1、考纲要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义。2了解可以作为推理依据的公理和定理。3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。考情分析1.与点、线、面的位置关系有关命题真假的辨别及异面直线所成的角是高考考查的重点。2题型主要以选择题、填空题的形式出现。解题要求有较强的空间想象能力和推理论证能力。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分。()(2)两个平面，有一个公共点 A，就说，相交于 A 点，并记作 A。()(3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC。()(4)已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a
2、，那么 c 与 b 不可能是平行直线。()(5)没有公共点的两条直线是异面直线。()解析：(1)错误。当两个平面平行时，把空间分成三部分。(2)错误。由公理 3 知应交于过点 A 的一条直线。(3)错误。应相交于直线 BC，而非线段。(4)正确。因为若 cb，则由已知可得 ab，这与已知矛盾。(5)错误。异面或平行。2在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：因为 B，C，D 是经过
3、人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理，是公理。而 A 平行于同一个平面的两个平面平行是定理而不是公理。答案：A3下列四个命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面；若 M，M，l，则 Ml；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内A1 个B2 个C3 个D4 个解析：两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故不正确；两异面直线不能确定一个平面，故不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故不正确；据平面的性质可知正确。答案：A4以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点
4、中，其中任意三点不共线；若点 A、B、C、D 共面，点 A、B、C、E 共面，则 A、B、C、D、E 共面；若直线 a、b 共面，直线 a、c 共面，则直线 b、c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 个B1 个C2 个D3 个解析：假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面。这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确。从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C，但是若 A、B、C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形。答案：B5如图，若 是长方体 ABCD-A1B1C1D1被平面 EFGH截去几何体 EFGHB
5、1C1 后得到的几何体，其中 E 为线段A1B1 上异于 B1 的点，F 为线段 BB1 上异于 B1 的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是()AEHFGB四边形 EFGH 是矩形C 是棱柱D 是棱台解析：若 FG 不平行于 EH，则 FG 与 EH 相交，交点必然在 B1C1上，与 EHB1C1 矛盾，所以 FGEH；由 EH平面 A1ABB1，得到EHEF，可以得到四边形 EFGH 为矩形，将 从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台的定义与题中的图形。答案：D知识重温一、必记 6个知识点1平面的基本性质过不在一条直线上一条2.空间两条直线的位置关系(1)位
6、置关系分类(2)平行公理(公理 4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线_。等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_。相交平行任何一个平面平行相等或互补(3)异面直线所成的角()定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线aa，bb，把 a与 b所成的_叫做异面直线 a与 b 所成的角(或夹角)。()范围：_。锐角(或直角)0，23空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点相交_1 个平行_0 个直线与平面在平面内_无数个平行_0 个平面与平面相交_无数个aAaal4.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。(2)
7、过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直。(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直。5异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线。6确定平面的三个推论(1)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。(2)两条相交直线确定一个平面。(3)两条平行直线确定一个平面。二、必明 2个易误点1异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交。2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”。考点一 平面基本性质的应用【典例
8、 1】如右图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为 AB 的中点，F为 A1A 的中点。求证：(1)E、C、D1、F 四点共面；(2)CE、D1F、DA 三线共点。证明：(1)连接 A1B。E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点，EF 綊12A1B。又 A1D1 綊 B1C1 綊 BC，四边形 A1D1CB 为平行四边形。A1BCD1，从而 EFCD1。EF 与 CD1 确定一个平面。E、F、D1、C 四点共面。(2)EF 綊12CD1，直线 D1F 和 CE 必相交。设 D1FCEP。延长 D1F、CE 交于点 P。PD1F 且 D1F平面 AA1D1D，P平面 AA1D1D
9、。又 PEC 且 CE平面 ABCD，P平面 ABCD，即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点，而平面 ABCD平面 AA1D1DAD，PAD。CE、D1F、DA 三线共点。悟技法证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面。(2)同一法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合。通一类1已知在空间四边形 ABCD 中，E、H 分别是边 AB、AD 的中点，F、G 分别是边 BC、CD 上的点，且CFCBCGCD23(如图所示)，求证：三条直线 EF、G
