1、7.2 离散型随机变量及其分布列(精讲)思维导图常见考法考点一 随机变量的辨析【例1】(2021全国高二课时练习)一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为( )A所取球的个数 B其中含红球的个数C所取白球与红球的总数 D袋中球的总数【答案】B【解析】对于A：所取球的个数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项A不正确；对于B：从中任取2个其中含红球的个数为是随机变量，故选项B正确；对于C：所取白球与红球的总数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项C不正确；对于D：袋中球的总数为7个，是定值，故不是随机变量，故选项D不正确；故选：B.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)将
2、一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )A两次掷得的点数 B两次掷得的点数之和C两次掷得的最大点数 D第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差【答案】A【解析】因为随机变量为一个变量，而A中两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，所以不能作为随机变量，故选A.2(2021全国高二课时练习)一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )A取到的球的个数B取到红球的个数C至少取到1个红球D至少取到1个红球或1个黑球【答案】B【解析】A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0，1，2，所以是随机变量C和D叙述的结果也是确定的，故
3、不是随机变量故选：B.3(2021全国高二专题练习)下面给出三个变量:(1)2013年地球上发生地震的次数.(2)在一段时间间隔内某种放射性物质发生的粒子数.(3)在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.其中是随机变量的是_.【答案】(2)(3)【解析】(1)2013年地球上发生地震的次数是确定的，故不是随机变量;(2)发出的粒子数是变化的，是随机变量;(3)通过的宝马车的辆数X是变化的，是随机变量.故答案为：(2)(3)考点二 离散型随机变量及取值【例2-1】(2021全国高二课时练习)下列X是离散型随机变量的是( )某座大桥一天经过的车辆数X；在一段时间间隔内某种放射性物质放出的粒子数
4、；一天之内的温度X；一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.ABCD【答案】B【解析】、中的X取值均可一一列出，而中的X是一个范围.不能一一列举出来，故选：B.【例2-2】(2021全国高二课时练习)抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X4”表示试验的结果为( )A第一枚为5点，第二枚为1点B第一枚大于4点，第二枚也大于4点C第一枚为6点，第二枚为1点D第一枚为4点，第二枚为1点【答案】C【解析】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，所以“X4”即“X=5”，表示试验的结
5、果为第一枚为6点，第二枚为1点，故选：C【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)给出下列各量：某机场候机室中一天的游客数量；某寻呼台一天内收到的寻呼次数；某同学离开自己学校的距离；将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；体积为8的正方体的棱长.其中是离散型随机变量的是( )ABCD【答案】A【解析】由题意，是离散型随机变量，是连续型随机变量，中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.故选：A.2(2021全国高二单元测试)袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是( )A5
6、B9C10D25【答案】B【解析】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.故选：B.3(2021河北辛集中学高二期中)袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球且不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )A1，2，3，6B1，2，3，7C0，1，2，5D1，2，5【答案】B【解析】由于取到白球时停止，所以最少取球次数为1，即第一次就取到了白球；最多次数是7次，即把所有的黑球取完之后再取到白球.所以取球次数可以是1
7、，2，3，7.故选：B4(2021全国高二课时练习)已知小王钱夹中有20元、10元、5元和1元面额的人民币各一张，他决定随机抽出两张，用来买晚餐若用表示所抽两张人民币的金额之和，求出随机变量的取值范围，并分别说明这些取值所表示的随机试验结果【答案】答案见解析.【解析】的取值范围是其中，表示“抽到的是1元和5元”；表示“抽到的是1元和10元”；表示“抽到的是5元和10元”；表示“抽到的是1元和20元”；表示“抽到的是5元和20元”；表示“抽到的是10元和20元”考点三 分布列的性质的应用【例3-1】(2021全国高二课时练习)随机变量X所有可能取值是2，0，3，5，且P(X2)，P(X3)，P(
8、X5)，则P(X0)的值为( )A0BCD【答案】C【解析】由各个变量概率和为1可得：P(X2)P(X0)P(X3)P(X5)1，所以，解得故选：C【例3-2】(2021全国高二课时练习)(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则( )X101PabcAaBbCcDP(|X|1)【答案】BD【解析】由题意得：a，b，c成等差数列2bac.由分布列的性质得abc3b1.故B、D正确；因为题目中未给出a与c的关系，本题我们只知道，故无法求出a与c的值，故A、C错误；故选：BD【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)随机变量的所有可能的取值为1，2，3，10，且P(k)
