1、3等比数列3.1等比数列基础过关练题组一等比数列的定义1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有()数列1,2,6,18,;数列an中,已知a2a1=2,a3a2=2;常数列a,a,a,;数列an中,an+1an=q(q0),其中nN+. A.1个B.2个C.3个D.4个2.有下列4个说法:等比数列中的某一项可以为0;等比数列中公比的取值范围是(-,+);若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;若b2=ac,则a,b,c成等比数列.其中说法正确的个数为()A.0B.1C.2D.3题组二等比数列的通项公式3.已知等比数列an中,a1=32,公比q=-12,则a6=()A.1B.-1C.2D
2、.124.在等比数列an中,a1=8,a4=64,则公比q为()A.2B.3C.4D.85.已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=()A.64B.81C.128D.2436.若an为等比数列,且2a4=a6-a5,则公比为()A.1或-2B.-1或2C.-1或-2D.以上都不对7.在等比数列an中:(1)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=12,求n;(2)已知a5=8,a7=2,an0,求an.题组三等比数列的性质8.(2021山西大学附中高二上9月诊断)两数2+1与2-1的等比中项是()A.1B.-1C.1或-1D.129.(2021黑龙江大庆实验中学高三上
3、月考)已知在等比数列an中,a1=1,a5=9,则a3=(易错)A.5B.5C.3D.310.(2020福建厦门双十中学高一下期中)若数列an是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是(深度解析)A.lg anB.1+anC.1anD.an11.在等比数列an中,an0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.8112.已知an是等比数列,a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为整数,则公比q为()A.2B.-2C.1D.-113.已知an为等比数列且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=()A.5B.10C.15D.20
4、14.在1和16两数之间插入三个数,使它们成等比数列,则中间的数为.15.已知四个正数成等比数列,积为16,且第2个数与第3个数的和为5,求这四个数.能力提升练一、选择题1.(2019湖北重点高中高三上期中联考,)已知数列an满足a1=1,an+1=anan+2(nN+).若bn=log21an+1,则数列bn的通项公式是bn=() A.12nB.n-1C.nD.2n2.(2019广东湛江一中高二月考,)已知数列an是等比数列,数列bn是等差数列,若a1a6a11=-33,b1+b6+b11=7,则tanb3+b91-a4a8的值是()A.-3B.22C.-22D.33.()已知等比数列an的
5、各项均为正数,且a1+2a2=4,a42=4a3a7,则a5=()A.116B.18C.20D.404.()已知a,b,c均为正数,若a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列,且公比为q,则q3+q2+q的值为()A.0B.1C.3D.不确定5.(2020江西南昌高一下期末,)已知数列an为等比数列,an0,且amam+1am+2=26m,若p+q=6,则apaq=()A.27B.28C.29D.2106.(2021河南九校高二上联考,)著名物理学家李政道说过:“科学和艺术是不可分割的.”音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音
6、乐理论家朱载堉创立了十二平均律,是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成十二个半音,使相邻两个半音之间的频率比是常数,如表所示,其中a1,a2,a13表示这些半音的频率,它们满足log2ai+1ai12=1(i=1,2,12).若某一半音与D#的频率的比值为32,则该半音为()频率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC#DD#EFF#GG#AA#BC(八度)A.F#B.GC.G#D.A7.()数列an满足an+1=an-1(nN+,R且0),若数列an-1是等比数列,则的值为()A.1B.-1C.12D.28.() 在正
