1、第二章基本初等函数()2.12.3综合拔高练五年高考练考点1指数式与对数式的恒等变形1.(2020课标全国,4,5分,)logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 193)()A.60B.63C.66D.692.(2020新高考,6,5分,)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相
2、邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天考点2指数函数、对数函数和幂函数的综合运用3.(2019课标全国,3,5分,)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.abcB.acbC.cabD.bca4.(2020天津,6,5分,)设a=30.7
3、,b=13-0.8,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.bcaD.ca2bB.ab2D.a0,且a1)的图象可能是()8.(2018课标全国,7,5分,)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是()A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)9.(2020课标全国,11,5分,)若2x-2y0B.ln(y-x+1)0D.ln|x-y|010.(2020课标全国,12,5分,)已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.abcB.bacC.bca
4、D.cab考点3含参数的指数函数、对数函数问题的解法11.(2019课标全国,14,5分,)已知f(x)是奇函数,且当xbcB.bacC.cbaD.cab3.(2020安徽舒城中学高二开学考试,)设函数f(x)=31-x,x1,1-log3x,x1,则满足f(x)3的x的取值范围是()A.0,+)B.-1,3 C.0,3D.1,+)4.(2019湖南长郡中学高一上第一次模块检测,)设xR,用x表示不超过x的最大整数,则y=x称为高斯函数,例如:-3.5=-4,2.1=2.已知函数f(x)=ex1+ex-12,则函数y=f(x)的值域是()A.0,1B.1 C.-1,0,1D.-1,05.(20
5、19山东师大附中高一上第一次学分认定考试,)设0a1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),使f(x)0的x的取值范围是()A.(-,0)B.(loga3,+) C.(-,loga3)D.(0,+)6.(2020四川成都外国语学校高一期中,)已知函数f(x)=|log2x|(x2),若ab,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是()A.1,52B.2,52 C.(2,+)D.1,27.()下列判断正确的是(填序号).若f(x)=x2-2ax在1,+)上为增函数,则a=1;函数y=ln(x2+1)的值域是R;函数y=2|x|的最小值为1;在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与y=12
6、x的图象关于y轴对称.8.(2020江西九江高一期末,)已知函数f(x)=12x,函数g(x)=log2x.(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)当x-1,1时,函数y=f(x)2-2af(x)+3的最小值为1,求实数a的值.9.(2020山东菏泽一中高一月考,)2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位:年)的衰变规律满足N=N02-T5
7、730(N0表示碳14原有的质量),则经过5 730年后,碳14的质量变为原来的;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到年之间.(参考数据:lg 20.3,lg 70.84,lg 30.48)答案全解全析第二章基本初等函数()2.12.3综合拔高练五年高考练1.C2.B3.B4.D5.B6.D7.D8.B9.A10.A1.答案C信息提取I(t)=K1+e-0.23(t-53);I(t*)=0.95K,求t*.数学建模以新冠肺炎疫情为情境,构建logistic模型,通过解方程I(t*)=K1+e-0.23(t*-53)=0
8、.95K求值.解析因为I(t)=K1+e-0.23(t-53),所以I(t*)=K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,整理得e0.23(t*-53)=19,所以0.23(t*-53)=ln 193,解得t*66.故选C.2.答案B信息提取累计感染病例数I(t)与时间t(单位:天)满足:I(t)=ert;指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT;R0=3.28,T=6;累计感染病例数增加1倍所需的时间.数学建模以基本再生数与新冠疫情感染的变化规律为情境,构建指数函数模型:I(t)=ert,根据R0=3.28,T=6,R0=1+rT求出r,将参数代入给定的函数模型,写出表达式I(t)=
