1、第1课时椭圆及其标准方程核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P38P42的内容，回答下列问题(1)阅读教材P38“探究”的内容，思考下列问题：移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？提示：椭圆笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点F1和F2的距离之和是一个定值吗？提示：是其距离之和始终等于线段的长度(2)观察教材P39图2.22.设M(x，y)，F1(c，0)，F2(c，0)，且|MF1|MF2|2a(ac)，则M点的轨迹方程是什么？提示：(3)观察教材P40“思考”设M(x，y)，F1(0，c)，F2(0，c)，且|MF1|MF2|2a(ac)，则M点的轨迹方程是什么？提示：2归纳总结，核
2、心必记(1)椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系a2b2c2问题思考(1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2;_当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在(2)如图，你能从中找出表示a，b，c的线段吗？提示：a|PF2|
3、，b|OP|，c|OF2|(3)确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？提示：a，b的值及焦点的位置课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)椭圆的定义是：；(2)椭圆的标准方程是：；特点：；(3)在椭圆的标准方程中，a，b，c之间的关系是：讲一讲1已知椭圆1(ab0)，F1，F2是它的焦点过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点，求ABF2的周长尝试解答|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又ABF2的周长|AB|BF2|AF2|AF1|BF1|AF2|BF2|4a，ABF2的周长为4a.由椭圆的定义可知，点的集合PM|MF1|MF2|2a(其中|F1F2|2c)表示的轨迹有三种情况：
4、当ac时，集合P为椭圆；当ac时，集合P为线段F1F2；当a0，为常数)所以甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，为常数)，当2a|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a|AB|时，点P的轨迹是线段AB；当2ab0)由椭圆的定义知2a 2，a.又c2，b2a2c21046.所求椭圆的标准方程为1.法二：设标准方程为1(ab0)依题意得解得所求椭圆的标准方程为1.(2)法一：当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0)椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，则所求椭圆的标准方程为y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为1(ab0)椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，则与
5、ab矛盾，故舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.法二：设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)椭圆过(2，0)和(0，1)两点，综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程练一练3求适合
6、下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a10，2c6，所以a5，c3，所以b2a2c2523216.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a26，2c10，所以a13，c5.所以b2a2c2144.所以所求椭圆的标准方程为1.讲一讲3已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的
7、轨迹为曲线C.求C的方程尝试解答由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P 的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆 N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要
8、把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法练一练4如图，圆C：(x1)2y216及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程解：由垂直平分线性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|4.又|AC|2，M点的轨迹为椭圆由椭圆的定义知，a2，c1，b2a2c23.所求轨迹方程为1.讲一讲4如图所示，P是椭圆1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且PF1F2120，求PF1F2的面积思考点拨由余弦定理结合椭圆的定义求出|PF1|，再代入三角形的面积公式求解尝试解答由已知a2，b，得
9、c1，|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|，由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|.代入解得|PF1|.SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202.即PF1F2的面积是.对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的F1PF2，求其三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知F1PF2，可利用Sabsin C把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|P
10、F2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量练一练5将本讲中“PF1F2120”改为“F1PF260”，求PF1F2的面积解：由已知a2，b，得c1.|F1F2|2c2，在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 60.4163|PF1|PF2|.|PF1|PF2|4.SPF1F2|PF1|PF2|sin 604.课堂归纳感悟提升1本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及与椭圆焦点有关的三角形问题2对椭圆定义的理解易忽视“2a2c”这一条件，是本节课
11、的易错点平面内到两定点F1，F2 的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a|F1F2|时，轨迹不存在3本节课要重点掌握的规律方法(1)椭圆标准方程的求法，见讲2.(2)与椭圆有关的轨迹问题的求法，见讲3.(3)与椭圆焦点有关的三角形问题，见讲4.课时达标训练（七） 即时达标对点练题组1椭圆的标准方程1已知方程 1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A(4，10) B(7，10)C(4，7) D(4，)解析：选B由题意知解得7k0)，则点P的轨迹是()A椭圆 B线段C不存在 D椭圆或线段解析：选
12、Da26，当且仅当a，即a3时取等号，当a3时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2；当a0，且a3时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是椭圆2椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则PF1F2的面积等于()A. B. C. D4解析：选A如图所示，由定义可知，|PF1|PF2|2a4，c，又由PF1F1F2，可设点P的坐标为(，y0)，代入y21，得|y0|，即|PF1|，所以SPF1F2|PF1|F1F2|.3已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F
13、2|，则椭圆C的标准方程为()A.1B.1或 1C.1D.1或 1解析：选B由已知2c|F1F2|2，c.2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2.b2a2c29.故椭圆C的标准方程是1或1.4设F1，F2是椭圆C：1的焦点，在曲线C上满足的点P的个数为()A0 B2 C3 D4解析：选B，PF1PF2.点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点，且此圆的半径为c2.b2，点P为该椭圆y轴的两个端点5F1，F2分别为椭圆1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面积为 的正三角形，则b2的值是_解析：|OF2|c，由已知得，c24，c2.设点P的坐标为(x0，y0)，由POF2为正
14、三角形，|x0|1，|y0|，代入椭圆方程得1.a2b24，b23(b24)b2(b24)，即b412，b22.答案：26椭圆1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于_解析：如图，设椭圆的右焦点为F2，则由|MF1|MF2|10，知|MF2|1028.又因为点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以|ON|MF2|4.答案：47已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4，3)若F1AF2A，求椭圆的标准方程解：设所求椭圆的标准方程为1(ab0)设焦点F1(c，0)，F2(c，0)(c0)F1AF2A，(4c)(4c)320，c225，即c5.即
15、F1(5，0)，F2(5，0)则2a|AF1|AF2|4.a2，b2a2c2(2)25215.故所求椭圆的标准方程为1.8已知P是椭圆y21上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点(1)当F1PF260时，求F1PF2的面积；(2)当F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|PF2|4且F1(，0)，F2(，0)在F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60.由得|PF1|PF2|.所以SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2.(2)设点P(x，y)，由已知F1PF2为钝角，得即(x，y)(x，y)0.又y21，所以x22，解得x.所以点P横坐标的范围是.