1、第1课时椭圆及其标准方程核心必知1预习教材,问题导入根据以下提纲,预习教材P38P42的内容,回答下列问题(1)阅读教材P38“探究”的内容,思考下列问题:移动笔尖,画出的轨迹是什么图形?提示:椭圆笔尖在移动的过程中,笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗?提示:是其距离之和始终等于线段的长度(2)观察教材P39图2.22.设M(x,y),F1(c,0),F2(c,0),且|MF1|MF2|2a(ac),则M点的轨迹方程是什么?提示:(3)观察教材P40“思考”设M(x,y),F1(0,c),F2(0,c),且|MF1|MF2|2a(ac),则M点的轨迹方程是什么?提示:2归纳总结,核
2、心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标(c,0),(c,0)(0,c),(0,c)a,b,c的关系a2b2c2问题思考(1)定义中,将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?提示:当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;_当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在(2)如图,你能从中找出表示a,b,c的线段吗?提示:a|PF2|
3、,b|OP|,c|OF2|(3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量?提示:a,b的值及焦点的位置课前反思通过以上预习,必须掌握的几个知识点(1)椭圆的定义是:;(2)椭圆的标准方程是:;特点:;(3)在椭圆的标准方程中,a,b,c之间的关系是:讲一讲1已知椭圆1(ab0),F1,F2是它的焦点过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点,求ABF2的周长尝试解答|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a,又ABF2的周长|AB|BF2|AF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a,ABF2的周长为4a.由椭圆的定义可知,点的集合PM|MF1|MF2|2a(其中|F1F2|2c)表示的轨迹有三种情况:
4、当ac时,集合P为椭圆;当ac时,集合P为线段F1F2;当a0,为常数)所以甲是乙的必要条件反过来,若|PA|PB|2a(a0,为常数),当2a|AB|时,点P的轨迹是椭圆;当2a|AB|时,点P的轨迹是线段AB;当2ab0)由椭圆的定义知2a 2,a.又c2,b2a2c21046.所求椭圆的标准方程为1.法二:设标准方程为1(ab0)依题意得解得所求椭圆的标准方程为1.(2)法一:当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为1(ab0)椭圆经过两点(2,0),(0,1),则所求椭圆的标准方程为y21;当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为1(ab0)椭圆经过两点(2,0),(0,1),则与
5、ab矛盾,故舍去综上可知,所求椭圆的标准方程为y21.法二:设椭圆方程为mx2ny21(m0,n0,mn)椭圆过(2,0)和(0,1)两点,综上可知,所求椭圆的标准方程为y21.求椭圆的标准方程时,要“先定型,再定量”,即要先判断焦点位置,再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程,最后由条件确定待定系数即可当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意ab0这一条件当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2ny21(m0,n0,mn)的形式有两个优点:列出的方程组中分母不含字母;不用讨论焦点所在的坐标轴,从而简化求解过程练一练3求适合
6、下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点坐标分别是(3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0);(2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a10,2c6,所以a5,c3,所以b2a2c2523216.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a26,2c10,所以a13,c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆的标准方程为1.讲一讲3已知圆M:(x1)2y21,圆N:(x1)2y29,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的
7、轨迹为曲线C.求C的方程尝试解答由已知得圆M的圆心为M(1,0),半径r11;圆N的圆心为N(1,0),半径r23.设圆P 的圆心为P(x,y),半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆 N内切,所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为1(x2)解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法:用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可(2)相关点法:有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要