9、ert=e0.38t,设累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天,列出方程I(t1)=2I(0)进行求解.解析因为R0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以r=3.28-16=0.38,所以I(t)=ert=e0.38t,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天,则I(t1)=2I(0),即e0.38t1=2,所以0.38t1=ln 2,所以t1=ln20.380.690.381.8.故选B.3.Ba=log20.220=1,c=0.20.3(0,1),ac1,b=13-0.8=30.830.7=a,c=log0.70.8log0.70.7=1,所以c1ab.故选D
10、.5.B2a+log2a=22b+log2b22b+log2(2b),令f(x)=2x+log2x,则f(a)f(2b),又易知f(x)在(0,+)上单调递增,所以a0,|2x-1|0xxx12,xR,函数f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)是奇函数,排除A、C;当x-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),易知y=ln(2x+1)在-12,12上单调递增,y=ln(1-2x)在-12,12上单调递减,函数f(x)在-12,12上单调递增,排除B.故选D.7.D对于函数y
11、=logax+12,当y=0时,有x+12=1,得x=12,即y=logax+12的图象恒过定点12,0,排除选项A、C;函数y=1ax与y=logax+12在各自定义域上单调性相反,排除选项B,故选D.8.By=ln x的图象过点(1,0),点(1,0)关于直线x=1的对称点还是(1,0),结合选项可知,只有y=ln(2-x)的图象过点(1,0).故选B.9.A因为2x-2y3-x-3-y,所以2x-3-x2y-3-y.设f(x)=2x-3-x,易知y=2x在R上是增函数,y=3-x在R上是减函数,所以f(x)在R上为增函数.由2x-3-x2y-3-y得x1,所以ln(y-x+1)0,故选A
12、.10.A因为(845)5=8455,所以8455,所以45=log8845log85=b,即b45.因为(1345)5=13485,所以13458,所以45=log13134545.又2 187=3755=3 125,所以lg 37lg 55,所以7lg 35lg 5,所以lg3lg557,所以a=lg3lg55745,而8557,所以5lg 857,所以b=lg5lg857,所以cba.11.答案-3解析由x0可得-x0时, f(x)=-f(-x)=-ea(-x)=e-ax,则f(ln 2)=e-aln 2=8,-aln 2=ln 8=3ln 2,a=-3.12.答案-7解析由f(3)=l
13、og2(9+a)=1,得9+a=2,即a=-7.13.解析利用对数的换底公式把方程log3x3+log273x=-43化为11+log3x+1+log3x3=-43,化简得(1+log3x)2+4(1+log3x)+3=0,解得1+log3x=-1或1+log3x=-3,即log3x=-2或log3x=-4,因此x=19或x=181,从而a+b=19+181=1081.三年模拟练1.A2.B3.A4.D5.C6.B1.A当x(0,e-1)时,ln x-1,ln x+10,所以f(x)=ln x-x+10,可排除D.故选A.2.B因为a=log32(0,1),b=3141,c=ln23ac.故选
14、B.3.A由函数f(x)=31-x,x1,1-log3x,x1满足f(x)3,可得当x1时,31-x3,即1-x1,解得x0,此时0x1;当x1时,1-log3x3,即log3x-2=log33-2,解得x19,此时x1.综上,x的取值范围是0,+).故选A.4.D由题知f(x)=ex1+ex-12=ex+1-1ex+1-12=12-1ex+1.ex0,ex+11,-1212-1ex+112.当-1212-1ex+10时,f(x)=-1;当012-1ex+112时,f(x)=0.因此y=f(x)的值域是-1,0,故选D.5.C由f(x)0,得loga(a2x-2ax-2)loga1.0a1,即
15、(ax)2-2ax-30,即(ax-3)(ax+1)0,又ax+10,ax-30,ax3=aloga3,由0a1,得xloga3,故选C.6.B作出函数f(x)=|log2x|(x2)的图象,如图.因为f(a)=f(b)且ab,所以不妨设ab,当f(x)=|log2x|=1时,解得x=2或x=12,所以12a10恒成立,当m=0时,不符合,当m0时,需满足m0,4-4m21,实数m的取值范围为(1,+).(2)令t=f(x)=12x,当x-1,1时,t12,2,则函数y=f(x)2-2af(x)+3化为y=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,t12,2.当a2时,可得当t=2时,y取最小值,且ymin=7-4a=1,解得a=32(舍去);当12a2时,可得当t=a时,y取最小值,且ymin=3-a2=1,解得a=-2(舍)或a=2;当a37,两边同时取以2为底的对数,结合给定的对数值求出T的范围.解析N=N02-T5730,当T=5 730时,N=N02-1=12N0,经过5 730年后,碳14的质量变为原来的12.由题意可知2-T573037,两边同时取以2为底的对数,得log22-T5730log237,-T5730lg37lg2=lg3-lg7lg2-1.2,T6 876,推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间.