7、项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于()A.12B.13C.14D.159.()设xR,记不超过x的最大整数为x,如2.5=2,-2.5=-3,令x=x-x,则5+12,5+12,5+12三个数构成的数列()A.是等比数列但不是等差数列B.是等差数列但不是等比数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列又不是等比数列10.()在数列an中,对任意nN+,都有an+2-an+1an+1-an=k(k为常数),则称an为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断:k不可能为0;等差数列一定是等差比数列;等比数列一定是等差比数列;通
8、项公式为an=abn+c(a0,b0,且b1)的数列一定是等差比数列.其中正确的为()A.B.C.D.11.()若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值为()A.9B.8C.4D.-4二、填空题12.()已知等比数列an为递增数列.若a10,且2(a4+a6)=5a5,则数列an的公比q=.13.(2020广东深圳二模,)尘劫记是在元代的算学启蒙和明代的算法统宗的基础上编撰的一部古典数学著作,其中记载了一个这样的问题:假设每对老鼠每月生子一次,每次生12只,且雌雄各半.1个月后,有
9、一对老鼠生了12只小老鼠,一共有14只;2个月后,每对老鼠各生了12只小老鼠,一共有98只.以此类推,假设n个月后共有老鼠an只,则an=.14.()已知等差数列an的首项为a,公差为b,等比数列bn的首项为b,公比为a,其中a,b都是大于1的正整数,且a1b1,b20,所以q=12,所以an=a5qn-5=812n-5=12n-8.8.C设2+1与2-1的等比中项是x,则x2=(2+1)(2-1)=1,解得x=1或x=-1,故选C.9.D在等比数列an中,a32=a1a5=9,又a1,a3,a5同号,所以a3=3.易错警示在等比数列中,奇数项与奇数项同号,偶数项与偶数项同号,故本题中的a3不
10、能取-3.10.C设数列an的公比为q.因为数列an是等比数列,所以an=a1qn-1.对于A,lg an+1lg an=lg a1+nlgqlg a1+(n-1)lgq不一定是常数,故A不一定是等比数列;对于B,1+an可能有项为零,故B不一定是等比数列;对于C,利用等比数列的定义,可知1an是等比数列,且其公比是数列an公比的倒数,故C一定是等比数列;对于D,当q0,q=3,a4+a5=q(a3+a4)=39=27.故选B.解法二:设等比数列an的公比为q,由an0可知,q0.由已知得,a3+a4a1+a2=q2=9,解得q=3或q=-3(舍去).根据等比数列的性质可得,a1+a2,a2+
11、a3,a3+a4,a4+a5成等比数列,且公比为3,所以a4+a5=133=27.故选B.12.B根据等比数列的性质可得a4a7=a3a8=-512,又a3+a8=124,所以a3=-4,a8=128或a3=128,a8=-4,因为公比为整数,所以a3=-4,a8=128,所以q5=a8a3=-32,所以q=-2.13.A由等比数列的性质知a2a4=a32,a4a6=a52,所以a32+2a3a5+a52=25,即(a3+a5)2=25.又an0,所以a3+a50,所以a3+a5=5.14.答案4解析设中间的数为x,公比为q,则x是1和16的等比中项,所以x2=16,即x=4.又因为x=1q2
12、0,所以x=4.15.解析由已知设这四个数分别为aq3,aq,aq,aq3.这四个数的积为16,a4=16,a=2.第2个数与第3个数的和为5,aq+aq=5.当a=2时,2q+2q=5,解得q=2或q=12,这四个数分别为14,1,4,16或16,4,1,14;当a=-2时,-2q-2q=5,解得q=-2或q=-12,这四个数分别为14,1,4,16或16,4,1,14.综上,这四个数分别为14,1,4,16或16,4,1,14.能力提升练一、选择题1.C由an+1=anan+2,得1an+1=1+2an,所以1an+1+1=21an+1,所以数列1an+1是公比为2的等比数列,所以1an+