8、把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法练一练4如图,圆C:(x1)2y216及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,求点M的轨迹方程解:由垂直平分线性质可知|MQ|MA|,|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|4.又|AC|2,M点的轨迹为椭圆由椭圆的定义知,a2,c1,b2a2c23.所求轨迹方程为1.讲一讲4如图所示,P是椭圆1上的一点,F1,F2为椭圆的左、右焦点,且PF1F2120,求PF1F2的面积思考点拨由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF1|,再代入三角形的面积公式求解尝试解答由已知a2,b,得
9、c1,|F1F2|2c2.在PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120,即|PF2|2|PF1|242|PF1|,由椭圆定义,得|PF1|PF2|4,即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|.SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202.即PF1F2的面积是.对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2构成的F1PF2,求其三角形的面积时注意整体思想的应用,如已知F1PF2,可利用Sabsin C把|PF1|PF2|看成一个整体,运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|P
10、F2|,而无需单独求出|PF1|和|PF2|,这样可以减少运算量练一练5将本讲中“PF1F2120”改为“F1PF260”,求PF1F2的面积解:由已知a2,b,得c1.|F1F2|2c2,在PF1F2中,|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60,即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 60.4163|PF1|PF2|.|PF1|PF2|4.SPF1F2|PF1|PF2|sin 604.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法,以及与椭圆焦点有关的三角形问题2对椭圆定义的理解易忽视“2a2c”这一条件,是本节课
11、的易错点平面内到两定点F1,F2 的距离之和为常数,即|MF1|MF2|2a,当2a|F1F2|时,轨迹是椭圆;当2a|F1F2|时,轨迹是一条线段F1F2;当2a|F1F2|时,轨迹不存在3本节课要重点掌握的规律方法(1)椭圆标准方程的求法,见讲2.(2)与椭圆有关的轨迹问题的求法,见讲3.(3)与椭圆焦点有关的三角形问题,见讲4.课时达标训练(七) 即时达标对点练题组1椭圆的标准方程1已知方程 1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()A(4,10) B(7,10)C(4,7) D(4,)解析:选B由题意知解得7k0),则点P的轨迹是()A椭圆 B线段C不存在 D椭圆或线段解析:选
12、Da26,当且仅当a,即a3时取等号,当a3时,|PF1|PF2|6|F1F2|,点P的轨迹是线段F1F2;当a0,且a3时,|PF1|PF2|6|F1F2|,点P的轨迹是椭圆2椭圆y21的两个焦点为F1,F2,过F1作x轴的垂线与椭圆相交,一个交点为P,则PF1F2的面积等于()A. B. C. D4解析:选A如图所示,由定义可知,|PF1|PF2|2a4,c,又由PF1F1F2,可设点P的坐标为(,y0),代入y21,得|y0|,即|PF1|,所以SPF1F2|PF1|F1F2|.3已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F
13、2|,则椭圆C的标准方程为()A.1B.1或 1C.1D.1或 1解析:选B由已知2c|F1F2|2,c.2a|PF1|PF2|2|F1F2|4,a2.b2a2c29.故椭圆C的标准方程是1或1.4设F1,F2是椭圆C:1的焦点,在曲线C上满足的点P的个数为()A0 B2 C3 D4解析:选B,PF1PF2.点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c2.b2,点P为该椭圆y轴的两个端点5F1,F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆上,POF2是面积为 的正三角形,则b2的值是_解析:|OF2|c,由已知得,c24,c2.设点P的坐标为(x0,y0),由POF2为正
14、三角形,|x0|1,|y0|,代入椭圆方程得1.a2b24,b23(b24)b2(b24),即b412,b22.答案:26椭圆1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于_解析:如图,设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|MF2|10,知|MF2|1028.又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|MF2|4.答案:47已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(4,3)若F1AF2A,求椭圆的标准方程解:设所求椭圆的标准方程为1(ab0)设焦点F1(c,0),F2(c,0)(c0)F1AF2A,(4c)(4c)320,c225,即c5.即
15、F1(5,0),F2(5,0)则2a|AF1|AF2|4.a2,b2a2c2(2)25215.故所求椭圆的标准方程为1.8已知P是椭圆y21上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点(1)当F1PF260时,求F1PF2的面积;(2)当F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|PF2|4且F1(,0),F2(,0)在F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60.由得|PF1|PF2|.所以SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2.(2)设点P(x,y),由已知F1PF2为钝角,得即(x,y)(x,y)0.又y21,所以x22,解得x.所以点P横坐标的范围是.