1、云南省昆明市寻甸县民族中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.总分150分.考试时间120分钟.第卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】复数 对应的点坐标为在第四象限.故答案为D.【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何
2、意义复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了2.已知,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求导数，再代入即可.【详解】解：，故选：B【点睛】考查求函数在某一点的导数；基础题.3.已知集合，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为，=所以.考点：交集及其运算点评：本题以一元不等式及绝对值不等式为载体考查交集运算，关键是准确解出不等式，再利用数轴得出要求交集4.设（为虚数单位），其中，是实数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解
3、析】【分析】根据条件求出的值，再求复数的模，即可得答案；【详解】，故选：B.【点睛】本题考查复数模的计算，考查运算求解能力，属于基础题.5. 对于实数x,y,若|x-1|1,|y-2|1,则|x-2y+1|的最大值为()A. 5B. 4C. 8D. 7【答案】A【解析】选A.由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|x-1|+|2(y-2)+2|1+2|y-2|+25,即|x-2y+1|的最大值为5.6.已知，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题知，再利用基本不等式即可得到最小值.【详解】由题知：，因为，所以，当且仅当，即，时，取“”号.所以.
4、即的最小值是.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，常数代还法为解决本题的关键，属于简单题.7.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据微积分定理直接化简计算，即得结果.【详解】故选：D【点睛】本题考查定积分计算，考查基本分析求解能力，属基础题.8.由曲线与直线所围成图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解出交点确定积分区间，结合图形，待求面积转化为求定积分即可.【详解】解：，故选：B.【点睛】考查用微积分基本定理求面积；基础题.9.若,则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】若设，则，代入已知等式，化
5、为关于的方程，由判别式非负，解得的最大值即可【详解】解：设，则因为，所以，整理得，因为0，即0， 解得，所以的最大值为故选：C【点睛】此题考查最值的求法，注意运用换元法和判别式法，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题.10.复数满足，则复数对应点的轨迹是（ ）A. 直线B. 正方形C. 圆D. 椭圆【答案】C【解析】【分析】设，利用表示，可得，即得解【详解】设，则即为 化简可得：即：故复数对应点的轨迹是以为圆心，半径为的圆故选：C【点睛】本题考查了复数的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题11.已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为A. 1B. 2C.
6、-1D. -2【答案】B【解析】设切点，则，又，故答案选B12.定义在上的函数满足：当时，；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】确定函数极大值点及极大值求得.，再求和即可【详解】由题当当时，极大值点为1，极大值为1当时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列故.,故设S=3S=两式相减得-2S=1+2()-S=故选A【点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定及的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题第卷（非选择题，满分90分）注意事项：请用蓝黑钢笔或圆珠笔
7、在第卷答题卡上作答，不能答在此试卷上.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.复数_【答案】1【解析】【分析】利用运算的周期性求解【详解】故答案为：1【点睛】本题考查复数的乘方运算，涉及运算的周期性，是基础题14.已知，则_.【答案】.【解析】【分析】求导后，将代入即可求得结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了指数函数的求导公式，考查了对数的换底公式和对数的性质，属于基础题.15.函数的最大值为_.【答案】【解析】【分析】拆解函数，利用三维形式的柯西不等式可得求得函数的最大值【详解】当且仅当，即时等号成立，函数最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了三维形
8、式的柯西不等式在求解函数最值中的应用，属于基础题16. _.【答案】【解析】【分析】根据定积分和微积分基本定理求解即可得到结果.【详解】，表示如下图所示的阴影部分的面积：，.故答案为：.【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到定积分和微积分基本定理的应用，属于基础题.三、解答题17.解不等式.【答案】【解析】【分析】分三种情况时，时，时，分别求解不等式，再求三种情况的解集的并集则为原不等式的解集.【详解】当时，原不等式可化为，,.当时，原不等式可化为，.当时，原不等式可化为，.原不等式为.综上，可知原不等式的解集是.【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式，属于基础题.18.已知函数在点处的切线
9、方程是，其中是自然对数的底数（1）求实数，的值；（2）求函数的极值【答案】（1），（2）极大值；极小值.【解析】【分析】（1）利用导数几何意义，即可求出实数，的值；（2）先求出函数的单调性，再借助极值的定义，即可得解.【详解】（1）由，得，因为函数在点处的切线方程是，所以，解得，所以，.（2）由（1）知，.令，得或，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，故当时，函数取得极大值，极大值；当时，函数取得极小值，极小值.【点睛】本题考查导数的几何意义及函数极值的求解，考查学生对这些知识的掌握能力，本题的解题关键是掌握根据导数求极值的方法和根据导数求曲线切线方程的方法，属于中档题
10、.19.已知函数.（）若不等式有解，求实数的最大值；（）在（）的条件下，若正实数，满足，证明：.【答案】()；()证明见解析.【解析】试题分析：()原问题等价于.由绝对值三角不等式可得，则，实数的最大值.()根据()知正实数，满足，由柯西不等式可知，即(当且仅当时取“=”).试题解析：()若不等式有解，只需的最大值即可.因为，所以，解得，所以实数的最大值.()根据()知正实数，满足，由柯西不等式可知，所以，因为，均为正实数，所以(当且仅当时取“=”).20.用数学归纳法证明当为正奇数时，能被整除【答案】证明见解析【解析】【分析】用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当时，结论
11、显然成立，第二步，先假设当（且为奇数）时结论成立，利用此假设结合因式分解，证明当时，结论也成立即可【详解】当时，显然能被整除假设当（且为奇数）时命题成立，即能被整除当时，又根据假设能被整除能被整除又能被整除，能被整除，当时命题成立由知，命题成立【点睛】本题考查数学归纳法运用，解题的关键正确运用数学归纳法的证题步骤，属于中档题21.统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/时)的函数解析式可以表示为已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【答案】千米/时；升【解析】【分析】首先当速度为千米/时时，汽车从甲地
12、到乙地行驶了小时，设耗油量为升，再利用导数求函数的最值即可得到答案.【详解】当速度为千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得，令，得.因为时，是减函数；时，是增函数，所以当时，取得最小值，所以汽车以千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升【点睛】本题主要考查利用导数研究函数最值得实际应用，理解题意为解题的关键，属于中档题.22.若函数恰有两个不同零点（1）求实数的取值范围；（2）求证.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过求导求得函数的单调区间和最大值，转化为最大值大于0可得；（2）由于可化为，若设，则只需证，即证，构造函数，即证在上恒成立即可.【详解】（1） 当时，在上恒成立在上单增，不合题意 当时，由；由在上单增，在上单减当时，；时，只需即 （2） 令，不妨假设，则要证，即证即证 令，即证在上恒成立在上恒成立在上单减，故即成立【点睛】此题考查了由函数零点的个数求参数的范围，利用导数证明不等式，综合性强，考查了计算能力和转化能力，属于难题.
