1、专题46 三角函数的图象与性质（多选题） 一、题型选讲题型一 、三角函数的基本概念例1、（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系中，角顶点在原点，以正半轴为始边，终边经过点，则下列各式的值恒大于0的是（ ）ABCD【答案】AB【解析】由题意知，.选项A；选项B，；选项C，；选项D，符号不确定.故选：AB.变式1、（2020枣庄市第三中学高三月考）下列函数，最小正周期为的偶函数有（）ABCD【答案】BD【解析】对于A选项，函数为奇函数，不符合题意.对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合题意.对于C选项，函数的最小正周期为，不符合题意.对于D选项，函数，是最小正周期为的偶函数，
2、符合题意.故选：BD变式2、定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是A. B. C. D. 【答案】AC【解析】：，对于A，可能成立，角可能与角“广义互余”，故A符合条件;对于B，假设角与角“广义互余”，故B不符合条件;对于C，即，又，故，若广义互余即，即C符合条件;对于D，即，又，故，若广义互余即，故D不符合条件故选：题型二、三角函数的性质的简单运用例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则函数具有性质( )A在上单调递增,为偶函数B最大值为1,图象关于直线对称C在上单调递增,为奇函数D周期为,图
3、象关于点对称【答案】ABD【解析】则，单调递增，为偶函数， 正确错误；最大值为，当时，为对称轴，正确；，取，当时满足，图像关于点对称，正确；故选：变式1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）A函数为奇函数B函数在上单调递增C若，则的最小值为D函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象【答案】AC【解析】因为直线是的对称轴,所以,则,当时,则,对于选项A,因为,所以为奇函数,故A正确；对于选项B,即,当时,在当单调递增,故B错误；对于选项C,若,则最小为半个周期,即,故C正确；对于选项D,函数的图象向右平移个单位长度,即,故D错误故选：AC变式2、（2020山
4、东日照高三月考）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则（）A是偶函数B的最小正周期为C的图像关于直线对称D的图像关于点对称【答案】AD【解析】函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，为偶函数，故A正确；的周期为，排除B；因为，所以的图象不关于直线对称，排除C；，故D正确故选：AD.变式3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（ ）A函数在区间上单调递增B函数图象关于直线对称C函数在区间上单调递减D函数图象关于点对称【答案】ABD【解析】函数的图像向右平移个单位长度得到.由于，故是的对称轴，B选项正确.由于，故是的对称中心
5、，D选项正确.由，解得，即在区间上递增，故A选项正确、C选项错误.故选：ABD.变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知的最小正周期为，则下列说法正确的有（ ）AB函数在上为增函数C直线是函数图象的一条对称轴D是函数图象的一个对称中心【答案】BD【解析】， ，故A不正确；当时， 是函数的单调递增区间，故B正确；当时，所以不是函数的对称轴，故C不正确；、当时，所以是函数的一个对称中心，故D正确.故选：BD题型三、三角函数图像与性质的综合运用例3、（2020蒙阴县实验中学高三期末）关于函数的描述正确的是（ ）A其图象可由的图象向左平移个单位得到B在单调递增C在有2个零点D在的最小值为【答案
6、】ACD【解析】由题：，由的图象向左平移个单位，得到，所以选项A正确；令，得其增区间为在单调递增，在单调递减，所以选项B不正确；解，得：，所以取，所以选项C正确；，所以选项D正确.故选：ACD变式1、已知函数，则下列结论正确的是（）A函数的最小正周期为B函数在0,上有2个零点C当x=时，函数取得最大值D为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)【答案】ABCD【详解】，则A正确；当0，时，此时余弦函数只有两个零点，则可知B正确；因为，所以当时，即x=时，函数取得最大值，则可知C正确；函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得出的图象，则D正确；.变式
7、2、已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（）AB若，则C的最小正周期为4D在上的零点个数最少为1010个【答案】AC【详解】对A，的区间中点为，根据正弦曲线的对称性知，故A正确；对B，若，则 ，在上有最大值，无最小值，则，故B错误；对C，又在上有最大值，无最小值，(其中)，解得：，故C正确；对D，当时，区间的长度恰好为个周期，当时，即时，在开区间上零点个数至多为个零点，故D错误.变式3、（2020山东高三开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（）A为奇函数BC当时，在上有4个极值点D若在上单调递增，则的最大值为5【答案】BCD【解
8、析】，且，即为奇数，为偶函数，故A错.由上得：为奇数，故B对.由上得，当时，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，在上单调，所以,解得：，又，的最大值为5，故D对故选：BCD.二、达标训练1、已知函数，则（）A为的一个周期B的图象关于直线对称C在上单调递减D的一个零点为【答案】AD【详解】根据函数知最小正周期为，正确.当时，由余弦函数的对称性知，错误；函数在上单调递减，在上单调递增，故错误；，故正确.2、已知函数的最小正周期为，其图象的一条对称轴为，则（）AB函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到C函数在上的值域为D函数在区间上单调递减【答案】BC【详解】的最小正周期为，又为的对称轴，；对
