1、第四章单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分每小题中只有一项符合题目要求)1. 集合Mx|xsin，nZ，Nx|xcos，nN，则MN等于()A1,0,1B0,1C0D答案C解析Mx|xsin，nZ，0，N1,0,1，MN0应选C.2已知(，)，sin，则tan()等于()A.B7CD7答案A解析(，)，tan.tan().3. 已知函数f(x)sin(x)1，则下列命题正确的是()Af(x)是周期为1的奇函数Bf(x)是周期为2的偶函数Cf(x)是周期为1的非奇非偶函数Df(x)是周期为2的非奇非偶函数答案B解析f(x)cosx1，周期为2，且为偶函数，故选B.4把函数y
2、sin(x)(0，|0，对于函数f(x)(0x)，下列结论正确的是()A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值D既无最大值也无最小值答案B解析令tsinx，则函数f(x)(0x0，所以y1，t(0,1是一个减函数故选B.8甲船在岛A的正南B处，以4 km/h的速度向正北航行，AB10 km，同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A. min B. hC21.5 minD2.15 h答案A解析如右图：设t小时甲行驶到D处AD104t，乙行驶到C处AC6t，BAC120，DC2AD2AC22ADACcos12
3、0(104t)2(6t)22(104t)6tcos12028t220t100.当t h时DC2最小，DC最小，此时t60 min.9在ABC中，已知sinC2sin(BC)cosB，那么ABC一定是()A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形答案B解析C(AB)，BCA.有sin(AB)2sinAcosB，sinAcosBcosAsinB2sinAcosB.即sinAcosBcosAsinB0，sin(AB)0，则AB.ABC为等腰三角形故选B.10已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)|f()|对xR恒成立，且f()f()，则f(x)的单调递增区间是()Ak，k(
4、kZ)Bk，k(kZ)Ck，k(kZ)Dk，k(kZ)答案C解析因为当xR时，f(x)|f()|恒成立，所以f()sin()1，可得2k或2k.因为f()sin()sin f()sin(2)sin ，故sin 0，所以2k，所以f(x)sin(2x)，函数的单调递增区间为2k2x2k，所以xk，k(kZ)，故选C.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2_.答案解析由角的终边在直线y2x上可得tan 2，cos 2cos2sin2.12函数f(x)sin4xcos2x的最小正周期
5、为_答案解析法一：f(x)(1cos2x)2cos2x1cos4xcos2x1cos2x(cos2x1)1cos2xsin2x1sin22x1()cos4x.法二：f(x)(sin2x)2cos2x()2cos22xcos4x.13已知等腰ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角A的大小为_答案30解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，即aba2b2c2，由余弦定理，得cosC.因为0C180，所以C120.又由ABC为等腰三角形得A(180120)30.14若2 012，则tan2_.答案2 012解析tan22 012.
6、15在ABC中，D为BC边上一点，BC3BD，AD，ADB135.若ACAB，则BD_.答案2解析如图，设ABc，ACb，BCa，则由题可知BDa，CDa，所以根据余弦定理可得b2()2(a)22acos45，c2()2(a)22acos135，由题意知bc，可解得a63，所以BDa2.16下面有五个命题：函数ysin4xcos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角的集合是|，kZ在同一坐标系中，函数ysinx的图像和函数yx的图像有三个公共点把函数y3sin(2x)的图像向右平移得到y3sin2x的图像函数ysin(x)在0，上是减函数其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号)答案解析考查
7、ysin2xcos2xcos2x，所以最小正周期为.k0时，0，则角终边在x轴上由ysinx在(0,0)处切线为yx，所以ysinx与yx图像只有一个交点y3sin(2x)图像向右平移个单位得y3sin2(x)3sin2x.ysin(x)cosx在0，上为增函数，综上知为真命题三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域解析由cos2x0，得2xk，解得x，kZ.所以f(x)的定义域为x|xR且x，kZ因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)f(x)，所以f(x)是偶函
