1、2016年安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=0，1，2，3，4，集合A=0，2，4，B=1，2，3，则A（UB）为（）A0，4B2，3，4C0，2，4D0，2，3，42已知i为虚数单位，若复数iz=i，则|z|=（）A1BCD23已知双曲线C：=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，则其离心率为（）ABCD4已知，是不共线的向量， =+， =+（、R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（）A+=2B=1C=1D=15某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，
2、第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2xy=1上的概率为（）ABCD6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为（）A20B40C77D5467已知等比数列an的前n项和为Sn，若a2a3=2a1，且与a7的等差中项为，则S4=（）A32B31C30D298函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosx的图象，只需将f（x）的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位9某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）AB9CD1010设函数f（x）=，则f（f（
3、log212）=（）A1B2C3D411已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）ABCD12坐标平面上的点集S满足S=，将点集S中的所有点向y轴作投影，所得投影线段的总长度为（）A1BCD2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13命题，则p：14已知抛物线y2=2px（p0），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为15已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意xR都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，则f=16已知函数f（x）=，对任意t（0，+），不等式f（t）kt恒成立，则实数k的取值范围是三、解答题
4、：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若ABC的面积（）求C的度数；（）求ab的最小值18对某产品1至6月份销售量及其价格进行调查，其售价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份i123456单价xi（元）99.51010.5118销售量yi（件）111086514（）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？（）预计在今后的销售中，销售量与单价
5、仍然服从（）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入成本）参考公式：回归方程，其中=参考数据：，19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AD平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上（）求证：BCA1B；（）若P是线段AC上一点，AB=BC=2，三棱锥A1PBC的体积为，求的值20已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交与A、B两点，四边形OAPB为平行四边形（）证明：点P在椭圆C上；（）求四边形OAPB的面积21已知函数f（x）=exax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在
6、点A处的切线平行于x轴（）求a的值及函数y=f（x）的极值；（）若不等式xf（x）3lnx+（k3）x在x3时恒成立，证明：ke31选修4-1：几何证明选讲22如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分APC，分别交AC、BC于点M、N求证：（1）CMN为等腰三角形；（2）PBCM=PCBN选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参 数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C的极坐标方程；（）求直线l截曲线C所得的弦长选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x3|2|x+a|（）当a
7、=3时，求不等式f（x）2的解集；（）若f（x）+x+10的解集为A，且2，1A，求a的取值范围2016年安徽省芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=0，1，2，3，4，集合A=0，2，4，B=1，2，3，则A（UB）为（）A0，4B2，3，4C0，2，4D0，2，3，4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据全集U、集合B和补集的运算求出UB，再由交集的运算求出AUB即可【解答】解：全集U=0，1，2，3，4，B=1，2，3，UB=0，4，集合A=0，2，4
8、，A（UB）=0，4，故选：A2已知i为虚数单位，若复数iz=i，则|z|=（）A1BCD2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】设z=a+bi，代入iz=i，求出a，b的值，从而求出|z|的模即可【解答】解：设z=a+bi，若复数iz=i，即i（a+bi）=b+ai=i，解得：a=1，b=，则|z|=，故选：C3已知双曲线C：=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，则其离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线C的渐近线方程为y=，所以便得到，所以便得到其离心率e=【解答】解：由已知条件得：；即；椭圆C的离心率为故选：A4已知，是不共线的向量， =+， =+（、R），那么A、
9、B、C三点共线的充要条件为（）A+=2B=1C=1D=1【考点】向量的共线定理【分析】若A、B、C三点共线，则向量与平行，根据题中等式结合向量平行的充要条件列式，即可找出使A、B、C三点共线的充要条件【解答】解：若A、B、C三点共线，则向量即存在实数k，使得=k，=+， =+=k（+），可得，消去k得=1即A、B、C三点共线的充要条件为=1故选：D5某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2xy=1上的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有66=3
