1、单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()A.3x-4y+4=0B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0答案:D解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,且m1,由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆x22+y2=1的焦点和顶点,则该双曲线方程为()A.x2-y2=1B.x22-y2=1C.x
2、2-y22=1D.x23-y22=1答案:A解析:椭圆x22+y2=1的焦点位于x轴,且a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,据此可知,椭圆的焦点坐标为(1,0),x轴上的顶点坐标为(2,0),结合题意可知,双曲线的焦点位于x轴,且c=2,a=1,b=1,则该双曲线方程为x2-y2=1.3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案:D解析:由抛物线方程可得准线l的方程为x=-1.由y=bax,x=-1,得y1=-ba.由y=
3、-bax,x=-1,得y2=ba.AB=2ba.由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ba=2.ca2=a2+b2a2=5a2a2.e=5,故选D.4.(2020广东汕尾期末)记双曲线C:x216-y2m=1(m0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,点M在双曲线C上,点N满足F1N=12F1M,若|MF1|=10,O为坐标原点,则|ON|=()A.8B.9C.8或2D.9或1答案:B解析:a=4,离心率为e=ca=2,c=8.根据题意e=1+m16=2,解得m=48.|MF2|-|MF1|=2a=8,|MF2|=18或2,而|MF2|c-a=8-4=4,故|MF2|=18.点N满足F1
4、N=12F1M,N为MF1的中点,O是F1F2的中点,则|ON|=12|MF2|=9.故选B.5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()A.33B.22C.14D.12答案:D解析:由题意可知2n2=2m2+c2.因为m2+n2=c2,所以m=c2.因为c是a,m的等比中项,所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12.6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23的直线方程是()A.y=-43x+3B.x=0或y=
5、-43x+3C.x=0或y=43x+3D.x=0答案:B解析:当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0,此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为23,圆的半径为2,所以弦心距为22-(3)2=1.由点到直线距离公式,得|k+3|k2+(-1)2=1,解得k=-43.综上所述,所求直线方程为x=0或y=-43x+3.7.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案:D解
6、析:由x24+y23=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a=8,ABF1的面积为12|F1F2|yA-yB|=1223=3=128r,解得r=34,故选D.8.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为()A.3B.2或4C.4D.2答案:B解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).y12=2px1,y22=2px2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),依题意x1x2,y1-y2x1-x2=2py1+y2.M为AB的中点,y1+y2=4,又Fp2,0在AB上,23-p2
7、=2p4,解得p=2或4.故选B.9.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,e1,e2分别是椭圆和双曲线的离心率,若P为它们在第一象限的交点,F1PF2=60,则双曲线的离心率e2=()A.2B.2C.3D.3答案:C解析:设F1(-c,0),F2(c,0),椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为m,可得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60,即有4c2=(a+m)2+(a-m)
8、2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,由离心率公式可得1e12+3e22=4,e1e2=1,即有e24-4e22+3=0,解得e2=3.10.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()A.19B.13C.3D.9答案:A解析:由题意可知,抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).因为双曲线x2a-y2=1的左顶点为A(-a,0),渐近线方程为y=1ax,所以直线AM的斜率为41+a.由题意得41+a=1a,解得实数a=19.11.已知抛物线
9、y2=2px(p0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42答案:B解析:因为双曲线的离心率为2,所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2,所以双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=3x,代入y2=2px(p0),得x=23p或x=0(舍去),故xA=xB=23p.又因为|AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6.12.点M(3,2)到抛物线C1:y=ax2(a0)准线的距离为4,F为抛物线的焦点,点N
10、(1,1),当点P在直线l:x-y=2上运动时,|PN|-1|PF|的最小值为()A.3-228B.2-24C.5-228D.5-224答案:B解析:点M(3,2)到抛物线C:y=ax2(a0)准线的距离为4,2+14a=4,a=18,抛物线C:x2=8y,直线l:x-y=2与x轴交于A(2,0),则FAl.设AP=t,则|AN|=2,|AF|=22,|PN|=t2+2,|PF|=t2+8,设t2+2-1=m(m2-1),则|PN|-1|PF|=t2+2-1t2+8=m(m+1)2+6=171m+172+67,m=2-1,即当t=0时,|PN|-1|PF|的最小值为2-24.所以B选项是正确的
11、.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若双曲线x2-y2m=1的离心率为3,则实数m=.答案:2解析:由题意知a=1,b=m,m0,c=a2+b2=1+m,则离心率e=ca=1+m=3,解得m=2.14.抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则p的值为.答案:8解析:设OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.又因为O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1p4,22p.又因为圆面积为36,所以半径为6,所以p216+12
12、p2=36,所以p=8.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若MAN=60,则C的离心率为.答案:233解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,MAN=60,|AP|=32b,|OP|=|OA|2-|PA|2=a2-34b2.设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为,则tan=|AP|OP|=32ba2-34b2.又tan=ba,32ba2-34b2=ba,解得a2=3b2,e=1+b2a2=1+13=233.16.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的