8、数当x，kZ时，f(x) 3cos2x1，所以f(x)的值域为y|1y或y218(本小题满分12分)已知函数f(x)2sinxcosxsin(2x)求：(1)f()的值；(2)f(x)的最小正周期和最小值；(3)f(x)的单调递增区间答案(1)1(2)，(3)(kZ)解析(1)f()2sincossin(2)201.(2)f(x)sin2xcos2x(sin2xcos2x)(sin2xcoscos2xsin)sin(2x)所以最小正周期为，最小值为.(3)由2k2x2k(kZ)，可得kxk(kZ)所以函数的单调递增区间为(kZ)19(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，
9、b，c.已知BC,2ba.(1)求cos A的值；(2)求cos(2A)的值答案(1)(2)解析(1)由BC,2ba，可得cba.所以cos A.(2)因为cos A，A(0，)，所以sin A，cos 2A2cos2A1.故sin2A2sin Acos A.所以cos(2A)cos 2Acossin 2Asin().20(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足aca2c2b2.(1)求角B的大小；(2)若|2，求ABC面积的最大值答案(1)(2)解(1)在ABC中，aca2c2b2，cosB.B(0，)，B.(2)|2，|2，即b2.a2c2ac4.a2c2
10、2ac，当且仅当ac2时等号成立4a2c2ac2acacac，即ac4.ABC的面积SacsinBac.当abc2时，ABC的面积取得最大值为.21(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，8，BAC，a4.(1)求bc的最大值及的取值范围(2)求函数f()2sin2()2cos2的最值解析(1)8，BAC，bccos8.又a4，b2c22bccos42，即b2c232.又b2c22bc，bc16，即bc的最大值为16.而bc，16.cos.又0，0.(2)f()2sin2()2cos21cos(2)1cos2sin2cos212sin(2)1.0，2.sin(2
11、)1.当2，即时，f()min212；当2，即时，f()max2113.22(本小题满分12分)已知函数f(x)(1)sin2xmsin(x)sin(x)(1)当m0时，求f(x)在区间，上的取值范围；(2)当tan 2时，f()，求m的值解析(1)当m0时，f(x)sin2xsinxcosx(sin2xcos2x)sin(2x).又由x，得2x0，所以sin(2x)，1，从而f(x)sin(2x)0，(2)f(x)sin2xsinxcosxcos2xsin2xcos2xsin2x(1m)cos2x，由tan2，得sin2，cos2.所以(1m)，得m2.1(2011上海)若三角方程sinx0
12、与sin 2x0的解集分别为E，F，则 ()AEFEBEFECEFDEF答案A2下列函数中，其中最小正周期为，且图像关于直线x对称的是 ()Aysin(2x)Bysin(2x)Cysin(2x)Dysin()答案B解析T，2，排除D，把x代入A、B、C只有B中y取得最值，故选B.3函数ytan(x)的部分图像如图所示，则()()A6B4C4D6答案A解析由tan(x)0，得xk(kZ)，x4k2(kZ)，结合图形可知A(2,0)，由tan(x)1，得xk(kZ)，x34k(kZ)，结合图形可知B(3,1)，()(5,1)(1,1)6.4(本小题满分12分)如图(a)，一辆汽车在一条水平的公路上
13、向正西方向行驶在A处分别测得山顶上铁塔的塔顶E的仰角为和山脚点O(点O是点E在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北，再行驶a km到达B处，测得山脚点O的方位角是西偏北.(1)设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE的步骤；(2)函数f(x)asin(x)的部分图像如图(b)所示，求塔顶E到公路的距离解析(1)第一步：求OA，在AOB中，ABO，AOB，ABa，由正弦定理，得OA；第二步：求OE，在RtEOA中，EAO，EOA90，则OEOAtan.(2)由图像易得a，又，则OE.过点E作EF直线AB于点F，连接OF，因为ABOE，又OEEFE，所以AB平面EOF，所以ABOF.在A
14、OB中，OABAOB，则OBABa，在RtBFO中，OBF，则OFOBsin，又在RtEOF中，OE，所以EF.5(本小题满分12分)(2010福建文)设函数f()sin cos ，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(x，y)，且0.(1)若点P的坐标为(，)，求f()的值；(2)若点P(x，y)为平面区域：上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f()的最小值和最大值答案(1)2(2)0，f()最大值2，最小值1解析(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得于是f()sincos2.(2)作出平面区域(即三角区域ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)于是0.又f()sincos2sin()，且，故当，即时，f()取得最大值，且最大值等于2；当，即0时，f()取得最小值，且最小值等于1.