10、H、AC 交于一点。证明：AEEBAHHD1，EH 綊12BD，而CFCBCGCD23，FGBD23，且 FGBD。四边形 EFGH 为梯形，从而两腰 EF、GH 必相交于一点 P。P直线 EF，EF平面 ABC，P平面 ABC。同理 P平面 ADC，P 在平面 ABC 和平面 ADC 的交线 AC 上。故 EF、GH、AC 三直线交于一点。考点二 异面直线的判定【典例 2】如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点。问：(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由。(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由。解析：(1)不是异面直线。
11、理由：连接 MN、A1C1、AC。M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，MNA1C1。又A1A 綊 C1C，A1ACC1 为平行四边形。A1C1AC，得到 MNAC。A、M、N、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线。(2)是异面直线。证明如下：ABCDA1B1C1D1 是正方体，B、C、C1、D1不共面。假设 D1B 与 CC1 不是异面直线，则存在平面，使 D1B平面，CC1平面。D1、B、C、C1。D1B平面 A1BCD1，C平面 A1BCD1，CD1B，过 D1B 与 C 有且仅有一个平面，即平面 A1BCD1，于是 与平面 A1BCD1 是同一个平面。由假设知，C1
12、平面 A1BCD1 与已知矛盾。假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线。悟技法异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。(2)判定定理法：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线。通一类2.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为棱 C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 AM 与
13、 DD1 是异面直线。其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线 AM 与 CC1 是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故错误。答案：考点三 异面直线所成的角【典例 3】如图所示，A 是BCD 所在平面外一点，ADBC，E、F 分别是AB、CD 的中点。(1)若 EF 22 AD，求异面直线 AD 与 BC 所成的角；(2)若 EF 32 AD，求异面直线 AD 与 BC 所成的角。解析：设 G 是 AC 的中点，连结 EG、FG。如图所示。E、F 分别是 AB、CD 的中点，EGBC 且 EG12BC，FGAD 且 FG12AD。ADBC，EGFG12AD
14、，EG 与 FG 所成的锐角(或直角)为 AD 与 BC 所成的角。(1)若 EF 22 AD，则在EFG 中有cosEGFEG2FG2EF22EGFG12AD 212AD 222 AD 2212AD 12AD0，EGF90，即 AD 与 BC 所成的角为 90。(2)若 EF 32 AD，则在EFG 中有cosEGFEG2FG2EF22EGFG12AD 212AD 232 AD 2212AD 12AD12，EGF120，其补角为 60，AD 与 BC 所成的角为 60。悟技法1求异面直线所成角的常用方法及类型常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线
15、段的端点或中点空间某特殊点)作平行线平移；补形平移。2求异面直线所成角的三个步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线。(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角。(3)求：通过解三角形，求出该角。通一类3(2016岳阳模拟)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别为A1B1，BB1 的中点，则异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为()A.13 B.23C.15 D.25D解析：如图，取 AB 的中点 E，连接 B1E，则 AMB1E。取 EB 的中点 F，连接 FN，则 B1EFN，因此AMFN。连接 CF，则直线 FN 与 CN 所夹的锐角或直角为异面直线 AM 与CN 所
16、成的角。设 AB1，在CFN 中，CN 52，FN 54，CF 174。由余弦定理 cos|cosCNF|CN2FN2CF22CNFN25，故选 D。高考模拟1(2016厦门模拟)下列四个命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合：两条直线可以确定一个平面；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；若 M，M，al，则 Ml。A1 B2C3 D4解析：根据公理 2，可判断是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故是假命题；根据平面的性质可知是真命题。综上，真命题的个数为 2。答案：B2
17、(2016烟台模拟)a，b，c 表示不同的直线，M 表示平面，给出四个命题：若 aM，bM，则 ab 或 a，b 相交或 a，b 异面；若 bM，ab，则 aM；若 ac，bc，则 ab；若 aM，bM，则 ab。其中正确的是()ABCD解析：对于命题，aM，bM，则 a 与 b 平行或相交或异面，故正确；排除 B，C；若 aM，则错误，排除 D。故选 A。答案：A3(2016佛山模拟)如图所示，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D是 AC 的中点，AA1AB 21，则异面直线 AB1 与 BD 所成的角为_。60解析：如图所示，取 A1C1 的中点 D1，连接 B1D1，由于 D 是 AC
18、的中点，所以 B1D1BD，所以AB1D1 即为异面直线 AB1 与 BD 所成的角或其补角。连接 AD1，设 ABa，则 AA1 2a，所以 AB1 3a，B1D1 32 a，AD114a22a232a。在AB1D1 中，由余弦定理得cosAB1D13a234a294a22 3a 32 a12，所以AB1D160，所以异面直线 AB1 与 BD 所成的角为 60。4(2016盐城模拟)如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H 分别为 DE，AF 的中点，将ABC 沿 DE，EF，DF 折成正四面体 PDEF，则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为_。
19、23解析：如图，连接 HE，取 HE 的中点 K，连接 GK，PK，则 GKDH，故PGK 即为所求的异面直线所成的角或者其补角。设这个正四面体的棱长为 2，在PGK 中，PG 3，GK 32，PK12322 72，故 cosPGK 323227222 3 3223。即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值是23。5(2016兰州模拟)如图，E，F 分别是三棱锥 PABC 的棱 AP，BC 的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为_。60解析：取 AC 的中点 M，连接 EM，MF，因为 E，F 是中点，所以 MFAB，MF12AB623，MEPC，ME12PC102 5，所以 MF 与 ME 所成的角即为 AB 与 PC 所成的角(或其补角)。在三角形 MEF 中，cosEMF523272253 1530 12，所以EMF120，所以直线AB 与 PC 所成的角为 60。
