1、学科网（北京）股份有限公司龙岩市 20222023 学年第二学期期末高一教学质量检查数学试题（考试时间：120 分钟满分 150 分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数3zai=+，()2,zbi a bR=+，则ab+=A.-1 B.1 C.-5 D.5 2.已知向量a，b，满足3a=，4b=，a与b的夹角的余弦值为 34，则向量a在向量b上的投影向量
2、为 A.a B.3a C.94 b D.916 b 3.从长度为 1，3，7，8，9 的 5 条线段中任取 3 条，则这 3 条线段能构成一个三角形的概率为 A.15 B.25 C.35 D.45 4.已知某班 40 名学生某次考试的数学成绩依次为12340,x x xx，经计算全班数学平均成绩90 x=，且4021324400iix=，则该班学生此次数学成绩的标准差为 A.20 B.2 5 C.10 D.10 5.如图，在正方体1111ABCDA B C D中，E，F 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是 A.若1EBD，FBD，则 EFAC学科网（北京）股份有限公司B.若
3、1EBD，FBD，则平面 BEF 平面11A BC C.若 EAC，1FCD，则1EFAD D.若 EAC，1FCD，则 EF 平面11A BC 6.闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991 年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为 A 点，纪念碑的最底端记为 B 点（B 在 A 的正下方），在广场内（与 B 在同一水平面内）选取 C，D 两点，测得 CD 的长为 15 米，45ACB=，30CBD=，30ADB=，则根据以
4、上测量数据，可以计算出纪念碑高度为 A.14 米 B.15 米 C.16 米 D.17 米 7.已知等边三边形 ABC 的边长为 4，D 为 BC 的中点，将ADB沿 AD 折到1ADB，使得1B CD为等边三边形，则直线1B D 与 AC 所成的角的余弦值为 A.32 B.0 C.12 D.14 8.在锐角ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若()2coscoscossinsinBBACAC+=，2 3a=，则ABC周长的取值范围是 A.()6 3,66 3+B.()33 3,66 3+C.()33 3,9 3+D.()6 3,9 3二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5
5、分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知复数 z 满足()1 310zi=，则 A.10z=B.z 的虚部为3i学科网（北京）股份有限公司C.23 cossin144zi+=D.复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限 10.新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例.下图是某地某月 2 日至 16 日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则 A.本地新增阳性人数最多的一天是 10 日 B.本地新增确诊病例的极差为 84 C.本地新增确诊病例人数的中位数是 46
6、D.本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数 11.已知 M 是边长为 1 的正六边形 ABCDEF 所在平面内一点，()()tMAMCMBMD=+，则下列结论正确的是 A.当 M 为正六边形 ABCDEF 的中心时，12t=B.t 的最大值为 4 C.t 的最小值为14 D.t 可以为 04 12.如图，水平放置的正方形 ABCD 边长为 1，先将正方形 ABCD 绕直线 AB 向上旋转 45，得到正方形11ABC D，再将所得的正方形绕直线1BC 向上旋转 45，得到正方形212A BC D，则 学科网（北京）股份有限公司A.直线21A C 平面 ABCD B.2D 到平面
7、 ABCD 的距离为122+C.点 A 到点2D 的距离为32 D.平面212A BC D 与平面 ABCD 所成的锐二面角为 60 第卷（非选择题共 90 分）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.方程2230 xx+=在复数范围内的根为_.14.数据 13，11，12，15，16，18，21，17 的第三四分位数为_.15.为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是 12，甲、丙两位同学都答错的概率是 16，乙、丙两位同学都答
8、对的概率是 13.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少 2 位同学答对这道题的概率为_.16.如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是平行四边形，DBAB，2ABDBBPPC=.记四面体 PBCD的外接球的球心为O，M 为球O 表面上的一个动点，当MAO取最大值时，四面体 MABD体积的最大值为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分 10 分）在ABC中，6ACBC=，4AB=，()01APAB=.（1）当23=时，用CA，CB表示CP；（2）求()CPCACB+的值 学科网（北京）股份有限公司18.