10、6种结果，利用列举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2xy=1上的概率【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有66=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2xy=1上，当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2xy=1上的概率：P=故选：A6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为4，则输出S的值为（）A20B40C77D546【考点】程序框图【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值
11、被施加的运算是S=S+2k+k，故由此运算规律进行计算，当k=5时不满足条件k4，退出循环，输出S的值为40【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：n=4，k=1，S=0满足条件k4，S=0+21+1=3，k=2满足条件k4，S=3+22+2=9，k=3满足条件k4，S=9+23+3=20，k=4满足条件k4，S=20+24+4=40，k=5不满足条件k4，退出循环，输出S的值为40故选：B7已知等比数列an的前n项和为Sn，若a2a3=2a1，且与a7的等差中项为，则S4=（）A32B31C30D29【考点】等比数列的通项公式【分析】设等比数列an的公比为q，由a2a3=2a1，且与a7的等
12、差中项为，可得=2a1， =+a7，即5=+4，解出再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a2a3=2a1，且与a7的等差中项为，=2a1， =+a7，即5=+4，5=2（2+4q3），解得q=，a1=16，则S4=30，故选：C8函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosx的图象，只需将f（x）的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由题意可得，函数的周期为，由此求得=2，由g（x）=Acosx=sin2（x+）+，根据y=Asin
13、（x+）的图象变换规律得出结论【解答】解：由题意可得，函数的周期为，故=，=2要得到函数g（x）=Acosx=sin2（x+）+的图象，只需将f（x）=的图象向左平移个单位即可，故选A9某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）AB9CD10【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为圆柱与球的组合体表面共有5部分组成【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1所以几何体的表面积为12+213+=9故选B10设函数f（x）=，则f（f（log212）=（）A1B2C3D4【考点】对数的运算性质；函数的值【分析】先求出f（log212），再求出f（f（
14、log212）即可【解答】解：f（log212）=6，f（6）=1+3=4，故选：D11已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化为1+，然后由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线斜率的倒数求解【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（1，6），联立，解得A（），kOB=6，=1+故选：D12坐标平面上的点集S满足S=，将点集S中的所有点向y轴作投影，所得投影线段的总长度为（）A1BCD2【考点】函数与方程的综合运用；曲线与方程【分析】先求出2sin4x+2cos4x=24sin2xcos2x=2（sin2x）2的范围
15、，即可得出函数x=log2（y2y+2）的值域范围，从而求出函数函数x=log2（y2y+2）的定义域，进一步可求投影长度【解答】解：1=（sin2x+cos2x）2=sin4x+cos4x+2sin2xcos2x，2sin4x+2cos4x=24sin2xcos2x=2（sin2x）2，x，2x，sin2x1，2（sin2x）21，2log2（y2y+2）1，2，2y2y+24，1y0，或1y2故y的投影长度为1+1=2，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13命题，则p：【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否
16、定是特称命题，所以，命题，则p：故答案为：14已知抛物线y2=2px（p0），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为x=2【考点】抛物线的简单性质【分析】求出直线AB的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程解出p，从而得出准线方程【解答】解：抛物线的焦点为（，0），直线AB的方程为：y=2（x），即y=2xp，联立方程组，消元得：4x26px+p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，p=4抛物线的准线方程为：x=2故答案为：x=215已知f（x）是R上的奇函数，f（1）=1，且对任意xR都有f（x+6）
17、=f（x）+f（3）成立，则f=1【考点】抽象函数及其应用【分析】求出f（3）=0，可得f（x）是以6为周期的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解，即可得出结论【解答】解：f（x+6）=f（x）+f（3）中，令x=3，得f（3）=f（3）+f（3），即f（3）=0又f（x）是R上的奇函数，故f（3）=f（3）=0f（0）=0，f（3）=0，故f（x+6）=f（x），f（x）是以6为周期的周期函数，从而f=f（1）=f（1）=1f=f（0）=0故f=1+0=1，故答案为：116已知函数f（x）=，对任意t（0，+），不等式f（t）kt恒成立，则实数k的取值范围是【考点】函数恒成立问题【
18、分析】结合函数的图象和函数值，可判断只需y=lnt在y=kt的下方，求出临界值即相切时的k的值即可【解答】解：当0x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，对任意t（0，+），不等式f（t）kt恒成立，故函数y=f（t）在函数y=kt的下方，只需y=lnt在y=kt的下方，当两曲线相切时，设切点为横坐标为t0，k=，lnt0=t0，t0=，实数k的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b，若ABC的面积（）求C的度数；（）求ab的最小值【考点】余弦定理；基本不等式；正弦定理【
19、分析】（）由余弦定理及已知可得：，整理后可求cosC的值，结合范围C（0，），即可得解C的值（）利用三角形面积公式及已知可得，利用基本不等式即可求得，从而得解【解答】（本题满分为12分）解：（）在ABC中，由余弦定理可得：，整理可得：a2+b2c2=ab，3分故，5分因为C（0，），故6分（）因为，故10分化简得11分当且仅当a=b=8时等号成立所以ab的最小值为6412分18对某产品1至6月份销售量及其价格进行调查，其售价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份i123456单价xi（元）99.51010.5118销售量yi（件）111086514（）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回