9、于A，A错；对于B，的图象向左平移个承位长度得到，而，所以，B对；对于C，则函数在上的值域为，C对；对于D，在单调递减，在单调递增，在上不是单调的，D错；3、已知函数的最小正周期为，其图象的一个最高点为，下列结论正确的是（）ABC将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到图象；再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象D的图象关于对称【答案】BC【详解】由已知，A错；，又，B正确；，将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，再将图象向右平移个单位长度，得图象的解析式为，C正确；大中，令，D错4、已知函数，则（ ）A是奇函数B是周期函数且最小正周期为C的值域是D当时【答案】ABD【详
10、解】A.，故是奇函数，故A正确；B.因为的最小正周期是，的最小正周期为，二者的“最小公倍数”是，故是的最小正周期，故B正确；C.分析的最大值，因为，所以，等号成立的条件是和同时成立，而当即时，故C错误；D.展开整理可得，易知当时，故D正确.5、已知函数（其中）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，下列结论正确的是（ ）AB将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象C当时，有且只有一个零点D在上单调递增【答案】ACD【详解】由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，可得，因为，则，解得，即，解得，因为，所以，即函数的解析式，所以A正确；对于B中，函数的图象向右平移个单位，得到的图象，所以B不
11、正确；对于C中，由，所以，当时，函数，所以C正确；对于D中，当时，根据正弦函数的性质，可得函数在该区间上单调递增，所以D正确.6、函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）A直线是函数图像的一条对称轴B函数的图像关于点对称C函数的单调递增区间为D将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像【答案】BC【详解】由图知：，所以，因为，即，。所以.又因为，所以，.又因为，所以，所以.对选项A，故A错误.对选项B，令，解得，.所以函数的对称中心为, ，故B正确.对选项C，解得，所以函数的增区间为, ，故C正确.对选项D，故D错误.故选：BC7、若将函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长
12、度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）Ag(x)的最小正周期为Bg(x)在区间0，上单调递减Cx=是函数g(x)的对称轴Dg(x)在，上的最小值为【答案】AD【详解】函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度后得，最小正周期为，A正确；为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为，故B错；令，得，故C错；，故 D对8、已知函数，则下列关于该函数性质说法正确的有（）A的一个周期是B的值域是C的图象关于点对称D在区间上单调递减【答案】AD【详解】A：因为，所以是函数的周期，故本选项说法正确；B：因为，所以，故本选项说法不正确；C：因为，所以的图象不关于点对称，故本选项说法不正
13、确；D：因为，所以函数是单调递减函数，因此有，而，所以在区间上单调递减，故本选项说法正确.9、函数(，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）AB若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数C若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数D，若恒成立，则的最小值为【答案】ACD【详解】：对A，由题意知： ，即，（），（），又，所以A正确 ；对B，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，在上不单调递增，故错误；对C，把的图像向左平移个单位，则所得函数为：，是奇函数，故正确；对D，对，恒成立，即，恒成立，令，则，的最小值为，故D正确.10、（2020届山东实验中学
14、高三上期中）己知函数的一个零点，为图象的一条对称轴，且上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（ ）ABC上有且仅有4个极大值点D上单调递增【答案】CD【解析】为图象的一条对称轴，为的一个零点，且，在上有且仅有7个零点，即，又，所以，令，解得，当解得，因为，所以故上有且仅有4个极大值点，由得，即在上单调递增，在上单调递增，综上，错误，正确，故选：11、（2020山东高三期中）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：它的图象关于直线对称；它的最小正周期为；它的图象关于点对称；它在上单调递增.其中正确的结论的编号是（ ）ABCD【答案】BC【解析】因为，所以，令，得，所以不
15、是对称轴错误，显然正确，令，得，取，得，故关于点对称，正确，令，得，取，得，取，得，所以错误.所以选项BC正确.故选：BC12、（2021山东滕州市第一中学新校高三月考）设函数g(x)=sinx(0)向左平移个单位长度得到函数f(x)，已知f(x)在0，2上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）Af(x)的图象关于直线对称Bf(x)在(0，2)上有且只有3个极大值点，f(x)在(0，2)上有且只有2个极小值点Cf(x)在上单调递增D的取值范围是)【答案】CD【解析】依题意得，如图：对于，令，得，所以的图象关于直线对称，故不正确；对于，根据图象可知，在有3个极大值点，在有2个或3个极小值点，故不正确，对于，因为，所以，解得，所以正确；对于，因为，由图可知在上递增，因为，所以，所以在上单调递增，故正确；故选：CD.
