1、第4课：函数四性的综合考查一.函数四性(对称性,周期性,奇偶性,单调性)定义及特征:（学生做题归纳）二.高考题热身1.（北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是（A） （B） （C）（D）2.（福建卷）已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，设则（A）（B）（C）（D）3（广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B. C. D. 4（辽宁卷）设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(A) f(x) f(-x)是奇函数 (B) f(x) |f(-x)|是奇函数 (C) f(x)- f(-x)是偶函数 (D) f(x)+ f(-x)是偶函数5（全国II）函数yf(
2、x)的图像与函数g(x)log2x(x0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为(A)f(x)(x0) (B)f(x)log2(x)(x0) (C)f(x)log2x(x0) (D)f(x)log2(x)(x0)6（全国II）如果函数y=f(x)的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则y=f(x)的表达式为（A）y=2x-3（B）y=2x+3（C）y=-2x+3（D）y=-2x-37.（山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)28(天津文10) 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调
3、递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)； (B)；(C)； (D)9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)0的解集是（ ）A B C D10.直线沿轴正方向平移个单位，再沿轴负方向平移1个单位得直线，若直线与重合，则直线的斜率为（ ）(A) (B) (C) (D) 11设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 0 。12(天津文9)若函数在区间内恒有，则的单调递增区间为 三典型例题例1（05浙江文20）已知函数f(
4、x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x ()求函数g(x)的解析式；()解不等式g(x)f(x)|x1|； ()若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围。解：()设函数y=f(x)的图象上任一点Q(xq,yq关于原点的对称点(x,y),则即点Qxq,yq)在函数f(x)的图象上,-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x()由g(x)f(x)|x1|可得2x2-|x-1|0,当x1时,2x2-x+10,此时不等式无解,当x1时,2x2+x-10,-1x,因此,原不等式的解集为-1, ()h(x)=-(1+)x2+2(1-)x+1 当=-1时,h(x)=
5、4x+1在-1,1上是增函数,=-1 当-1时,对称轴的方程为x=.(i) 当-1时, -1,解得-1时, -1,解得-10时,，作出其草图见右, 易知f (x)有两个极值点借助于图像可知,当时，函数f (x)在区间1,2上为增函数，此时当时,显然此时函数的最小值为当时，此时f（x）在区间为增函数，在区间上为减函数，又可得 则当时，此时当时，此时当时，,此时f（x）在区间1,2为增函数，故(II)当时，此时f（x）在区间1,2也为增函数，故（III）当时，其草图见右 显然函数f（x）在区间1,2为增函数，故例3.（湖南卷）已知函数f(x)lnx，g(x)ax2bx，a0. （）若b2，且h(x
6、)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； （）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.解：（I），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以0时，则ax2+2x10有x0的解.当a0时，y=ax2+2x1为开口向上的抛物线，ax2+2x10总有x0的解；当a0总有x0的解； 则=4+4a0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此时，1a0. 综上所述，a的取值范围为（1，0）（0，+）.（II）证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2）
7、，0x1x2. 则点M、N的横坐标为 C1在点M处的切线斜率为 C2在点N处的切线斜率为 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即，则 =所以 设则令则因为时，所以在）上单调递增. 故则. 这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.证法二：同证法一得因为，所以令，得 令因为，所以时，故在1，+上单调递增.从而，即于是在1，+上单调递增.故即这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.例4已知函数yf (x)是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数又知yf (x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在
8、x=2时函数取得最小值证明：；求的解析式；求在4,9上的解析式.解：f (x)是以为周期的周期函数，又是奇函数，当时，由题意可设，由得，是奇函数，又知yf (x)在0,1上是一次函数，可设，而，当时，f (x)=-3x，从而当时，故时，f (x)= -3x，当时，有，0当时，例5：已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明 (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减 证明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f
9、(0)=0 f(x)=f(x) f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)11 |0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；点拨与提示：根据f(a+b)=f(a)f(b)是恒等式的特点，对a、b适当赋值.利用单调性的性质去掉符号“f”
10、得到关于x的代数不等式，是处理抽象函数不等式的典型方法.12.（06江苏）设a为实数，设函数的最大值为g(a)。（）设t，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)（）求g(a)解：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。（）令要使有t意义，必须1+x0且1-x0，即-1x1,t0 t的取值范围是由得m(t)=a()+t=（）由题意知g(a)即为函数的最大值。注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。（1）当a0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，由0知m(t)在上单调递增，g(a)=m(2)=a+2(2)当a=0时，m(t)=t, ,g(a)=2.(3)当a0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则若，即则综上有