20、归直线方程；（）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？（）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入成本）参考公式：回归方程，其中=参考数据：，【考点】线性回归方程【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）利用回归方程计算x=8时的估计值，计算误差得出结论；（3）求出利润的解析式，根据二次函数的性质得出利润取最值时的x【解答】解：（）由题意知=10， =8，=， =40y关于x的回归直线方程是
21、=3.2x+40（）由（）知，当x=8时， =3.28+40=14.4y=14.414=0.40.5可认为所得到的回归直线方程是理想的（）依题意得，利润L=（x2.5）（3.2x+40）=3.2x2+48x100（2.5x12.5）当时，L取得最大值即该产品的单价定为7.5元时，利润最大19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AD平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上（）求证：BCA1B；（）若P是线段AC上一点，AB=BC=2，三棱锥A1PBC的体积为，求的值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（I）由AD平面A1BC得BCAD，由AA1平面ABC得BCA
22、A1，故BC平面A1AB，所以BCA1B；（II）设PC=x，用x表示出棱锥A1BPC的体积，列出方程解出x，得到AP和PC的值【解答】（）证明AD平面A1BC，BC平面A1BC，ADBCAA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC又AA1AD=A，AA1平面AA1B，AD平面AA1B，BC平面AA1B，A1B平面AA1B，BCA1B（）解：设PC=x，过点B作BEAC于点E由（）知BC平面AA1B1B，BCAB，AB=BC=2，AD平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上，ADA1BBD=1，又AA1AB，RtABDRtA1BA，=解得：，20已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2+=1在y轴正半
23、轴上的焦点，过F且斜率为的直线l与C交与A、B两点，四边形OAPB为平行四边形（）证明：点P在椭圆C上；（）求四边形OAPB的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由已知F（0，1），直线l的方程为，代入，得，由平行四边形性质得，由此能证明点P在椭圆C上（）由已知求出|AB|和原点O到直线l：的距离，由此能求出四边形OAPB的面积【解答】证明：（）O为坐标原点，F为椭圆C：x2+=1在y轴正半轴上的焦点，F（0，1），直线l的方程为，代入并化简得，2分设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），四边形OAPB为平行四边形，3分可得（x3，y3）=（x1，y1）+（x2，y2），故5
24、分经验证点P的坐标满足方程，故点P在椭圆C上6分解：（）8分原点O到直线l：的距离10分四边形OAPB的面积：12分21已知函数f（x）=exax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线平行于x轴（）求a的值及函数y=f（x）的极值；（）若不等式xf（x）3lnx+（k3）x在x3时恒成立，证明：ke31【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求a的值及函数y=f（x）的极值；（）若不等式xf（x）3lnx+（k3）x在x3时恒成立，利用参数分离法，求函数的最
25、值即可证明：ke31【解答】解：（）由题意知f（x）=exa，1分，A（0，1）且曲线y=f（x）在点A处的切线平行于x轴，f（0）=e0a=0，a=13分此时，f（x）=ex1令f（x）=0得x=0当x变化时，f（x）与f（x）变化情况如下表x（，0）0（0，+）f（x）0+f（x）=exx单调递减极小值1单调递增f（x）有极小值1，无极大值5分（）证明：由xf（x）3lnx+（k3）x得6分令，7分，8分，x3e，lnxlne=1又ex10，g（x）0g（x）在3，+）上为增函数10分11分ke3ln3e3112分选修4-1：几何证明选讲22如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC
26、切圆O于点C，直线PQ平分APC，分别交AC、BC于点M、N求证：（1）CMN为等腰三角形；（2）PBCM=PCBN【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）根据题意，证明CNM=CMN，即可证明CMN是等腰三角形；（2）利用对应角相等证明PNBPMC，即可证明PBCM=PCBN【解答】解：（1）PC是圆O的切线，切点为C，PCB=PAC；又CPM=APM，CNM=CPM+PCB=APM+PAM=CMN，CMN是等腰三角形；（2）CMN=CNM，CNM=BNP，CMN=BNP，又CNP=BPN，PNBPMC，=，即PBCM=PCBN选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的参数方程为（为参数）
27、，直线l的参 数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C的极坐标方程；（）求直线l截曲线C所得的弦长【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，再转化为极坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程解出参数，利用参数的几何意义得出弦长【解答】解：（）曲线C的参数方程化为直角坐标方程为x2+（y1）2=4令x=cos，y=sin代入上式，得曲线C的极坐标方程为：22sin3=0（）将代入x2+（y1）2=4得t2=2，所以所求弦长为选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x3|2|x+a|（）当a=3时，求不等式f（x）2的解集；（）若f（x）+x+10的解集为A，且2，1A，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）将a=3代入，通过讨论x的范围，得到关于x的不等式，解出即可；（）问题转化为|x+a|2在x2，1恒成立，分离a，求出其范围即可【解答】解（）a=3时，f（x）2|x3|2|x+3|2或或 即，不等式f（x）2的解集为：（）2，1A|x3|2|x+a|+x+10在x2，1恒成立（3x）2|x+a|+x+10在x2，1恒成立|x+a|2在x2，1恒成立a2x或a2x在x2，1恒成立a4或a12016年7月22日