13、1=2n-11a1+1=2n,所以bn=log21an+1=log22n=n.故选C.2.A因为an是等比数列,所以a1a6a11=a63=-33,所以a6=-3,所以a4a8=a62=3.因为bn是等差数列,所以b1+b6+b11=3b6=7,所以b6=73,所以b3+b9=2b6=143.所以b3+b91-a4a8=-73,所以tanb3+b91-a4a8=tan-73=-tan3=-3.3.B设等比数列an的公比为q,则q0,由题意,得a1+2a1q=4,a12q6=4a12q8,所以a1=2,q=12,所以a5=2124=18,故选B.4.B依题意,有q3+q2+q=a+b-ca+b+
14、c+c+a-ba+b+c+b+c-aa+b+c=1.5.B由数列an为等比数列,an0,且amam+1am+2=26m,可得am+13=26m,所以am+1=22m,所以an=22n-2,又p+q=6,所以apaq=22p-222q-2=22(p+q)-4=28.6.答案B信息提取ai+1ai=2112;D#对应的频率为a4;半音与D#的频率的比值为32;求半音.数学建模以音乐中的乐理知识为背景,构建等比数列模型,利用数列知识求解.利用对数与指数的转化,得到数列a1,a2,a13为等比数列,公比q=2112,然后求所求半音对应的数列的项数,从而利用等比数列的性质求得半音.解析依题意可知an0(
15、n=1,2,13).由于a1,a2,a13满足log2ai+1ai12=1(i=1,2,12),因此ai+1ai12=2,所以ai+1ai=2112,所以数列a1,a2,a13为等比数列,设公比为q,则q=2112,D#对应的频率为a4,所求半音与D#的频率的比值为32=213=(2112)4,所以所求半音对应的频率为a4(2112)4=a8,即对应的半音为G.7.D由an+1=an-1,得an+1-1=an-2=an-2.因为数列an-1是等比数列,所以2=1,解得=2.故选D.8.C设等比数列an的公比为q,由a1a2a3=4=a13q3与a4a5a6=12=a13q12,可得q9=3,又
16、因为an-1anan+1=a13q3n-3=a13q3q3n-6=324,所以q3n-6=81=34=q36,所以n=14,故选C.9.A因为5+12=1,所以5+12=5+12-5+12=5+12-1=5-12.因为5-125+12=12,5-12+5+12=521,所以5-12,1,5+12三个数构成的数列是等比数列,但不是等差数列,即5+12,5+12,5+12三个数构成的数列是等比数列,但不是等差数列.10.D若k=0,则该数列是常数列,分母为0,所以k不可能为0;当等差数列为常数列时,分母也为0,不满足条件,所以错误;当等比数列为常数列时,分母也为0,不满足条件,所以错误;把通项公式
17、an=abn+c(a0,b0,且b1)代入an+2-an+1an+1-an,结果为b,为常数,是等差比数列.故选D.11.A由题知a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,即a,b是x2-px+q=0的两个不等实根,根据根与系数的关系可得a+b=p,ab=q.因为a,b,-2这三个数可适当排序后成等比数列,所以-2只能排在a和b的中间,根据等比中项的性质得ab=4,即q=4.又因为a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,所以-2不能排在a和b的中间,根据等差中项的性质得2a=-2+b或2b=-2+a,所以a=1,b=4或a=4,b=1,所以a+b=5,即p=5,所
18、以p+q=9,故选A.二、填空题12.答案2解析2(a4+a6)=5a52(a4+a4q2)=5a4q,因为a40,所以2+2q2=5q,即(2q-1)(q-2)=0,所以q=2或q=12.因为等比数列an为递增数列,所以q1,所以q=2.13.答案27n解析由题意可得1个月后的老鼠的只数a1=2(1+6)=27,2个月后老鼠的只数a2=2(1+6)7=272,3个月后老鼠的只数a3=2(1+6)72=273,n个月后老鼠的只数an=27n.14.答案5n-3解析a1b1,b2a3,ab,aba+2bb(a-2)aba1,且aN+,a=2.对于任意的nN+,总存在mN+,使得am+3=bn成立,令n=1,得2+(m-1)b+3=bb(2-m)=5,又2-m2,且2-mN+,2-m=1,b=5,an=a+(n-1)b=5n-3.三、解答题15.解析(1)设数列an的公比为q,由题意,可得an=8qn-1,且0qbn+1,得(n+2-)24-n(n+3-)23-n,即n+1,所以0,所以log2bn+1+12=log2bn+122=2log2bn+12,即cn+1=2cn,又因为c1=log2b1+12=log22=1,所以cn是以1为首项,2为公比的等比数列,所以cn=2n-1.
