1、53复数的四则运算1.掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则2.能正确进行复数代数形式的四则运算3掌握复数范围内一元二次方程的求根公式，并会在复数范围内解一元二次方程1复数的加、减、乘、除法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)则z1z2(ac)(bd)i；z1z2(ac)(bd)i；z1z2(acbd)(adbc)i；i2复数范围内实系数一元二次方程的求根公式设ax2bxc0(a0)是实系数一元二次方程，b24ac是它的判别式，则当0时，方程有两个不同的实根；当0时，方程有两个相同的实根；当0时，方程有两个不同的虚根i .1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个虚数的和或差可
2、能是实数()(2)若复数z1，z2满足z1z20，则z1z2.()(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部()(4)两个复数的积与商一定是虚数()答案：(1)(2)(3)(4)2已知复数z134i，复数z234i，那么z1z2等于()A8iB6C68i D68i答案：B3若复数z满足zi33i，则z等于()A0 B2i C6 D62i答案：D4.()A12i B12i C12i D12i答案：B复数的加减乘除运算计算：(1)(12i)(34i)(56i)；(2)5i(34i)(13i)；(3)(abi)(2a3bi)3i(a、bR)；(4)(1i)(1i)(1i)；
3、(5)(2i)(15i)(34i)2i；(6)(1i)2；(7)()6.【解】(1)(12i)(34i)(56i)(42i)(56i)18i.(2)5i(34i)(13i)5i(4i)44i.(3)(abi)(2a3bi)3i(a2a)b(3b)3ia(4b3)i.(4)(1i)(1i)(1i)1i21i1i.(5)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.(6)(1i)2(2i)2i2i2ii2ii.(7)法一：原式6i61i.法二：(技巧解法)原式6i61i
4、.(1)复数的四则运算的结果仍是一个复数；(2)对于复数的混合运算，仍可按照先乘方、再乘除、后加减的顺序，有括号先计算括号内的 计算：(1)(4i)(62i)(7i)(43i)；(2)；(3).解：(1)(4i)(62i)(7i)(43i)(248i6i2)(2821i4i3)(262i)(3117i)515i.(2)ii0.(3)1i.在复数范围内解方程在复数范围内解下列方程：(1)2x2x10；(2)x24x0；(3)ax24x10.【解】(1)因为b24ac142170，所以方程有两个不同的虚根i.(2)因为b24ac164190，所以方程有两个不同的虚根2i.(3)当a0时，方程变为4
5、x10，解得x.当a0时，164a.a若0，即a4且a0时，则方程有两实根为.b若0，即a4时，方程有两虚根为i.解一元二次方程必须注意两点：(1)二次项系数是否为零；(2)是大于、等于零还是小于零 求实数k，使方程x2(k2i)x2ki0至少有一个实根解：设方程的一个实根为a，则有a2(k2i)a2ki0.由复数相等的定义，可得消去a，可解得k2.因此当k2时，原方程至少有一个实根复数的乘方运算(1)等于_(2)化简i2i23i3100i100.【解】(1)i2 017(i4)504i1504ii.故填i.(2)设Si2i23i3100i100，所以iSi22i399i100100i101，
6、得(1i)Sii2i3i100100i101100i1010100i100i.所以S5050i.所以i2i23i3100i1005050i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即inin1in2in30(nN*)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i)22i，(1i)22i.i，i.i. 1.复数z，则z2z4z6z8z10的值为()A1B1Ci Di解析：选B.z21，所以111111.2计算：(1)；(2)ii2i2 017.解：(1)原式i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008i1 008i1i4252i11i.(2)法一：原式i.法二：因为in
7、in1in2in3in(1ii2i3)0(nN*)，所以原式(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)i2 017i2 017(i4)504i1504ii.1复数的四则运算一般用代数形式，如加、减、乘运算按多项式运算法则计算，除法则需把分母实数化2对于复数的除法法则不要机械记忆，在解题时，只须牢记“分母实数化”即可，此外，还要利用某些特殊复数的运算结果如(1i)22i，1，i，i，i的幂的周期性，对于简化复数的运算大有好处3解一元二次方程需要弄清实系数还是复系数，然后再确定解法1已知复数z1(a22)3ai，z2a(a22)i，若z1z2是纯虚数
8、，那么实数a的值为()A1 B2C2 D2或1解析：选C.由z1z2a22a(a23a2)i是纯虚数，得a2.2已知1i(i为虚数单位)，则复数z()A1i B1iC1i D1i解析：选D.因为1i，所以z1i.3已知复数z.(1)求复数z.(2)若z2azb1i，求实数a，b的值解：(1)z1i.(2)把z1i代入z2azb1i，得(1i)2a(1i)b1i，整理得ab(2a)i1i，所以解得 A基础达标1i是虚数单位，若集合S1，0，1，则()AiSBi2SCi3S D.S解析：选B.因为i21S，i3iS，2iS，故选B.2i是虚数单位，则()4等于()Ai BiC1 D1解析：选C.(
9、)4()22()21.故选C.3一元二次方程x22x30的根为()A1 B1iC.1 D.i解析：选B.因为41280，所以方程有两不相等的虚数根为，即1i.4若复数z11i，z23i，则z1z2()A42i B2iC22i D3i解析：选A.因为z11i，z23i，所以z1z2(1i)(3i)33iii232i142i.故选A.5复数()Ai BiC.i D.i解析：选C.i.6i是虚数单位，_(用abi的形式表示，其中a，bR)解析：12i.答案：12i7.(aR)是纯虚数，则a_解析：，由题意得所以a6.答案：68已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab_解析：根据已知可得bi2a
10、ibi即从而ab1.答案：19计算：(1)(2i)(3i)；(2).解：(1)(2i)(3i)(7i)i.(2)22i.10已知1i是方程x2bxc0的一个根(b、c为实数)(1)求b，c的值；(2)试说明1i也是方程的根解：(1)因为1i是方程x2bxc0的根，所以(1i)2b(1i)c0，即(bc)(2b)i0.所以，得.(2)方程为x22x20.把1i代入方程左边得(1i)22(1i)20，显然方程成立，所以1i也是方程的一个根B能力提升11设a，bR，z12bi，z2ai，当z1z20时，复数abi为()A1i B2iC3 D2i解析：选D.由得所以abi2i.12复数z1a4i，z2
11、3bi，若它们的和z1z2为实数，差z1z2为纯虚数，则a，b的值为()Aa3，b4Ba3，b4Ca3，b4Da3，b4解析：选A.因为z1z2(a3)(4b)i为实数，所以4b0，b4.因为z1z2(a4i)(3bi)(a3)(4b)i为纯虚数，所以a3且b4.故a3，b4.13已知z1(3xy)(y4x)i，z2(4y2x)(5x3y)i(x，yR)，设zz1z2132i，求z1，z2.解：zz1z2(3xy)(y4x)i(4y2x)(5x3y)i(3xy)(4y2x)(y4x)(5x3y)i(5x3y)(x4y)i.又因为z132i，且x，yR，所以解得所以z1(321)(142)i59i，z24(1)22523(1)i87i.14(选做题)解方程x2(k1)xk210(kR)解：(k1)24(k21)2k3.(1)当0，即k时，方程有两不相等的实根，即.(2)当0，即k时，方程有两不相等的虚根i.