1、1从平面向量到空间向量 空间向量小刚从学校大门口出发，向东行走100 m，再向北行走600 m，最后乘电梯上行20 m到达住处问题1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示那么，小刚从学校大门口到住处的总位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗？提示：是问题2：问题1中的位移是不在同一个平面内的位移，已不能用平面向量来刻画，应如何刻画这种位移？提示：用空间向量问题3：若设大门口向东行走100 m为a，再向北行走600 m为b，最后乘电梯上行20 m为c，则a，b，c夹角分别是多少？提示：.空间向量(1)空间向量及其模的表示方法：有向线段字母图示表示 a或 模|或|a|(2)向量的夹角：
2、定义：过空间任意一点O作向量a，b的相等向量和，则AOB叫作向量a，b的夹角，记作a，b范围：0，当a，b时，向量a与b垂直，记作ab.当a，b0或时，向量a与b平行，记作ab.(3)特殊向量：名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫零向量，记为0单位向量模为1的向量叫单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，记为a相等向量方向相同且模相等的向量称相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量向量、直线、平面如图，正方体ABCDABCD.问题1：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有哪些？提示：，.问题2：在正方体的顶点为起点和终点的向量中，与平面ABCD垂直的
3、向量有几个？提示：8个向量、直线、平面(1)方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称 为直线l的方向向量与 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量(2)法向量：如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的法向量所有与直线l平行的非零向量都是平面的法向量1空间向量是对平面向量的拓展和提高，平面向量研究的是向量在同一平面内的平移，空间向量研究的是向量在空间的平移，空间的平移包含平面内的平移2直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面 空间向量及有关概念例1给出以下命题：若a，b是空间向量，则|a|b|是ab的必要不
4、充分条件；若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|；两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；空间中任意两个单位向量必相等其中，正确的命题序号是_思路点拨用空间向量的有关概念进行判断精解详析以上命题正确两向量若相等，必须方向相同且模相等但相等的向量起点不一定相同，故错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故错答案一点通与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关1把空间所有单
5、位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A一个圆B两个孤立的点C一个球面 D以上均不正确解析：单位向量的模为1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面答案：C2下列命题中正确的个数是()如果a，b是两个单位向量，则|a|b|；两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；若a，b，c为非零向量，且ab，bc，则ac；空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内A1个 B2个C3个 D4个解析：对于：由单位向量的定义即得|a|b|1，故正确；对于：共线不一定同向，故错；对于：正确；对于：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的
6、向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内答案：C3如图所示的长方体中，AD2，AA11，AB3.(1)试写出与相等的所有向量；(2)写出向量的相反向量；(3)写出与向量的模相等的向量；(4)写出与向量平行的向量解：(1)与相等的向量有：，.(2)向量的相反向量有：，.(3)与向量的模相等的向量有：，.(4)与向量平行的向量有：，.求空间向量的夹角例2如图，在正方体ABCDABCD中，求(1)，(2)，思路点拨按空间向量夹角的定义求解，空间向量a，b夹角范围是0，精解详析(1)正方体ABCDABCD，ABAB，ADDC，ABCD.，0
7、，.(2)正方体ABCDABCD，ADBC.，.连接AC，则ACD为等边三角形，.一点通与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若，而，.4正四面体SABC中，E，F分别为SB，AB中点，则，_.解析：如图所示，E，F为中点，EFSA，而SAC为正三角形，SAC，.答案：5在长方体ABCDABCD中，AB，AA1，AD，求，解：如图，连接AC，BC.，BAC的大小就等于，由长方体的性质和三角形勾股定理知，在ABC中AB2，AC3，BC.cosBAC.
8、BAC.即，.直线的方向向量与平面的法向量例3如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形且PDADCD，E，F分别是PC，PB的中点(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量思路点拨(1)只要作出过F与DE平行的直线即可(2)作出过F与平面PBC垂直的直线即可精解详析(1)连接EF.E，F分别是PC，PB的中点，EF綊BC.又BC綊AD，EF綊AD.取AD的中点M，连接MF，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，MFDE.就是直线DE的一个方向向量(2)PD平面ABCD，PDBC.又BCCD，BC平面PCD.DE平面PCD
9、，DEBC.又PDCD，E为PC中点，DEPC.从而DE平面PBC.是平面PBC的一个法向量由(1)可知，就是平面PBC的一个法向量一点通直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可6直线的方向向量是()A唯一的B相等的C平行的 D相反的解析：与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量答案：C7下列说法中不正确的是()A平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，
10、那么这两个平面也垂直D如果a，b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量解析：A，B，C正确，而D中，若ab，虽然na，nb，但n不一定是平面的法向量答案：D8正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1中点(1)试以E点为起点作直线AD1的方向向量；(2)试以B1点为起点作平面ABC1D1的法向量解：(1)如图所示，取BC中点F，连EF，BC1，则EFBC1.又AD1BC1.EFAD1，为直线AD1的方向向量(2)连B1C，则B1CBC1.又AB面BCC1B1，ABB1C.B1C面ABC1D1.为平面ABC1D1的法向量1空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有
11、向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变它是可以自由平移的，与起点无关数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小2由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要大小和方向分别相同，那它们就是相等向量，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量3平行向量的方向不一定相同，表示共线向量的有向线段也不一定在同一条直线上 1空间向量中，下列说法正确的是()A如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等B如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同C如果两个向量平行， 并且它们的模相等，那么这两个向量相等D同向且等长的有向线段表示同一向量
12、解析：只有两个向量方向相同且长度相等，才能为相等向量故D正确答案：D2下列说法中正确的是()A若|a|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B若a是b的相反向量，则|a|b|C如果两个向量平行，则这两向量相等D在四边形ABCD中， 解析：模相等的两向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若，则四边形ABCD是平行四边形答案：B3在四边形ABCD中，若，且|，则四边形ABCD为()A菱形B矩形C正方形 D不确定解析：若，则ABDC，且ABDC，四边形ABCD为平行四边形，又|，即ACBD，四边形ABCD为矩形答案：B4在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面
13、ACC1A1的法向量是()A BC D解析：BDAC，BDAA1，BD面ACC1A1，故为平面ACC1A1的法向量答案：A5在正方体ABCDA1B1C1D1中，以A1为起点，以正方体的其余顶点为终点的向量中，与向量垂直的向量有_解析：A1B1面BCC1B1，；A1DAD1，而AD1BC1，.答案： 6如图正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，则，_.解析：连接DB，BC1，DC1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BDC1为等边三角形E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，EFBD，GHBC1.，60.答案：607.如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1顶点为起点或终点的向量中：(1)写出与相等的向量；(2)写出与相反的向量；(3)写出与平行的向量解：(1) ，.(2)，.(3)，.8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求，解：由题意知，六边形EFGHPQ为正六边形，所以，HPQ；，FGH；，等于QEF的补角，即，.