9、ak(k1，2，10)，则a的值为( )ABC110D55【答案】B【解析】随机变量的所有可能的取值为1，2，3，10，且P(k)ak(k1，2，10)，a2a3a10a1，55a1，a 故选：B.2(2021全国高二课时练习)下列表格中，不是某个随机变量的分布列的是( )AX012P0.70.150.15BX2024P0.50.20.30CX123PDX123Plg 1lg 2lg 5【答案】C【解析】对于ABD，满足，且概率和为0，符合；对于C，不符合，也不符合，所以C项不是随机变量的分布列故选：C3(2021全国高二课时练习)已知随机变量只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列
10、，则该等差数列公差的取值范围是( )ABC3，3D0，1【答案】B【解析】由题意得：设随机变量取x1，x2，x3的概率分别为ad，a，ad，则由分布列的性质得(ad)a(ad)1，故，由，解得.所以公差的取值范围是.故选：B4(2021全国高二单元测试)已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，在这些抛物线中，记随机变量，则( )ABCD【答案】A【解析】由于抛物线的对称轴在y轴左侧，所以，即a，b同号且均不为零，c可取中的任意值，所以共有种不同的情况因为，所以的取值范围是，其中的可能情况为且，所以，的可能情况为且，所以，的可能情况为且，所以，所以故选：A考点四 离散型随机变量的分布列【例4
11、】(2021全国高二课时练习)某品牌汽车的4S点，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如表所示已知分9期付款的频率为0.4，该店销售一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元付款方式分3期分6期分9期分12期频数2020(1)若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3位顾客，求事件“至多有1位采用分6期付款”的概率；(2)按分层抽样方式从这100位顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量，求的分布列【答案】(1) ；(2)
12、答案见解析【解析】(1)由表中可知分6期付款购车的频率为，所以(2)由题意，按分层抽样的方式抽取的5人中，有1人分3期付款，有3人分6期或9期付款，有1人分12期付款随机变量的可能取值是5，6，7则，所以随机变量的分布列为5670.30.40.3【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理如表所示日需求量140150160170180190200频数51088775以50天记录的
13、各日需求量的频率代替各日需求量的概率(1)求该超市水果日需求量(单位：千克)的分布列；(2)若该超市一天购进水果150千克，记超市当天水果获得的利润为(单位：元)，求的分布列【答案】(1)答案见解析 ；(2) 答案见解析【解析】(1)由表格知：总频数为，的分布列为1401501601701801902000.10.20.160.160.140.140.1(2)若水果日需求量为140千克，则(元)，若水果日需求量不小于150千克，则(元)，故的所有可能取值为680，750，则的分布列为6807500.10.92(2021全国高二课时练习)某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1
14、，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的，三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种(1)求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；(2)记，三个区选择的疫苗批号的中位数为，求的分布列【答案】(1) ；(2)随机变量的分布列为：12345【解析】(1)设三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同为事件，则(2)的所有可能取值为1，2，3，4，5，则，所以随机变量的分布列为：123453(2021全国高二课时练习)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之
15、和，求的分布列【答案】答案见解析【解析】由题意，所有可能的取值为3，4，5，6，且，的分布列为34564(2021全国高二课时练习)写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)某市医院明天接到120急救电话的次数(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数是一个随机变量【答案】(1)答案见解析 ；(2) 答案见解析【解析】(1)，表示接到次急救电话，(2)随机变量可能的取值为0，1，2，3表示“取出0个白球”；表示“取出1个白球”；表示“取出2个白球”；表示“取出3个白球”5(2021江苏立人高中高二期中)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个自然数中，任取3个不同的数.(1)这3个数组成一个三位数，求这个三位数能够被5整除的概率；(2)设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布列.【答案】(1)；(2)见解析【解析】(1)10个自然数中选3个组成的三位数的总个数为：能被5整除的三位数个位数字必定位0或5所以能被5整除的三位数的个数为：设事件A=“这个三位数能被5整除”，则；(2)根据题意，所以的分布列可写为：X0123P
