1、第2课时 空间向量的数量积基础达标练1.在正四面体ABCD中，点E,F分别是AC,AD的中点，则BC与EF的夹角为( )A.30 B.60 C.120 D.150答案：C2.已知向量a和b的夹角为120，且|a|=2,|b|=5，则(2a-b)a= ( )A.12B.8+13C.4D.13答案：D3.（2021山东烟台高二检测）已知a,b,c是两两垂直的单位向量，则|a-2b+3c|等于( )A.14B.14 C.4D.2答案：B4.（多选）设a,b,c是空间中三个任意的非零向量，且两两不共线，则下列结论中正确的是( )A.(ab)c-(ca)b=0B.|a|-|b|a-b|C.(ba)c-(
2、ca)b不与c垂直D.(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2答案：B ; D5.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，BAD=BAA1=120，DAA1=60，则AC1= ( )A.1B.2C.3 D.2答案：D6.（2021辽宁大连高二检测）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1,2,8)是上底面上其余的八个点，则集合yy=ABAPi,i=1,2,3,8中的元素个数为( )A.1B.2C.4D.8答案：A7.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4，则ab+bc+ca的值为
3、.答案：-138.（2021河北邯郸高二期末）已知|OA|=5，|OB|=2，OA,OB=60，OC=2OA+OB，OD=OA-2OB，则以OC,OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为 .答案：199解析：易知OE=OC+OD，OE2=(OC+OD)2=(2OA+OB+OA-2OB)2=(3OA-OB)2=9OA2+OB2-6OAOB=925+4-652cos60=199，|OE|=199，即OE=199 .9.已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.答案：由题意知(a+3b)(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16ab=0，(a-4b)(7a
4、-2b)=7|a|2+8|b|2-30ab=0 .两式相减得46ab=23|b|2，所以ab=12|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|=|b|，所以cosa,b=ab|a|b|=12|b|2|b|2=12，所以a,b=60 .素养提升练10.如图所示，正四面体OABC的棱长为1，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE的长度为( )A.54 B.114 C.74 D.24答案：B解析：OD=OB+BD=OB+12BC=OB+12(OC-OB)=12(OB+OC)，OE=OA+AE=OA+12AD=OA+12(OD-OA)=12(OA+OD)=12(OA+12OB+12OC)=14(2
5、OA+OB+OC)，由题意可知，|OA|=|OB|=|OC|=1，AOB=BOC=AOC=3，由空间向量数量积的定义可得OAOB=OBOC=OCOA=12cos3=12，所以OE2=116(2OA+OB+OC)2=116(4OA2+OB2+OC2+4OAOB+2OBOC+4OCOA)=1116，故OE=|OE|=114 .11.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|，cosm,n=13，若n(tm+n)，则实数t的值为 .答案：-4解析：n(tm+n)，n(tm+n)=tmn+n2=0，即t|m|n|cosm,n+|n|2=0，t34|n|213+|n|2=0，解得t=-4 .即实数t的值为
6、-4.12.已知空间向量m,n满足|m|=1,|n|=2，2m+n与m-3n垂直，若a=4m-n，b=7m+2n，则a,b= .答案：013.在四面体ABCD中，AB=6,BC=3,BD=4，若ABD与ABC互余，则BA(BC+BD)的最大值为 .答案：30解析：设ABD=，可得ABC=2-，则为锐角，在四面体ABCD中，AB=6,BC=3,BD=4，则BA(BC+BD)=BABC+BABD=|BA|BC|cos(2-)+|BA|BD|cos=18sin+24cos=30sin(+)，其中为锐角，且tan=43 .因为02，所以+2+，所以当+=2时，BA(BC+BD)取得最大值30.创新拓展
7、练14.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C、C1D与底面所成的角分别为60和45，AC=2，点P为线段B1C上一点，则C1PD1P的最小值为 .答案：34解析：命题分析本题考查了长方体的结构特征，直线与平面所成的角，空间向量的数量积及其几何意义.答题要领因为CC1平面A1B1C1D1，所以CB1C1=60，DC1D1=45，根据AC=2，求出CC1=3，C1B1=1，B1C=2，又C1PD1P可化为C1P2，所以只需求出C1P的最小值，即求直角三角形CC1B1的斜边B1C上的高即可得解.详析解析如图：因为CC1平面A1B1C1D1，所以CB1C1=60，DC1D1=45，设DD1=x，则C1D1=x，CC1=x，C1B1=33x，D1A1=33x，因为AC=2，所以A1C1=2，所以D1C12+D1A12=A1C12，即x2+(3x3)2=22，解得x=3（负值舍去），所以CC1=3，C1B1=1，则B1C=2，又D1C1平面CC1B1B，所以D1C1C1P，所以C1PD1P=C1P(D1C1+C1P)=C1PD1C1+C1P2=C1P2，当C1PB1C时，C1P取得最小值，最小值为CC1C1B1B1C=312=32，所以C1P2的最小值为34,即C1PD1P的最小值为34 .方法感悟解决向量数量积的最小值问题需要恰当地利用平面几何的相关知识和数量积的几何意义求解.
