yf(x)在x2处的切线与直线x3y20垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在2，3上单调递增，求实数a的取值范围.解：(1)f(x)2xa(x0)，依题意有f(2)3，a2.(2)依题意有2x2axa0在x2，3上恒成立，即a在2，3上恒成立，0(x2，3), y在2，3上单调递减，当x2，3时，8，实数a的取值范围为8，).11.(2019重庆市七校联合考试)设函数f(x)，g
8、(x)a(x21)ln x(aR，e为自然对数的底数).(1)证明：当x1时，f(x)0；(2)讨论g(x)的单调性.解：(1)证明：f(x)，令s(x)ex1x，则s(x)ex11，当x1时，s(x)0，所以s(x)在(1，)上单调递增，又s(1)0，所以s(x)0，从而当x1时，f(x)0.(2)g(x)2ax(x0)，当a0时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递减，当a0时，由g(x)0得x .当x时，g(x)0，g(x)单调递减，当x时，g(x)0，g(x)单调递增.12.已知函数f(x)asin xbcos x(a，bR)，曲线yf(x)在点处的切线方程为yx.(1)求a，b的值
9、；(2)求函数g(x)在上的最小值.解：(1)由切线方程知，当x时，y0，所以fab0.因为f(x)acos xbsin x.所以由切线方程知，fab1，所以a，b.(2)由(1)知，f(x)sin xcos xsin，所以函数g(x)，g(x)，设u(x)xcos xsin x，则u(x)xsin x0，故u(x)在上单调递减，所以u(x)u(0)0，即g(x)0在上恒成立，所以g(x)在上单调递减，所以函数g(x)在上的最小值为g.B组大题专攻强化练1.设f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数
10、a的取值范围.解：(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，).则g(x)2a.当a0时，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当a0时，x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，x时，g(x)0，函数g(x)单调递减.所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)，当a0时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当a0时，f(x)单调递增，所以当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增.所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意.当0a时，1，由(1)知f(x)在内单调递增
11、，可得当x(0，1)时，f(x)0，x时，f(x)0.所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，不符合题意.当a时，1，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不符合题意.当a时，01，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减，所以f(x)在x1处取得极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为a.2.已知函数f(x)x2axln x(aR).(1)若函数f(x)是单调递减函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在区间(0，3)上既有极大值又
12、有极小值，求实数a的取值范围.解：(1)f(x)2xa(x0)，因为函数f(x)是单调递减函数，所以f(x)0在(0，)恒成立，所以2x2ax10在(0，)恒成立，即a2x对(0，)恒成立，因为2x22，所以a2.(2)因为函数f(x)在(0，3)上既有极大值又有极小值，所以f(x)0在(0，3)上有两个相异实根，即2x2ax10在(0，3)上有两个相异实根，令g(x)2x2ax1，则得即2a.所以实数a的取值范围是.3.(2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax22.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0a0，则当x(，0)时，f(x)0，当x时，f(x)0，故f(x)在(，0)，单调递增
13、，在单调递减；若a0，f(x)在(，)单调递增；若a0，当x时，f(x)0，故f(x)在，(0，)单调递增，在单调递减.(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在0，1的最小值为f2，最大值为f(0)2或f(1)4a.于是m2，M所以Mm当0a2时，可知2a单调递减，所以Mm的取值范围是.当2a3时，单调递增，所以Mm的取值范围是.综上，Mm的取值范围是.4.已知常数a0，f(x)aln x2x.(1)当a4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于a时，求实数a的取值范围.解：(1)由已知得f(x)的定义域为x(0，)，f(x)2.当a4时，f(x).当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)单调递增.f(x)只有极小值，且在x2时，f(x)取得极小值f(2)44ln 2.(2)f(x)，当a0，x(0，)时，f(x)0，即f(x)在x(0，)上单调递增，没有最小值；当a0得，x，f(x)在上单调递增；由f(x)0得，x，f(x)在上单调递减.当a0时，f(x)的最小值为faln2.根据题意得faln2a，即aln(a)ln 20.a0，ln(a)ln 20，解得a2，实数a的取值范围是2，0).
