1、第2课时对数函数的性质应用目标 1.会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式；2.会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域；3.能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题重点 对数函数的图象和性质的应用难点 对数函数的图象和性质的综合应用.知识点一对数函数的单调性填一填1对数函数的单调性：当a1时，ylogax为增函数，当0a1，当x1时，y0，当0x1时，y0；若0a1，当0x0，当x1时，y1，且mn，则logam与logan的大小关系是logamlogan.若0an，则logam与logan的大小关系是logam1，且logamlogan，则m与n的大小关系是mn；若0
2、alogan，则m与n的大小关系是m1，且uf(x)在xM上单调递增(减)，则集合M对应的区间是函数yloga f(x)的增(减)区间；若0a0，且a1)与yax(a0，且a1)互为反函数，其图象关于直线yx对称答一答4指数函数与对数函数有哪些主要的相同点？两种函数之间有哪些关系？提示：(1)底数及其范围相同；(2)a1时同为增函数，0a1时同为减函数；(3)互为反函数，图象关于直线yx对称；(4)指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域类型一比较大小例1比较下列各组值的大小(1)log5与log5；(2)log2与log2；(3)log23与log54.解(1)法一
3、：对数函数ylog5x在(0，)上是增函数，而，log5log5.法二：log50，log5baBbcaCacb Dabc解析：由对数运算法则得alog361log32，b1log52，c1log72，由对数函数图象得log32log52log72，所以abc，故选D.类型二解对数不等式例2(1)若loga0，且a1)，求实数a的取值范围(2)已知log0.7(2x)log0.7(x1)，求x的取值范围分析对于(1)“1”变为logaa讨论单调性；对于(2)直接根据单调性列不等式组求解解(1)loga1，即loga1时，函数ylogax在定义域内是增函数，所以logalogaa总成立；当0a1
4、时，函数ylogax在定义域内是减函数，由logalogaa，得a，即0a.所以实数a的取值范围为(1，)(2)函数ylog0.7x在(0，)上为减函数，由log0.7(2x)1.x的取值范围为(1，)解对数不等式时，要防止定义域扩大，应在解的过程中加上限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形.若非同解变形，最后一定要检验.变式训练2若1loga0，且a1)，求实数a的取值范围解：1loga1，logaloga1时，；当0aa，则0a0，且a1)的复合函数的值域的求解的步骤：分解成ylogau，uf(x)两个函数；求f(x)的定义域；求u的取值范围；利用ylogau的单调性求解.变式训练3设
5、函数f(x)log2(4x)log2(2x)，x4.若tlog2x.(1)求t的取值范围(2)求f(x)的值域解：(1)因为tlog2x，x4，所以log2tlog24，即2t2.(2)函数f(x)log2(4x)log2(2x)，即f(x)(log2x)23log2x2，又tlog2x，则yt23t22(2t2)当t时，即log2x，x2时，f(x)min；当t2时，即log2x2，x4时，f(x)max12.综上可得，函数f(x)的值域为.类型四对数复合型函数的单调性例4已知f(x)log (x2axa)在上是增函数，求a的取值范围解令u(x)x2axa，f(x)logu(x)在上是增函数
6、，u(x)在上是减函数，且u(x)0在上恒成立即1a.满足条件的a的取值范围是a|1a与对数函数有关的复合函数ylogag(x)的单调性的求解步骤：(1)确定定义域，研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.(很多同学忽略了定义域，即要满足g(x)0导致错误)(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数：外层函数ylogau，内层函数ug(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则ylogag(x)为增函数；若一增一减，则ylogag(x)为减函数，即“同增异减”.变式训练4已知f(x)loga(83ax)在1,2上是减函数，则
7、实数a的取值范围是(B)A(0,1) B.C. D(1，)解析：由题意，知83ax0，x1,2，83a0,86a0，a0，且a1，0a1或1a1.所以实数a的取值范围为.故选B.1若0xylog3yBlogxlogyClogx3logy3 Dlog4xlog4y解析：ylog3x是增函数，当xy时，log3xlog3y.ylogx是减函数，当xlogy.log3xlog3y0，0.logy3logx3.ylog4x是增函数，且0xy1知log4x0) Dylogx(x0)解析：函数y2x的值域是(0，)又其反函数为ylog2x.故选C.3函数ylog(x26x17)的值域是(，3解析：由x26
8、x17(x3)280恒成立，知xR.设ux26x17.00，x22x30.1x0，且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性解：(1)使f(x)loga(ax1)有意义，则ax10，即ax1.当a1时，x0；当0a1时，x1时，函数的定义域为x|x0；当0a1时，函数的定义域为x|x1时，设0x1x2，则1ax1ax2，0ax11ax21，loga(ax11)loga(ax21)，f(x1)1时，函数f(x)在(0，)上为增函数；当0a1时，设x1x2ax21，ax11ax210，loga(ax11)loga(ax21)，f(x1)f(x2)，当0a1时，函数f(x)在(，0)上为增函数综上可知：函数f(x)loga(ax1)在其定义域上为增函数本课须掌握的三大问题1利用对数的单调性可解简单的对数不等式解对数不等式的关键是把真数视为一个整体，用对数函数的单调性构造不等式，但一定要注意真数大于零这一隐含条件2求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间3对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用