9、（本题满分 12 分）如图，在直三棱柱111ABCA B C中，90ABC=，14AAAB=，3BC=.（1）求三棱柱111ABCA B C的侧面积；（2）设 D 为 AC 的中点，求证：1AB 平面1BC D.19.（本题满分 12 分）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共 4 个.从中任取一球，得到红球或黄球的概率是 34，得到黄球或蓝球的概率是 12.（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.（i）写出该试验的样本空间；（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明
10、理由.20.（本题满分 12 分）某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到 100 名员工近一周每人手机日平均使用流量 L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：学科网（北京）股份有限公司若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题.（1）求这 100 名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；（2）在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20 名，其手机日使用流量的平均数为 800M，方差为 10000；抽取了女员工 40 名，其手机日使用
11、流量的平均数为 1100M，方差为 40000.（i）已知总体划分为 2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x，21s；n，y，22s，记 总 的 样 本 平 均 数 为，样 本 方 差 为2s .证 明：()()22222121sm sxn symn=+.（ii）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差.21.（本题满分 12 分）P 如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，侧面 PBC 底面 ABCD.（1）若90PBC=，求证：ACPD；（2）若 AC 与平面 PCD 所成角为 30，求点 A
12、 到直线 PC 的距离.22.（本题满分 12 分）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 D 在边 AB 上，4A=，BDCD=，2AD=.（1）若53BDb=，求c；（2）若2 2a=，求ABC的面积.龙岩市 20222023 学年第二学期期末高一教学质量检查数学试题参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 学科网（北京）股份有限公司选项 A D B D C B D B 第 8 题简解：由2coscoscos()sinsinBBACAC+=得()coscoscossinsinBBACAC+=，ABC+=，co
13、scos()cos()sinsinBACACAC+=，2cossinsinsinsinBACAC=，0,2A C，sin0C，1cos2B=，3B=，由正弦定理得,sinsinsinabcABC=32 3sin32sinsinsinaBbAAA=，sinsinaCcA=，所以ABC的周长为 22 3sin32 3sin3332 33 3sinsinsinsintan 2ACabcAAAAA+=+=+=+0223tan126212242032AAAAA ，所以此游戏不公平.20.（本题满分 12 分）解：（1）估计这 100 名员工近一周每人手机日使用流量的众数 450 2 分 由频率分布直方图
14、可知流量少于 300M 的所占比例为30%，流量少于 400M 的所占比例为55%，所以抽取的100名 员 工 近 一 周 每 人 手 机 日 使 用 流 量 的 中 位 数 在)300,400内，且 中 位 数 为0.50.3300(400300)3800.550.3+=（2）（i）证明：根据方差的定义，总样本的方差为()()222111mnijijsxymn=+()()22111mnijijxxxyyymn=+22221111111()2()()()()2()()()mmmnnniiiiiiijjjxxxx xxyyyyyymn=+由()110mmiiiixxxmx=，可得()()()()
15、11220mmiiiixxxxxx=同理可得()()120njjyyy=因此()()()()2222211111mmnnijiijjsxxxyyymn=+学科网（北京）股份有限公司()()2222121m sxn symn=+（ii）估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数为 20 80040 110010002040+=+M 由（i）知，估计该大型企业全体员工手机日使用流量的方差为()()22222121sm sxn symn=+()()22120 10000800 100040 400001100 100060=+50000=21.（本题满分 12 分）证明：（1）如图，连接 BD，侧
16、面 PBC 底面 ABCD，侧面 PBC 底面 ABCDBC=，90PBC=，PB 底面 ABCD.又 AC 平面 ABCD，ACPB.在正方形 ABCD 中，ACBD，PBBDB=，BD 平面 PBD，PB 平面 PBD AC 平面 PBD PD 平面 PBD ACPD.（2）如图，AB/CD，AB 平面 PCD，CD 平面 PCD AB 平面 PCD A 到平面 PCD 的距离，即为 B 到平面 PCD 的距离.过 B 作 BMPC，垂足为 M 由 AC 与平面 PCD 所成的角为 30，得：学科网（北京）股份有限公司1sin3023 2BMBMAC=，3 22BM=.侧面 PBC 底面
17、ABCD，侧面 PBC 底面 ABCDBC=，ABBC，AB 平面 ABCD AB 平面 PBC，PC 平面 PBC ABPC 又 BMPC，ABBMB=PC 平面 ABM，AM 平面 ABM PCAM AM 的长度即为点 A 到 PC 的距离.2293 6922AMABBM=+=+=点 A 到 PC 的距离为 3 62.22.（本题满分 12 分）解：（1）在ACD中4A=，2AD=，53CDBDb=，由余弦定理得，2222222cos24 cos42 24CDADACAD ACAbbbb=+=+=+22542 23 bbb=+，化简得229 2180bb+=，解得3 2b=，或3 22b=
18、.553 21033BDb=，或553 2103322BDb=.210cABADBD=+=+，或1022cABADBD=+=+，综上可得210c=+，或1022c=+.（2）在BCD中 BDCD=，设BBCD=，则2BDC=，2 2a=，由正弦定理得 sin 2sinaCD=，2cosCD=.学科网（北京）股份有限公司在ACD中，2ADC=，324ACD=，由正弦定理得 sinsinADCDACDA=，即22cos3sinsin244=.化简得3cossin24=3sinsin224=，02，022，332444.3224=或3224+=，解得4=或12=.当4=时，2ACB=，2 2ACBC=，ABC为等腰直角三角形，得到ABC的面积为12 22 242ABCS=；当12=，21243ACB=，在ABC中由正弦定理得 sinsinacAACB=，2 23sin2 3sin222acCA=ABC的面积为1622 22 3 sin2 6332124ABCS=，综上可得ABC的面积为 4 或33.