13、焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k=.答案:2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=my+1,m0,联立x=my+1,y2=4x,得y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,MAMB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+4m(2m-1)+5=4m2-4m+1=0.m=12.k=1m=2.三、解答题(本大题共6小题,共7
14、0分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.解:(1)由y=2x-4,y=x-1,得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则|3k-2+3|k2+1=1,所以|3k+1|=k2+1,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-34.所以所求圆C的
15、切线方程为y=3或y=-34x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),则x2+(y-3)2=2x2+y2,整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1a2+(2a-4)-(-1)22+1,由5a2-12a+80,得aR.由5a2-12a0,得0a125,因此圆C的横坐标a的取值范围为0,125.18.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b
16、2=1(ab0)的离心率为154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且PF1F2的周长是8+215.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=49,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.解:(1)由题意,得e=ca=154=a2-b2a,可知a=4b,c=15b.PF1F2的周长是8+215,2a+2c=8+215,a=4,b=1.椭圆C的方程为x216+y2=1.(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1,由直线y=kx+1与圆T相切可知|2k+1|1+k2=23,即32k
17、2+36k+5=0,0,k1+k2=-98,k1k2=532.由y=k1x+1,x216+y2=1,得(1+16k12)x2+32k1x=0,xE=-32k11+16k12.同理xF=-32k21+16k22,kEF=yE-yFxE-xF=k1xE-k2xFxE-xF=k1+k21-16k1k2=34.故直线EF的斜率为34.19.(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x
18、2,y2).由y=k(x-1),y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.=16k2+160,故x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16.解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=1
19、6或(x-11)2+(y+6)2=144.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和圆O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.(1)求圆心P的轨迹E的方程;(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k0),AMN的面积为S,求Sk的取值范围.解:(1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4O1O2=2,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=3,所以所求轨迹E的方程为x24+y23=1(x-2).(2)设
20、点M的坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),代入x24+y23=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,所以x0(-2)=16k2-123+4k2,所以x0=6-8k23+4k2,同理|AM|=1+k26-8k23+4k2+2=1+k2123+4k2,同理|AN|=1+1k212k23k2+4.所以S=12|AM|AN|=121+k2123+4k21+1k212k23k2+4.所以Sk=72(k2+1)(3k2+4)(4k2+3).令k2+1=t1,则Sk=72(k2+1)(3k2+4)(4k2+3)=72t(3t+1)(4t-1)=7212t+1-1t,
21、又g(t)=12t+1-1t在区间(1,+)内单调递增,所以Sk(0,6).故Sk的取值范围为(0,6).21.(12分)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限.(1)求抛物线E的方程;(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)圆F的方程为(x-2)2+y2=1,圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p0),p2=2,解得p
22、=4.抛物线E的方程为y2=8x.(2)2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,|AB|+|CD|=4|BC|=42r=8.|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.讨论:若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=4.此时|AD|=8,不满足题意;若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k0),此时l的方程为y=k(x-2),由y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=4k2+8k2.抛物线E的准线方程为x=-2,|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+
23、x2+4.4k2+8k2+4=10,解得k=2.当k=2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0,(-6)2-4140,x2-6x+4=0有两个不相等实数根.k=2满足题意.存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.22.(12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.解
24、:(1)由已知,a=2b,则椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1.由方程组x22b2+y2b2=1,y=-x+3消去y,得3x2-12x+(18-2b2)=0.方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此时方程的解为x=2,所以椭圆E的方程为x26+y23=1,点T的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l的方程为y=12x+m(m0),由方程组y=12x+m,y=-x+3,可得x=2-2m3,y=1+2m3.所以点P的坐标为2-2m3,1+2m3,|PT|2=89m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组x26+y23=1,y=12x+m消去y,得3x2+4mx+(4m2-12)=0.方程的判别式为=16(9-2m2).由0,解得-322m322.由得x1+x2=-4m3,x1x2=4m2-123.所以|PA|=2-2m3-x12+1+2m3-y12=522-2m3-x1,同理|PB|=522-2m3-x2.所以|PA|PB|=542-2m3-x12-2m3-x2=542-2m32-2-2m3(x1+x2)+x1x2=542-2m32-2-2m3-4m3+4m2-123=109m2.故存在常数=45,使得|PT|2=|PA|PB|.
